§2.3 Cauchy公式 一、Cauchy公式： 1．单通区域的Cauchy公式 设一区域边界围线，l s ()fz 在 上连续，lss=+ a s? 即满足Cauchy定理存在条件，则 1()() 2 fxfadz izap= -ò? 分析：欲证上式成立，只须证 1() (a)0 2 l fzdzf izap -=-ò? 注意到 1()() 2 l fafadz izap= -ò? ∴只要证 ()()()() 0 lll fzfzfzfadzd dz zazaza --== ---òòò??? 即可 这是一在内被积函有一奇点 的围道积分， 故可用复通区域。 l za- Cauchy定理得证 [证]： （与 无关） ()()()()llfzfzfzfad dzzazar--=òò?? r ∴只要证右边积分为0即可 max()()()()()() 2 ll fzfafzfafzfadzdz z zarr prr ---￡￡òò?? ∵ 在内连续,∴在点连续()fz l a ∴ 当 有0, 0ed">$> z rdD=< ()()fzfa e-< ∴只要足够小r 0r ? ∴ (*)成立 注意：①更一般 1()() 2 l ffzd iz x x px= -ò? , zlsx?? 解析函积分表达式 ②意义：解析函在区域内值由边界（上积分）值确定 ③可用来计算围道积分 能解决Cauchy定值 不能解决的问题 l f() -z d x x xò? e.g. 开始举的例子是先分项式，用Cauchy定值和公 式做的，现用Cauchy公式做，当然只要围道内有奇点 不管用什么做总要用复通区域Cauchy定理。 12 3131 1 2 10 31 (1)1 31312 1 426 zz ll z zz zdzdzdz z zz zzi zz iii pp ppp -- - = == -=+ -- --éù=+ êú-?? =+= òòò?? （不用分项公式） e.g.2. 2 1, : (1)2 zz l ed lzi zz -=+ò 2()()() (sincos) zil eeIdzi zzizizzi i p p ===+-+ =- ò ④对于外的关系，则l 1() 02 l fzdizxpx =-ò? 2．复通区域Cauchy公式 1 n k k Lll = =+? 为边界， 在内解析，在s ()fz s lss=+上连续则 1 1()()() 2 k n ll fffzdd izz xx p = éù=+ êú--???òò?? 当然计算复通区域围道积分一般不需要用它如 上例那样，只要用复通区域Cauchy定理，再用单通 区域Cauchy公式即可，但由复通区域Cauchy公式我 们可推得下面无界区域Cauchy公式，虽此公式用得 不多，但却可使我们了解到科西公式在无界区域中 也是成立的。 3．无界区域的Cauchy公式：设 ()fz在围道 外单位解析，在l 1()()() 2 RCl fffzdd izz xx p éù=+ êú--??òò?? 上连续且当 时 一致l z?￥ ()fz 0? （ 当时），则0, , Re">$$ zR> ()fz e< 1()() 2 l ffzd iz x px= -ò? 作以 为中心圆，围道0z= RlzC$?、内， 则 又 ()1 () 11max()220 1 RCll z R ffdzdfd zz fRRz xxxxx xxx xpep ￡￡--- ￡×<×?- - òòò??? Cauchy定理只能算 () ()l pz dz Qz ?ò? Cauchy公式可算： ()() ? nl pzpzd dz zz?=òò?? 我们已了解到： 1()nnznz -￠= (sin)cos, cos()sin; zzzzzzee￠￠￠==-= 这些解析函数的导数仍为解析函数，那么我们 自然要问：是否所有其它解析函数的导数仍为 解析函数的导数仍为解析函？ 二、Cauchy公式的推论，其中的第一个推论能回答 我们的这一问题 1．解析函数的任意阶导数：设 ()lfzs、、 满足Cauchy公式存在条件,则， () 1 !()() 2 () n nl nffzd i z x x p x += -ò? 分析：此公式形式上好象是Cauchy公式在积分号下 对求n次导的结果，但求导和积分并不是可随意颠 例秩序的，所以必须加以证明。 先证 的情况，即证：1n= 2 1()() 2 ()l ffzd i z x x p x￠ = -ò? 只要证 1n = 2 1()lim 2 ()lz fdzi zxxxp xD?D =D -ò? 即要证 0, 0, zedd">$>'D< 时，有 2 1() 2 ()l ffd zi z xxe p x D -< D -ò? 为此选看 ?fzD =D ()()11()() 2 1() 2()() l l ffzzfzff z izzzz f d izzz xx pxx xx pxx éùD+D-==- êúDD--D-?? = --D- ò ò ? ? ∴ 22 1()1()22( ()()llfffzddziizzzzxxppxxxDD-=D---D-òò?? 设max() minfMdzxx==- 则 , 2 dzdzzzzxxx-3--D3--D> （设 )2dzD< 3 22 3 2 ()1()1 2()2 1 2 ll d fzffdd ziz zzz MzzMSS d xx pxpxx pp DD-￡ D- --D- DD<×= òò??∴ 若取 则当 3d MS epd = z dD< 3 23 1() 2 ()l ffdMSd ziMSzd xepxe p xp D-<×= D -ò? 已取 2dzD< ∴ 应取 3min, 2 d MS depd éù= êú??有 当z dD< 则 2 1() 2 ()l ffd zi z xxd p x D -< D -ò? 33 33 3 3 , 22 , 2 dMSdMSdd MS M MSdd ddMSdd MSMSd epepe e pp pepepe p ì ×<×=< ? =í ?×=< ?即 2 1()() 2 ()l ffzd i z x x p x￠ = -ò? 类似的可证得，上述证明实际上只用到公式 1()() 2 l ffzd iz x x px= -ò ()fz和 连续。①对于复变函数，若一阶可导，则任 意阶导存在，对于实变函数则不然，若 ()fx￠ 存在 不一定存在。()fx￠￠ e.g. 2 sgn 0 () 0 0.xxxfx xì 1= í = ? 则 在 上存在。 ()fx￠ (1, 1)- ， ∵ 2 2 0 () 0 0 0 xx fxxx x ì > ?=-< í ? = ? 2 0 ()2 0 0 0 xx fxxx x >ì ?￠ =-<í ? =? ∴ 2 x= 但 不存在 2 0 ()2 0 0 0 x fxx x >ì ?￠￠ =-<í ? =? ②可计算 ()1()2()!() nnfzidzfanza p+ =-ò? e.g. , 1 z n e dzlz z ==ò? 0 -1 01 22, () 2 ( ) (1)! 0 z z zl zn z nnl edzieicanchy z edidzen zdzn Cauchy pp p = =- ì== ? ?==í - ? ? ò ò ? ? 公式 阶导数公式 （定理） ③ 推论：若 在曲线上连续，()zj l 1()() 2 lfzdiz jx x px= -ò 则 () p+1 !(z)() 2(-z) p l pfzd i j x px=ò 由上述导数公式可推得： ④ 复通区域Cauchy导数公式仍成立 2．Cauchy不等式： () 1 !() 2 n n nMSfz dp +￡ max()Mfz= sl- 长，mindzx=- 特别当 有:lzRx-= () !()n n nmfz R= 3． 定理：由 不等式易得，若Liouville Cauchy ()fz在复平的解析当 时z ?￥ ()fzM￡ ，则 ()fzC=