§3.4 正交曲线坐标系 一、正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面而定义的坐标系。 1. )z，，柱坐标（ jr ?? ??? = = = zz y x jr jr sin cos ? ? ? ??? ? = = += ? zz x ytg yx 1 22 j r )zP ，，（ jr r j ∞<<∞?∞<<∞?∞<≤ z,,0 jr式中 2 ），，球坐标系 jqr( ?? ??? = = = q jq jq cos sinsin cossin rz ry rx ? ? ? ? ?? ? ? ? = += ++= ? ? x ytg z yxtg zyxr 1 22 1 222 j q j )jq，，（rP q ∞<<∞?<<∞<≤ jpq ,0,0 r式中 二、坐标系的选择 应该选择边界面和坐标面重合的坐标系 例如： 边界：长方形 球圆 柱 圆锥 坐标系：直角坐标 球坐标 柱坐标球坐标 三、正交曲线坐标系中的 u? 1、在柱坐标系中 rrr ? ? ? ?+ ? ? ? ?= ? ? y y ux x uu jrr jrrr sin)( cos)( 2 22 2 2 2 2 2 ? ? ? ?+ ? ? ?? ?+ ? ? ?? ?+ ? ? ? ?= ? ? y y ux yx u y yx ux x uu j jjj 2 2 2 2 2 2 2 sin cossin2cos y u yx u x u ? ?+ ?? ?+ ? ?= jj sincos yuxu ??+??= <1> <2> jrjrj cossin yuxuu ??+???=?? 类似可得： )sincos(cos cossin2sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 jjrjr jjrjrj y u x u y u yx u x uu ? ?+ ? ?? ? ?+ ?? ?? ? ?= ? ? >< 2/1 再加上式将上式乘 r 得： )sincos(11 2 2 2 2 2 2 22 2 jjrjrr yuxuyuxuuu ??+?????+??=????? 代入右边再将式将上式加上 ><?? 1/ 22 zu rrjrr ? ?? ? ?+ ? ?+ ? ?= ? ?+ ? ?? ? ? u z u y u x u z uuu 1)(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 则根据上面的结果可得： 2 2 2 2 22 2 11 z uuuuu ? ?+ ? ?+ ? ?+ ? ?=? rrrrr 2 2 2 2 2 1)(1 z uuu ? ?+ ? ?+ ? ? ? ?= rrrrrr 表达式此即是在柱坐标中的 u? 2、在极坐标中 对于极坐标可看成是柱坐标当 时的特例，故我们可得到表达式为： 0=z 2 2 2 1)(1 rrrrrr ? ?+ ? ? ? ?=? uuu 3、在球坐标中 我们可以用类似的方法，得到表达式： 2 2 2 2 2 2 sin 1 )(sinsin1)(1 jq qqqq ? ?+ ? ? ? ?+ ? ? ? ?=? u r u rr ur rru