2 0 0 1 1- 1 1- 1 1 1- ,||1(1) || .0 1 k k kz k z zzzz z ez azzz ez eee ∞ = ∞ = ∑ +++……+ <=∑ = = < = 见书 预结 开 为 则当 结 数 开 级 ，期果：奇 一、小。 二、展： 1 在泰勒 方法一： 展 若利用已知 ?????= ???……???= ∑∑ ∞ = ∞ = 0 2 0 !! 2 m m k k zzz m z k ze eeee k 第三章无穷级数习题课 1 1- 1 1- 2 2 2 2 (),(0) 1( ,(0) (1-) (1-)()() (1-)()-2(1-)()() ()(32)( ,(0)3 2(1-) ...... 3()1... 2! ||1 z z fzefe fz fez zfzfz zf zfzfz fzzf fe z fzezz z 方法二：直接用公式： ：若能否展？ == ′′=?∴= ′′∴= ′ ′′= ′ +′ ′′== ??∴=+++ ?? 问这样开 0 (-1),|-1| coscos(-11)cos(-1)cos1-sin 2.cos,1 (-1)sin1 , k kkazz zzz zz z ∞ = <∞∑ =+ = = 结 开 果 在泰勒展 ： 221 00 112 2 0 (1 (1)cos1(1)sin1(1) 2!(21)! 1(1)1(1)(1)cos1(1)sin1(1) 22! kk nnn n n z ∞∞+ == +∞ = ??=???∑∑ ??+?+??+∑ ???? 0 22 22 0 2 2 2 (-1),|-1|2 (1-1) 211- 1( 3. 1)(1)(1) 1111 -1(-1)( ,1, )1-122-122 2 11- 1( 1) 1 ( ) k kk kk k azz zz zzz z zzz zz ∞ = ∞ = <∑ +==+ ++++ ===∑++ + ′??= ??? + + = ?+ Q 解：果： 首先 泰勒展 分 。 分式： 又 开 结 应项 ∑ ∑ ∑ ∞ = + ∞ = ? ∞ = ????= ????= ???= 0 1 0 1 0 )21(21)1(21 )21(21)1(21 )21()1(21 n nn k kk k kk zn zk z dz d 2)1( 1 1 21)( +++?= zzzf 2 00 22 00 0 2 0 (1)(1)(1)1(1)(1) 22 (1)(1)14(1)(1) (1) (1) 2 (1)1(1)(3) 2 kk kk kk kk kk k k k k k kzz kzz z zk ∞∞ + == ∞∞ ++ == ∞ = ∞ + = ??+=??+? ???=???+? ?+? ?=??? ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ 22-(-) 0 2 2 -1 (,)()/! (1)() (): -220 (3)() () 2() 4.() xtxk k n n n n n FxteHxtk Hx Hx dHdHxnH dxdx Hx dHx n x Hd H xx ∞ = ==∑ += = 学 为围积 证满积 项 数 导 满 关 关 把表示道 在量子力中厄密多式 足如下函系式： 分 （）明足厄密分方程 出的系式： 22 22 22 -(-) 0 -(-) 1 -(-) 1 ()(1) ! 1 2 !()! 2 ()() k k xtxk kk xtx k l k xtx nn ln Hx a k eat eadt ti n eHxa dt ti HxJx ? ? 若令 ：有微分式？呢？ p p ∞ = + + = ∑ ∴= ∫ ∴=?= ∫ 则 问无 [ ]22 0 2 2 -(-) 2(,)() ! (,) :! -220 (,)2-2(-)(-1) k kk k xtx tFxtHx k Fxt t x k FFFxt xxx FdeFxtxtx xdx Q （）由知： 欲此，只要足此方程即可。 于量相于常，即要 ∞ = =?∑ ???+= ??? ?==? ? 证证满 对变当数证 ),(2txtF= 2 2 2 2 2 2 0 4(,) - 4(,)-4(,)22(-)(,)0 () ()-2()2() 0! n n t nnn n FFttFxt xx FFFxt xxx tFxtxtFxttxtFxt Hx HxxHxnHx n 以上各按展： a a ∞ = ?∴=??= ? ???∴??+? ??? =+?= ??′′′+?? =∑ 将项开 22 22 -(-) 1 -(-) 1 !(3)() 2 () ! 2 2 xtx n n xtxn n n eHxdt ti dHx n etdt l tdxi ? ? p p + + = ∫ ?∴=∫ 22-(-) -1 2(-1)! 2 2() xtx n n nn e dt ti nHx ?p= ∫ = [ ] 2 2 2 2 2 2 ,1||2.2, 2 (2)()(2)() (2)(1) ()(2)()(22 255. (2 ) (2) ) 1 () ( 1 ) zzi ABC zzizi AzABzziCzzi zz ABCziBiCzABii z zz z C z z a <<=± =????+ ++?++??= ?+ +++??++?+= ? ?+ ?+ + 奇： iz i iz i zzf iC iB A CiBiA CiBi CBA +??+?=∴ ?? ??? ?= = = ?? ??? =+? ?=+?? =++ ∴ 2 1)( 1 : 522 2)2()2( 1 解之得 ∑∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞ = + ∞ = + ∞ = ∞ = + ∞ = ∞ = + ∞ = ∞ = ?++?=∴ ?=?= + ?=+ == ? ?=? ?= ? ??=? 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 )()1()()2(21)( )()1()()1( 1 1 )()( 1 1 )2(21 21 1 2 1 2 1 k kk k k k k k kk k kk k k k k k k z i z izzf z i z i z i z iz i iz i z i z i z i z iz i iz i z zz [ ]∑∑ ∞ = + ∞ = ?++?= + 0 1 0 1 )()1(1 1 k k z ik k kz ka 1 00 00 0 111() !! 1() !! , :0() :0 6.,0||z lk lk lk lk m z lkm e zlkz zlk lkmlmk k k z ∞∞ == ∞∞ ? == ∞∞∞ ==? + =?∞ =? = ?==+ → << ∞?? ?? ∞ →∞ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑ 令则 ∑∑∞ ?∞= ∞ = + =∴ m k mz kkmzf 0 !)!( 1)( ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑∑ ∞ = ∞ = ? ? ∞ = ∞ = ? ?∞= ∞ = ∞ = ? ?∞= ∞ = += += += +++= 0 10 0 1 0 0 1 0 !)!( 1 !)!( 1 !)!( 1 k m m m m m m m m m m m m m m k m m k m kkmC zCzC zCzC zkkmzkkm 其中 0 0 0 111() (1)0:|||| 1111() 1 11(),|||| 1 11()() 17.,(0||||) ()() k k k k k k fz abzazb zza z zazaaa a zab bzbb fzz abzaz b a b kka b ∞ = ∞ = ∞ = ??=? ?????? <<? ? =< =?=? ∑? ? =?<∑? ∴=?++? ? Q 邻域 ?? ? ?? ? + ?=∴ ?= ? ??=? =??=? << ∑∑ ∑ ∑ ∞ = + ∞ = + ∞ = ∞ = 0 1 0 1 0 0 11)( )(1 1 111 )(11 111 ||||||)3( k k k k k k k k k k z a zbzabazf b z b b zbbz z a zzaz bza ?? ? ?? ? + ?=∴ ?= ? ??=? =??=? << ∑∑ ∑ ∑ ∞ = + ∞ = + ∞ = ∞ = 0 1 0 1 0 0 11)( )(1 1 111 )(11 111 ||||||)3( k k k k k k k k k k z a zbzabazf b z b b zbbz z a zzaz bza ?01 1 2 ==++ Rzzz 进行泰勒展开？在问： izizzz 2321,2321,01 212 ??=+?==++答：令 2 1 1 111 ;)(11 111 111)( 22 0 1111 2121 z z k k z z zzz z z zzzz zzzzzzzf ???=? ?=???=? ?? ? ?? ? ????=∴ ∑∞ = )1(1||,1 1 0,1 )( 0 2 2 <?= >?= ∑ ∑ ∞ = ∞ = ? qqq tneS k k n nt 如： 就好办了。 我们所熟悉的级数之和解：若能设法将之变为 求下列级数的和： 研究生入学试题选自美国加州理工学院* )2(! 0 z k k ekz =∑∞ = ∑ ? ? ? ?? ? +??=∑ ?= ? ∞ = ??∞ = ? ?? 22 2 2 112 1 1 )1( )2)(1()2( 21, 1 1,)( n ntnt n nt n tnt n e n e n eS ZZ ene 便好。 若分母消失靠拢的可能性大，即倘靠拢，向 法向差得更大，因此想到设别大，与 ）均象，分母差）（与（则分子视之为 ，若将分母为此处的级数分子为 1||,1 )(1 1 0 <??= +??= ? ? ? ? ? t t t t t eee ee t tt e edeetS ? ∞?∞ ? ? ??= ??=?=∴ ∫ 1 1ln )1ln(1)(1 aa a a ∑?=∑?=∴ ∑= ∞ = ?∞ = ? ∞ = ? 11 1 11 )()( )( p pt p pt p pt eedt tdS p etSQ tt m mt m mt m mt eee edt tdS m etS 2 0 3 2 3 2 1)( )()( )( ?? ∞ = ? ∞ = ? ∞ = ? +++?= ?= = ∑ ∑ ∑类似的： tt t t tt t eeee eee 2 2 1 11 1 ?? ? ? ?? ? ++??= +++??= 21 1ln)( 2 2 t t t ee etS ? ? ? ????=∴ 42 1 1 1ln 2 1 1 1ln 2 1)( t t t t t e eeeetS ? ?? ? ++ ?+??= 0,421sin)1ln( ≥++?= ? ? tethe t t