§3.1复级数 一、复数项级数 1.级数定义 2.敛散定义 3.研究方法 4.收敛的充要条件 ( ) 有当 KkKK >>$>" ,0,0e 自然数?<+++=- ++++ pfffFF pkkkkpk ,...21 e 5.收敛的必要条件 0lim =￥? kk f 6.绝对收敛 (1).定义 (2).性质 (3).绝对收敛的级数，可任意交换其各项的次序，所得 级数仍绝对收敛且其和不变 (4).两个绝对收敛的级数可逐项相乘，所得级数仍绝 对收敛 ( ) [ ] ...021120100100 00 ++++++=×?? ￥ = ￥ = bababababababa k k k k M 332313033 322212022 312111011 302010000 3210 ... babababaa babababaa babababaa babababaa bbbb (5).比值[达朗贝尔(D’Alembert)]判别法 ( ) 有当 KkKK >>" ,0 ( ) 绝对收敛则? ￥ = + << 0 1 ,1 k k k k f f f rr ?? ?í ì ?t ?yü = > < = ? ￥ = + ￥? 不定 发散 绝对收敛 则当若 0 1 1 1 1 ,,lim k k k k k f l l l lff (6)高斯[Gauss]判别法 ÷???è?++= + l m kokf f k k 11 1 绝对收敛则当 ? ￥ = > 0 1Re k kfm 发散则当 ? ￥ = ￡ 0 1Re k kfm 注:以上论述对复函数项级数均成立 二、复变函数项级数 1.定义: 2.一致收敛 (1).定义 () () NkNNzf k k >=$>"? ￥ = 当上的对在 ,,0 0 ees () () ()zFfrFzF k kk 上一致收敛于在则有 se ? ￥ = <- 0 , (2).收敛的充要条件 ( ) NkNN >>=$>" 使,0,0 ee e<-+ kpk FF有 3.性质 () () () ()zFzfzf k kk 一致收敛 连续且内若在 =? ￥ =0 .1 s ( ) ( )zFzf T记( ) 内连续亦在则 szF () () () ()zFzfzf k kk 一致收敛 连续且内若在 =? ￥ =0 .2 s () ()?òò ￥ = = 0k l kl dzzfdzzF则 ( ) ( )解析，内若在 zfks.3 ( ) () ()zFzf k k 一致收敛 上在 =?￠￠ ? ￥ =0 sss () ()() ()()?￥ = = 0k n k n zfzFzF 解析且内则在 s () () ( ) ?￥ = >￡ 0 0.4 k kkkk MMMzf 收敛且内若在s ()?￥ =0k kzf 绝对一致收敛 前三条性质与一致收敛的实函数项的级数所 具有的相应性质完全一样，第四条性质存在的条件与 相应的实函数项级数的性质有所不同这里引入了函数 解析性的概念 证明函数解析的途径： a/定义;b/充要条件;c/不定积分定理; d/Cauchy型积分;e/Morena定理 ( ) ( ) ( )解析则内连续在定理 zfdzzfzf l k 0:Morena =òs 对照条件，试用Morena定理 证明： () () ()zFzfzf k kk 上一致收敛在 内解析连续且在 s s ￠￥ = =? 0 Q () () 上连续在，故由性质 s￠zF3i. () 内连续在的任意性和注意 ssss zF\￠?￠: s￠ l s () () () 0ii. 0 3 == ? òò ￥ =k l kl dzzfdzzF 由 ∴由i),ii)根据Morena定理有F(z)在σ内解析 ()() () ( ) () ( )ò ? ò + ￥ = + -= -= l n k k l n n dz f i n dzFinzF xx x p xx xp 1 0 1 2 ! 2 !又 () ( ) ()()?? ò ￥ = ￥ = + =-= 00 12 ! k n k l n k zfd z f i n x x x p