§2.3 其他柱函数 一、三类柱函数 1．第一类（柱函数）——Bessel函数： ①定义 2 0 (-1)() !(1)2 kk k xJx kk n n n ±∞ ±= ??=∑ ?? Γ±++ ?? (**) 为第一类柱函数 ②当 时（已证） 和 线性无关。nn≠ ()Jxn-()Jxn 2．第二类（柱函数）——Neuman函数 ②无论 与否， 和 均为 阶Bessel方程的线性无关解 即： ∵若 ，则 ①定义： （1） 为第二类柱函数 -cos2()-()() sinv JxJxNx nnp np= nn = ()Jxn ()Nxn n ()()yAJxBNxn nn=+ nn ≠ (1) -()cos()-() ()sin() NxJxJx J Jx nnn nn np np= - ()1 cos- sin() Jx Jx n n npnp ??=≠?? ?? 常数 - - cos()-()()lim sin --sin()cos- lim cos ()1()-(-1) n n n n n JxJxNx JJJx JxJx nn n np np nnnppnnp nn pnp n pnn → → = = ??+ ??= ???? ?????? g g 若 ，则nn = -2()2()11()-(-1) 22 on n JxJxNx nn p = ??= ????(2) ∵此时 cos()-(-1)() 0()() sin0 n nn n nJxJxNxNx nn p p→→= ∴ 2--1 0 21(--1)!2()()ln- 2!2 knn o nn k xnkxNxJx kpp= ??= ∑ ?? ?? [ ] 2 0 1(-1)-(1)(1) !()!2 knk k xknk knk yyp +∞ = ??++++∑ ?? + ?? (3) 11(1)--0.577216,(1)-1... 2k kynyg= +=++++ 这只需将 的级数表达式代入（2） 式进行冗长的计算即可得到 ()VJx± 是方程（*）的解，而只要证明（2）满 足（*）即可 3()o nNx ∵ 222()()(-)()0xJxxJxxJxnnnn±±±′′′++= 将上式分别对 求导得：n 2 22 2 2 22--- - ()()()(-)-2()0() ()()()(-)2()0() JxJxJxddx JxA dxdx JxJxJxddx xJxB dxdx nnn n nnn n n n ???++= ???++= 与线性无关。4()o nNx 2 0 (-1)() !(1)2 kk k xJx kk n n n +∞ = ??=∑ ?? Γ++ ?? 由（**） 2 0 0 20 (-1)()1 2(!) ()0,1 kk x k n xJx k Jxn ∞ → = ? ??==∑ ? ?????→ ? ?? ? =≥? 1()-(-1)()nAB p????gg并令 :nn → 222()()(-)()0 nnnxNxxNxxnNx′′′++= ∴当 大不一样，即 和 线性无关 0,x → ()()n n Nx Jx ?? ?? ? ()nNx ()nJx 注：∵ （无论并否） ∴在 中，（*）的有限 解为 0() xNx n →???→∞ 0 ar≤≤ ()yJxn= 00 0 - 22()()lnln- 22 (-1)!() -(1) 2 x n n xxNxJx nxNxn pp p → ?≈≈→∞ ?? ???→ ? ??? ≈→∞≥?? ? ??? 由（３） 3．第三类（柱函数）——Hankel函数 ①定义： 第三类（4） (1) (2) ()()() ()()-() HxJxiNx HxJxiNx nnn nnn ? =+? ? =? ? ②无论 与否nn = 和 是（*）线性无关解： ∵ 和 线性无关，且均为（*）的解。 (1) ()Hx n (2)()Hx n Jn Hn 4．三类柱函数的关系 ① (1) (2) () () () () Hx Hx Jx Nx n n n n ? ?? ? ? ?? 互相均线性无关 ② (1) (2) () () () () Hx Hx Jx Nx n n n n ? ?? ? ? ?? 互相之间的关系如同 - cos sin ix ix e e x x ? ?? ? ? ?? 之间的关系 (1) (2) ()()()cossin ()()-()cos-sin ix ix HxJxiNxexix HxJxiNxexix nnn nnn ? =+←=+ ←= 12 - ()cos22 ixixHH ee Jxxnnn + +=←= 12 -- - ()sin22 ixixHH ee Nxxiinnn =←= 二、球贝塞尔函数 1．球Bessel方程及其解： [ ) 2 2 ()() 2 2222 0 10sin1-0 sin sin 2-(1)0, uRr rn ddmu ll dd dRrRrkrl Rk dr qlq qqq q l =ΘΦ ? ?′′Φ+Φ= ? ??Θ ???+=??????→++Θ=? ???? ????? ′′ ??+++==? ??? (5) 令 令 则,(),xkryRr== 1dRdydxdydrdxdrkdx== 22-2[-(1)]0xyxyxlly′′′++=（6） 1()()yxvx x= 2 221-()0xvxvxlvx????′′′+++=???? ???? （7） 由于（7）具有与Bessel方程相同的形式，故（5） （6）均称为球Bessel方程，对比方程（*），故知 （7）的有解： 1111 2222 (1)(2)(),(),(),() llllJxNxHxHx++++ 而（6）有解： 1 2 1 2 1 2 1 2 (1) (2) 1 () 1 () 1 () 1 () l l l l Jxx Nxx Hxx Hxx + + + + ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 2．球Bessel函数： ①定义 1 2 1 2 1 2 1 2 (1)(1) (2)(2) ()()2 ()()2 ( ()()()2 ( ()()-()2 l l l l l l ll lll jxJxlBesselx nxNxlNeumanx nxHxjxinxx nxHxjxinxx p p p p + + + + ? =? ? ? =? ? ?==+ ? ==? 阶球 阶球 l阶球 Hankel函 函数 函数 ② 均为球Bessel方程 （6）的线性无关解 (1)(2)(),(),(),() llllxnxhxhxj 三、虚宗量的Bessel函数： 1．虚宗量Bessel方程的解： ∵ ()()()0 0 uRZzu uu rj l =Φ?= ???????→? ?+=? 2 21222 0 0 (-)0(8) ZZ n RRknR m rrr ′′ +=? ?′′Φ+Φ=? ? ′′ ++=? 令 则22,()(),xkyxRnrrn==→ dRdydxdldxdr= 222(-)0xyxyxyn′′′++= 若 <0，则记--lmm??? ?? 2- -, - k lm m ?=? ? 此时（8）→ 222-()0xyxyxyn′′′++=(9) 称之为虚宗量Bessel方程 222(-)0(9)Zix ZyzyZyn= ′ ′′???→++=令 （阶Bessel方程）n ∴（9）有特解： (),()yJixNixnn±= ()()yAJixBNixn nn=+通 2．虚宗量柱函数： ①定义： - -- ()() ()() IxiJix IxiJix n nn n nn ?=? ?=? ? 第一类虚宗量柱函数 则当 时,nn ≠o1 -()()yAIxBIxn nn=+通 o2 时，nn = - ()()nnIxIx= ∵ --()()(-1)()nnnIxiJixiJix== -()()(-1)()nnn nnnIxiJixiJix== ②定义： - ()-()() 2sinv IxIxkx nnp np= 第二类虚宗量柱函（Macdona函），无论 与否nn = ()()yCIxdkxnnnn′′=+通 ∵若 与之线性无关o1 ,()nIxnn ≠ 若o2 -22(-1),()- 222 n n IInkx n nnn nnn ??== ????=