§3.3泰勒级数 一、泰勒定理 ( ) ( ) ()() ()zfbza k bfa Rbz k k k k k 解析函数 唯一 ??? ?? ??? ??- = <-￥ = ? ! 0 T级数和解析函数的关系 ( ) 最近的奇点的距 bzfabaR --= , 三、如何展开 1、用定理展 三、收敛半径 2、用各种手段展开 () 级数展开为在点例： T12 ±=+= zz zzf ?3?2?1 收敛半径展开方式奇点 ooo () 故可在的唯一奇点是解 ,22: +=-= z zzfzQ 展开后的形式为 展开。内时在 13121 ==--<- zz () ( )?￥ = -= 0 1 k k kzazf () ( )( ) ( ) ( ) 31131131 112 +-++--=+- +-=+= zzzzzzzzf ( ) ( ) 3 11 1 3 1 3 113 11 -++ ú? ù ê? é -+×-= zzz ( ) ( ) ( )?? ￥ = ￥ = ÷???è? --+÷???è? ---= 00 3 11 3 1 3 11 3 1 k k k k k k zzz ( ) ( )( )?? ￥ = + ￥ = + --+÷???è? --= 0 1 0 1 131311 k k k k k k k zz 四、多值函数在里曼面上或确立单值分支之后， 可作泰勒展开泰勒展开 ( ) ( ) 级数展开成在的主值支将 T0z1ln1.1.. =++ zzLnge ( )的支点为解 zLnz +￥-= 1,1:Q 作割线割破后至从所以将复平面沿负实轴 ￥== z-1z ( ) 可分出单值支在这割破的复平面上便zLn +1 ( ) 展开故可进行时解析在主值支 Tzz ,11ln <+Q ( ) ( )zzf += 1ln设 () ( ) () ( )K21 1,11 zzfzzf +-=￠￠+=￠则 ()() ( ) ( ) ( ) K,2,1,1 !11 1 = + --= - k z kzf k k k ()() ( ) K,2,1,1!0 1 =-==- kkkfa kk k () 00 =f而 ( ) ( ) ( )公式111ln 1 1 <-=+ ? ￥ = - zzkz k k k ( ) ( ) ( )在点的一支将 zLnzLn eez ++=+ 111.2 aaa 级数展开成T0z = 1,0: -=z支点为解 值支将复平面割开可得到单到从 -1z0,z == ( ) 级数可展开为中解析在 T11ln \<+ ze zaQ ( ) ( ) ( ) ( )zfzezg z =+= + 1ln,: 1lna设 ( ) ( )zfezg a=:则 ( ) ( ) ( )zfezg zf ￠×=￠ aa () ( ) ()zfz eezzf 111 1 1ln ==+=￠ +而 ( ) ( ) ( ) L zfezg 1-=￠\ aa ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )zfkk ekzg -+-+= aaaa 11 K ( ) 10 =\ g ( )( ) ( ) ( ) ! 11 ! 0 k k k g k +-+= aaa K ( ) ( ) ... !2 11 21ln +-++=+ zze z aaaa于是 ( )( ) 1..., ! 11 <++--+ zz k k kaaa ( ) ( ) ( )的一个分支是由于 zz eze ++ =+ 1ln1ln 1 aaa ( ) ( )[ ] ( )zkikizz eeee ++++ ×== 1ln221ln1ln appaa ( ) ( )ê?é +-++=+\ ...!2 1111 2zzz aaaaa ( )( ) 1,... ! 11 < ú? ù++--+ zz k k kaaa 1,1 1 0 <=- ? ￥ = zzz k k 1,1 1 0 ? >=- ? ￥ = zzaz k k k ??, == kak若能 另外，在理论与实际问题中我们常常需要 研究这样的一类函数，它们在某点z = a 不解析， 但在该点的某个去心邻域: :.0 如内却是解析的Raz <-< () ( ) 不解析在 10,z,11 ==-= zzzzf 中均解析和在但 11010: <-<<< zz () ( ) 10,11 ? <<=-= ? zzczzzf kk () ( ) ( ) 110,111 ? <-<-=-= ? zzczzzf kk ??, == kc k若能 1 显然在z=0和z=1均不能展开成T级数，∵T级数一 定要求函数在某点的邻域即圆域中解析，那么