第三章 分离变量法 用分离变量法求解各种有界问题。 目的： 2、分离变量法的解题步骤； 3、本征值问题： 特殊函数微分方程、 分离变量?? →? ?? ? =+? =? 0 04 uu u l 1、有界弦自由振动的解; 中心内容： §3.1 有界弦的自由振动 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? = = ?? ? = = = = = = = )( )( 0| 0| 0 0 2 xu xu u u uau lxt t lx x xxtt y j <1> <2> <3> 考虑长为两端固定的弦的自由振动：l 解题思路： 1、当弦一端固定时，其自由振动可看为反射波； 2、当弦两端固定时，其自由振动会形成驻波； )(2cos1 lgp xtAu ?=正波： 反波： )(2cos2 lgp xtAu += 驻波： l ppg xtAuuu 2cos2cos2 21 =+= )()( tTxX= 我们设定解条件<1>---<3>的特解为： )()(),( tTxXtxu = 一、分离变量 则由式<1>，得： m=′′=′′ XXTaT2 即： ? ? ? =?′′ =?′′ 0 0 2TaT XX m m 则由式<2>，得： ?? ? = = 0)()( 0)()0( tTlX tTX 即： ?? ? = = 0)( 0)0( lX X 同理由式<3>可得： ?? ? =′′ = )()0()( )()0()( xTxX xTxX y j 不成立此二式，任意函数是和由于 )()( xx yj 二、本征值问题 1、先考虑定解问题 ?? ?? ? ?? ? = = =?′′ 0)( 0)0( 0 lX X XX m <4> <5> (1) 定义： 件的是常数，只能在边界条式中，m>< 4 值，称些特定的限制下取特定的值，这 m 称为本征值问题。 和相应本征值的问题征函数。求本征值 的非零解称为本方程相应于不同的 下的本征值；在边界条件为方程 m m >< ><>< 4 54 2、求解 得： ??? ??? ? = == xlnxX nlnk n p p sin)( ...321 本征函数： ，，，，本征值： 三、关于T(t)方程的通解 将本征值： 2 22 l n pm ?= 代入方程： 02 =?′′ TaT m 得： 0)()( 2 222 =?′′ tTlnatT p 此方程通解为： tl anBtl anAtT nnn pp sincos)( ′+′= 由特解： )()(),( tTxXtxu = 得式<1>满足式<2>的特解为： )()(),( tTxXtxu nnn = l xnt l anBt l anA nn ppp sin)sincos( += <6> nnnnnn CBBCAA ′=′= ,式中 四、有界弦的自由振动的解 由迭加原理，将式<6>的解迭加，得： ∑∞ = += 1 sin)sincos(),( n nn l xnt l anBt l anAtxu ppp 将上式代如式<3>，得： ? ? ? ??? ? = = ∑ ∑ ∞ = ∞ = 1 1 sinsin)( sin)( n n n n l xn l anBx xlnAx ppy pj 则： ??? ??? ? = = ∫ ∫ l n l n dl ananB dl anlA 0 0 )(2 )(2 apayp apaj 此即是定解条件<1>---<3>的解 五、解的物理意义 <6>式可从新改写为： l ntNtxu nnnn ptdw sin)cos(),( ?= 其中 ,222 nnn BAN += ,lnn ptw = n n n A Btg 1?=d 代表一个驻波可见 ),( txun 布代表弦上各点的振幅分l xnNn psin 是初位相是位相因子， nnnt ddw )cos( ? 是弦振动的固有频率nw 这些点振幅为零，保持不动，称为节点 0sinsin)...10( ==== pp mlxnnmnmlx mm ，、、当 02 1sinsin )...21(2 12 =?= =?= pp klxn nklnkx k k 时，、当 这些点振幅达到最大值，称为腹点 ∑∞ = = 1 ),( n nutxu弦的振动 ，表示一系列振幅不 同，频率不同，位相不同的驻波的迭加。 六、小结 1、分离变量法 我们称 的驻波为基波； 的驻波为二次驻波1=n 2=n 分离变量法的主要精神是：把未知函数按自 变量（包括多个自变量）的单元函数分开， [如：令 ]从而将偏微分 方程的问题化为解常微分方程的问题。 )()()( tTxXtxu =， 2、解题步骤 (1) 对齐次方程和齐次边界条件分离变量； (2) 解关于空间因子的常微方程的本征值 问题； (3)求其它常微分方程的解，与本征函数 相乘，得到特解。 (4) 迭加，由初始条件或非齐次边界条 件确定迭加系数，而最后得到所求定解 问题的解。 七、例题分析 解：其定解问题可表示为： ? ? ? ? ?? ? ? ? = = ?? ? = = <<<<=+ = = = = )(| 0| 0| 0| 0,0,0 0 0 xfu u u u byaxuu y by axx xx yyxx <7> <8> <9> <10> 考察在矩形薄板内稳定状态的温度分布， 板的两对边绝热，而其余的两边一边温度保持 为零，另一边的温度由 规定。 )( xf )()(),( yYxXyxu =令 分别代入<7>、<8>、<9>式，得： 0)( 0)( 0)0( 0 0 = ?? ? =′ =′ =+′′ =?′′ bY aX X YY XX m m 解本征值问题： ?? ? =′=′ =?′′ 0)(,0)0( 0 aXX XX m <11> 得： xanAxX nan nn p pm cos)( ...210,2 22 = =?= 、、、 的方程得：代入将 )(2 22 yYan pm ?= 02 22 =?′′ YanY p 其通解为： ?? ??? ≠+=+ =+ = )0(,)( )0(, )( 00 nFyanEshyanDshyanCch nDyC yY ppp 其中 DCthnaFCDE 122 , ?=+= p ?? ??? ≠=+ ==+ )0(0)( )0(000 nFbanEsh nDbC p 故有： )0(,00 ≠?=?= EbFbDC 由边界条件 有：0)( =by 因此： ??? ??? ? ≠? =? = )0()( )0( )( 0 0 nbyanshE nb ybD yYn p 由式<11>得： ??? ??? ? ≠? =? = = )0()(cos )0(2 )()(),( 0 nbyanxshana nb yba yYxXyxu n nnn pp 其中 nnn EAaDAa == ,2 000 于是，我们有： ∑ ∑ ∞ = ∞ = ?+?= = 1 0 0 )(cos2 ),(),( n n n n byanxshanab yba yxuyxu pp 将非齐次边界条件式<10>代入上边的解，得： ∑∞ = ?+= 1 0 )(cos 2)( n n a bnxsh a naaxf pp 故 ...3,2,1,cos)(2 =?= ∫ ndxaxnxf a bnasha a o n p p dxxfaa a o ∫= )(20 故此问题的解为： ∑∞ = ? +?= 1 *0 cos )( 2),( n n xa n a bnsh byansh ab ybayxu pp p 其中： dxaxnxfaa a o n p∫= cos)(2*