§2.3 泊松公式 前面学习了如何用行波法求解一维波动问题，用 行波法如何解决三维空间的波动问题? 一、定解问题： ?? ?? ? = = ?= = = )(| )(| 0 0 2 Mu Mu uau tt t tt j j ),,( zyxMM = 二、求解： 1、分析： 如果我们能够化三维问题为一维问题，就可以用 §2.1的方法和结果 而在球坐标中： ),( );,,(),,,( tru trutzyxu = = 球对称 jq 是一维：对称均值一般不对称，但球面平 ,),( tru VtsV tt limlim 00 →?→? =??=且由物理： 所以我们可以想到，能否令： ),(),,,( lim 0 trtiu r → =jq 故引入平均值法： (1) 定义： ∫∫∫∫ == 00 414 1),( 2 MrMr SS ududsrtru Wpp 为立体角元其中 上平均值半径的球面 为为中心，在以称为函数 jqqW ddrdsd S rMtMu M r sin/ ),( 2 0 0 == (2) 由定义可知： ),(),( lim 0 0 00 trutMu tt r → → = ),( ),( 00 tru tMu 必须求 要求∴ ?? ??? += += += q jq jq cos sinsin cossin 0 0 0 rzz ryy rxx 2 0 2 0 2 0 )()()( zzyyxxr ?+?+?= ),,( 0000 zyxM O Z Y r j ),,( zyxM 2、求波动方程的通解 ∫∫ ∫∫ ??=?S Stt udadu pp 441 即： ∫∫ ∫∫ ??=? ? ? S S udaudt )41(41 22 2 pp ),(),( 2 truatru tt ?= 2 2 2 2 2 2 z u y u x uu ? ?+ ? ?+ ? ?=? 又因为在直角坐标系中： 由x和r的关系，可得： r xx r u x r r u x u 0? ? ?= ? ? ? ?= ? ? r xx x r r u r xx xr u x u 0 2 2 0 2 2 )( ??????+?????=?? 20 2 2 3 2 0 2 )()( r xxrur xxrru ???+????= 20 2 2 3 2 0 2 2 2 )()( r yyrur yyrruyu ???+????=?? 类似的可得： 20 2 2 3 2 0 2 2 2 )()( r zzrur zzrruzu ???+????=?? 故有： 2 2 2 2 3 22 2 2 2 2 2 2 3 r r r u r rr r u z u y u x uu ? ?+? ? ?= ? ?+ ? ?+ ? ?=? )(12 2 2 2 2 urrrr urur ??=??+??=