§3.3 非齐次边界条件的处理 一、定解条件 ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = = =? = = = = )(| )(| )(| )(| 0 0 0 0 2 xu xu thu tgu uau tt t lx x xxtt y j <1> <2> <3> 二、解题思路 则： ?? ? = = )()()( )()()0( thtTlX tgtTX 可得： ?? ? = = )(/)()( )(/)()0( tTthlX tTtgX 无法确定其值 若令 )()()( tTxXtxu =， 所以，我们要使边界齐次化： ),(),(),( txwtxvtxu += １、边界条件齐次化 三、边界条件的处理 令 <4> ?? ? == == == == )(|| )(|| 00 thww tguw lxlx xx <5> 首先，我们引入新的未知函数 和辅助函数 ),( txv ),( txw 只要找到 ,使它具有性质：),( txw 则可使 ??? = = = = 0| 0| 0 lx x v v 令： )()(),( tBxtAtxw += 则由式<5>可得： ?? ? =+? =+? )(0()( )()(0)( thtBltA tgtBtA ２、辅助函数 的选取：),( txw wx ? ))(0( tg， 满足式<5>的即过 平面 和两点的曲线，此处我们选择直线。 ))(( thl ， wx ? 从而求得： ?? ? ?= = ltgthtA tgtB /)]()([)( )()( 则定解问题<1>-<3>可化为； )(/)]()([),( tglxtgthtxw +?=∴ <6> ? ? ? ? ?? ? ? ? ?= ?= = = ??=? = = = = )0,()(| )0,()(| 0| 0| )( 0 0 0 22 xwxv xwxv v v wawvav ttt t lx x xxttxxtt y j <9> <8> <7> 而上式正是上节所学的带有齐次边界条件的非齐次 方程的定解问题，可用本征函数法求解。 四、例题 解：其定解问题为： ?? ?? ? ≤≤== == <<=? lxxuutxu ttlutu lxuau t xxtt 0,0)0,(,),( sin),(,0),0( 0,02 w 1、研究一端固定，一端作周期运动 的弦运动。 twsin 令： ),(),(),( txwtxvtxu += 由式<6>我们选择： tlxxl ttxw ww sin0sin),( =+= 则<7>-<9>变为： ?? ?? ? ?== == =? lxxvxv tlvtv ltxvav t xxtt /)0,(,0)0,( 0),(),0( /sin22 w ww ),(),(),( txvtxvtxv III += 又令： 其中： ?? ?? ? ?== == =? lxxvxv tlvtv vav tII II xxIttI /)0,(,0)0,( 0),(),0( 02 w ?? ?? ? == == =? 0)0,()0,( 0),(),0( /sin22 xvxv tlvtv ltxvav tIIII IIII xxIIttII ww 解之得： l xn atlnna ltxv n nI p p p w sin sin)(2)1(),( 1 2 ? ?= ∑ ∞ = l xntt tt na ttxv n n n n nnI p ww ww ww ww p w sin]sinsin sinsin[ )()1(),( 1 2 2 1 ? ?? + +?= ∑∞ = + 其中： l ann pw = 故可求得此问题的解u(x,t)。 五、小结 １、以上介绍的方法也适用于带有其他非齐 次边界条件的定解问题 其基本做法是： (1) 作变换令 ),(),(),( txwtxvtxu += (2) 适当选取 使关于 的边界条件),( txv),( txw （有时甚至连方程均齐次化）通常选 为的一次 式，即 但当两端边界条件都是第二 类时，需选为的二次式： ),( txw )()(),( tBxtAtxw += x w x xtBxtAtxw )()(),( 2 += 否则系数无法确定。 ),(),(),( txwtxvtxu += (3) 解关于 的定解问题，从而最后求得：),( txv ２、由上看出 的选取是有一定任意性的[一般 而言关于 的定解问题的解将随 的不同 而不同]，从而导致得到不同形式的 但由于 有关 的定解问题的唯一性，即使有不同形式 的 也必是相等的。 ３、通过边界条件齐次化后，一般而言即使原来的 齐次方程也会变为非齐次的[但若 选取巧 妙，有时可使方程和边界条件均齐次化] ４、对于稳定的非齐次的边界问题[即边界条件即方 程中都与 无关]总可选适当的 [也与 无关] 使关于 的方程和边界条件都齐次化 ),( txw),( txv ),( txw )( txu ， )( txu ， )( txu ， ),( txw )(xw ),( txv t t 例如： ?? ?? ? == == =? == == )(|,)(| |,| )( 00 0 2 xuxu BuAu xfuau ttt lxx xxtt yj 令： )(),(),( xwtxvtxu += 代入方程和边界条件，有： ?? ?? ? ?= ?= ′′+=? = = )(| )0(| )()( 0 22 lWBv WAv xWaxfvav lx x xxtt ?? ?? ? = = =′′+ BlW AW xWaxf )( )0( 0)()( 2 为使方程和边界条件均齐次化，只要适当选取 使：)(xw 这是一个关于变量 的带有边界条件的二阶 常微分方程，容易求出 w x )(xw ? ? ? ??? ? ?= ?= == =? = = == )()(| )()(| 0|,0| 0 0 0 0 2 xWxv xWxv vv vav tt t lxx xxtt y j 此时，我们有：