§2.2 Cauchy定理 ()fx 一、单通区域的Cauchy定理： 设 在单连通区域 s 内解析， l s- 内的任意一条分段光滑的曲线，则 ()0 l fzdz =ò? 分析：∵ ()lllfzdzudxdyidxudynn=-++òòò? ∴欲证： 0A = 0 0 B C =ì í =? 已知： u xy u xy n n ??ì= ???? í ?? ? =- ???? 故利用此条件求B、C 只须证 ∴只要B、C 满足Green公式存在条件： 而由Green公式有: (2) (1) 0 0 uBd xy uCd xy s s n s ns ??-??=-= ?÷??è? ????=-= ?÷??è? òò òò ,u n 具有连续的一阶偏微商，即 ()fz在 *s 上连续，我们便可证明此定理。 然而这一条件并非已知,1851年Rieman 在补充了这一条件后证明了上述定理。 其中 *s L的围区域 证明：设 ()fz在 s 内连续 , () lll fzdzudxdyidxudynn=-++òòòò?? 则 ()fz￠（∵ 连续) ** uudid xyxyssss ????-? ??-+- ?÷?÷????è?è?ò òòò ()fz 解析 CR- 0 大家自然会产生这样的疑问：补充了条件后的证明定律， 实际上是更改和增加了定理条件，这对证明原来的定理 也就失去了意义。然而本定理不是这种情况，Cauchy定 理已于1900年由Coursat在没有条件 在内连续 的条件下证明了。后来我们也会看到， 在内连续是 包含在条件 在内解析中的。所以在这里实质上并 未增加条件，也未出现循环推理，Coursat证明引论CH4。 Cauchy定理很重要，人们又称之为解析函数或积分的基 本定理。 注意： ()fz￠ ()fz￠ s s()fz￠ s 例1： ?3 l dz z =-ò )32: )2 izl iiz ì-=? í =? ? )23 l dzii z p=-ò )03l dzii z =-ò ∵ 奇点 在 外3z = l 注意：沿闭路径积分之值为0的被积函不一定解析。 如： 2 0(2)dzz =-ò? 但 2 1 (3)z - 不解析 这说明Cauchy逆定理不存在。 问：Cauchy定理条件能否减弱？ 区域Cauchy定理是否存在？ 例2：sin,:11 l zdzlz-=ò 的上半周，走向从0到2的解， 此积分直接用曲线做较困难，但 sin z 在全平面解析， 1l为沿实轴从0到2，则有 1 2 0 sinsinsin1cos2 ll zd zd xdx===-òòò 故积分与路径无关，我们可取为沿实轴从0到2，则 有 上次课证明了Cauchy定理，知 f(z) 沿其解析区 域中的任意一条分段光滑的闭合回路的积分之值 为0。 ()0 l fzdz =ò? e.g. )32? : 3 )2l izdz l z iiz ì-=?= í- =? ?ò? )23 l dzii z p=-ò? 由公式 2 1 0 1()nl indz nza p =ì= í 1- ?ò? :lzar-= 2 1) 0 33lz dzi dz zzCauchy==--òò?? ___________ 定理 不符合上述公式应用条件: 被积函数有奇点z=3但在围道 外在 上解析2z = 2z = e.g： 但 在 上不解析。 注意： ①上次已说过，虽然我们是在附加条件 在内 连续下证得的，但证明过程中的附加条件可去掉。 ()fz￠ s ②沿围道积分为0的函数不一定在该围道内即上解析， 即Cauchy逆定理不存在。 2 1 0, :32 (3)l dzlzz =-=-ò? 2 1 (3)z - 32z -￡ 我们计算了两个函数Rez和z分别沿两条不同路径 02 022 i i ?+ì í??+? 的直线 折线 看到： ) ) Re2 Re22 iOA iiOA zdzi zdzi ì =+? í =+ ?? ò ò 不同 ) ) 3 2 2 32 2 iOA iiOA zdzi zdzi ì =+ ? í ? =+? ? ò ò 相同 我们自然会问 ) 3 22iiiOA zdzi+ò 是否等于 若是，究竟哪类函数积分 与路径无关？还看到通过由积分定义计算积分看到： 0 22 0 1 2zzn nl zd zzéù=-??ò有了科西定理，将直接或间接地解答我们的这些疑问。 二、推论：在单连通区域中的解析的函数 的积分 之值只依赖于起点与终点而与积分路径无关 这好象实函数中用莱布尼兹公式求定积分一样： ( )0 0 2 2 0 1 22 x x xnx xxd xx==-ò 其中是的一个函数，2 2 x x 那么自然想到：对于复函数是否也可建立不定积分 概念？是否也有相应的Newton-leibniz公式？ 设 在 内解析，和 为内由A→B的()fz s 1l 2l s 12 12 ()()() ()()0 lll ll fzdzfzdzfzdz fzdzfzdz - =+ =-= òòò òò ? 任意分段光滑曲线，则 ()fz ∴ 12 ()() ll fzdzfzdz=òò 现在我们清楚了为什么 ))iOAiiOAzd zdz=òò ∵z在复平面解析，第（2）个问题还有待于解决。 三、不定积分原函数： 1．定理：若 在内解析则在内()fz ss 0 ()()zFzfdxx=ò一单值解析， 且 ()()Fzfz￠= 证：∵ 解析，∴()fz ()AB fdxxò 只与AB有关， 0Az= Az= 变点，则 0 ()()z z Fzfdxx= ò 一单值。 分析：只要证得 ()()Fzfz￠ = ∵ 在内解析()fz s ∴ 当然在内处处存在．s 则就证明了 解析。()Fz 欲证： 即要证()()Fzfz￠ = 0 ()lim() z Fzzfz zD? +D = D 亦即要证： 0, 0, Ezedd">$>D< 有 ()() ()FzzFz fz z e +D- -< D 首先看差商：注意我们的已知条件是 在 内解析()fz s 若固定 00 00 ()()()() 1 f()d+()() 1 () zzz zzzz zz z fdfdFzzFz zz fdfdz fdz xxxx xxxxxx xx +D +D +D -+D- =DD éù=- êú??D = D òò òòò ò 0 1 1 10211 0 lim() lim nz kkz n k nnn n dzz zzzzzz zz x - ?￥ = -?￥ =- =-+-+- =- ?ò L ∵由定义 [ ] ()() () 1 ()-() 1 ()() FzzFzIfz z zzffzdz z zzffzdz z xx xx +D-=- D +D= ò D +D￡-ò D ∴ ∵ 在 内解析()fz s ∴ 0, 0, 0zedx">$>-< 时有 ()()ffzxe-<于是： zz z Ide xe+D<=D ò 0 ()()lim() z FzzFz fz zD? +D- = D∴ 即 ()()Fzfz￠ = 思考：为什么要强调 沿直线？zz z +Dò 注意：回顾定理的证明过程，在证 0 ()()z z Fzfdxx= ò 是单值函数时只用到了条件 ()0fzdz r =ò? 进而证明 解析()Fz ()()Fzfz￠ = 时只用了条件 连续， 故此定理成立只要条件 ()fz ()0 () l fzdz fz ì =? í ?? ò? 两个条件成立即可，即使 在 内不解析，()fz s 而只要有上述二条件成立，定理也成立，亦即此定理 成立条件可减弱。 连续 2．原函数定义：若 ()()zfz￠F= 则称 为 的原函数，显然()zF ()fz 0 ()()()z z Fzfdfzxx=ò 为 的一个原函数，∵ ()()Fzfz￠ = 当然 原函数不是唯一的，任意两原函数 ()()zFzCF-= 只差一常数即 3 分析：对实函而言若 则 对复函()0gx￠ = ()gxC= [ ]()()0zFz ￠F-= 即可，这一关系是成立的，现在我们先证这一关系。 ①证：若 则()0,gz￠ = ()gzc= 令 ()(,)(,)gzuxyixyn=+ 则 ()0uugziixxyynn????￠ =+=-=???? ∴ 0uuxyyn???===??? 123()gzcicc-+= 得证 这一关系是否也成立？ 即若 , 若成立，则得证。只要证()0gz￠ = ()gzC= ②证： ∵ ()()zFzCF-= [ ]()()()()()()0zFzzFzfzfz￠ ￠￠F-=F-=-= ()()zFzCF-=∴ 即 0 ()()z z zfCxF=+ò 4．Newton-Leibniz公式： 对于 ，取 0 ()()()z z zFzCfdCxxF=+=+ò 0zz= 则 0()zCF= ∴ 0 0()()() z z fdzzxx=F-Fò 这比复积分一节选择不同路径做的显然简单得多。 由此看来，对于解析函数而言，也有如同实函数中的 Newton-Leibniz公式。我们可以仿照数学分析中Newton- Leibniz公式求定积分的方法一样，用牛顿-莱布尼兹公式 来计算解析函数的曲线积分，即通过求原函数求积分而我 们已反复说明过实函中求导公式在复函中均成立。 ∴求原函数的问题当然是一十分简单的问题。 e.g. 2 0 2?i zdz+ =ò ∵的一个原函是2z 3 3 z 3 2 22 0 0 211 333 i izzdzi+ +==+ò 所以 e.g. 求 21 , :2 l dzlZiz +=ò 的右半周，走向从－3i 到 i 解： 在内解析，于是由Leibniz公式有21z s 32 14 3 i il dz i xz-=-=ò 知道了解析函数和不定积分关系，可以使复积分计算 大大简化 e.g. 已知 （为解析函数实部）求22uxyx=-- ()fz 按原来： 21, 2uuxyxy??=-=- ()2() 2() CRv vdxgyydxgyx xygy -? =+=+? ==+ òò 求∴()gy 2()21 CRv xgyxy -? ￠ =+=-? 由 若 可微分，则 ∴ ∴()1,yy￠ =- ()gyyc=-+ ∴ 2vxycc=-+ 22 2 ()2fzuivxyxixyiyic zzc =+=--+-+ ￠=-+ 现在：∵ ()21221uufzixiyzxy??￠ =-=-+=-?? ∴ 20()(21) zfzzdzczzc=-+=-+ò 解析函数积分也可用分部积分，对于实部： ,uv ()duvudvvdu×=+ ∴ ()udvduvvdu=- ∴ udvuvvdu=-òò 对于实： (), duvudvvduuvudvvdu=+=+òò udvuvvdu=-òò 22 2 1 1 1 1 1 2 i izzzzzed zdezeedzepp pp++ +===-òò 四、Cauchy定理的推广： 原：在内解析，则()fz 's ' ()0, l fzdzls=?ò? ()fz 在内解析及s lss=+上均解析，则 ()0 l fzdz =ò? 为边界，则 推广： ()fz s s ()0 l fzdz =ò? 连续，当()fz *ll? 从几何直观上可想到 * * lim()()0 llll fzdzfzdz ? ==òò?? 考虑积分实例： 2 ? 21za dz az= =>-ò? 在内有二奇点， 无法用Cauchy定理， l 1z =± l 在内解析，在上连续， 但若分别以 为中心作小圆，则 挖去二小圆后便得一复通区域， 1z =± 被积函在此复通区域解析，因此我们自然考虑 到复通区域Cauchy定理是否存在？若存在，此 积分应易于求出，究竟怎样求出。 五、复通区域的Cauchy定理 设 为 的复围线， 1 n k k Lll = =+? s ()()fzHs? 在 上连续。Lss=+ 1 ()() k n ll fzd fzdz = = ?òò?? ∵ 1 ()()()0B AB lAl fzdzfzdzfzdzf+++=òòò ∴ 1 ()() ll fzdzfzdz=òò?? 同法可得： 1k n llk = = ?òò?? e.g. 1 ?()nl dzza =-ò? :l a i/ 若 则0n￡ 0()nl dz lza =-ò? ii/ 若 则 奇0n> za=- 在 内，则zarl-=? 11 ()() 2 1 0 1 nnlzard dzzaza in n p -= =-- =ì= í1? òò? 包围 ∴ 2, 11 0, 1()nl indz nlza p =ì= í 1- ?ò? ① 上例 12 2 22 1 11 za ll dzz dzdzzz = - =+-- ò òò ? ?? 又 21111 1211zzz éù=- êú--+?? ∴ [ ] 1112 111120 -12112lll dzdzdzii zzz p éù=-=-= êú-+??òòò??? 同法可得 2 2 1 1l dziz p=--ò? ∴ 21 01 za dzz = =-ò? 不解析亦可能为0 现在，我们已会计算某些复变函数的围道积分了， 其步骤是： 判断被积函 是否解析： ()fz , ()0 ,() : yfzdz NfzdzN y ì = ?? ìí ? ? í ? ??? ò ò ? ?,奇点是否在围道内 (转下页） ) 1:) (-) 2 101) 0 1() k n nl al yb za incdz nza p ì ? ? ? í ? ? =ì ? =í 1- ? ?? ò? 绕奇点作围道 被积函数分项式为的形式 用公式 先复习Cauchy定理 若 在内解析在边界 上连续()fx s L 则 11 0, () (), k nn l k lLk Ll fzdz fzdzLll == =ì? =í=+ ??ò ??ò? ? 再看一例： 313131121 (1)1(1)111 z z zz zzzzz - éù=-=--=+ êú------?? 2 31 ? (1)z zIdz zz= -== -ò? 12 3131 (1)(1)ll zzIdzdz z zz --=+òò?? 又 ∴ 11 3121 22 (1)1lldzdziz zz p - éù=+=× êú--??òò?? （1） 22 3 21 2 (1)1lldzdziz zz p - éù=+= êú--??òò?? （2） ∴ 12 6 ll Iip=+òò??＝ 这里，我们用①复通Cauchy定理；②分项分式； ③积分公式 ()nldzza-ò? 来做的，观察以上（1）、（2）积分的特点： ①积分之值均含有2ip ②被积函均为分式（后写：分子在围道内及上解析） ③被积函在围道内均有一个奇点，分母的零点 若有意写成： 11 31 1 3131222 (1)1 z znll z zzdzdzii z zzpp - = = --==×=× --òò?? 22 31 1 0 3 3122 (1)1ll zzdzdzii z zzpp - - ====×--òò?? 问：上述积分之值与被积函数 分子之间的关系是否偶然？ Cauchy公式回答了我们这一问题