§3.2 非齐次方程—纯强迫振动 一、定解问题 我们来考虑有界弦（或杆）的纯强迫振动 ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = = += = = = = 0| 0| 0| 0| ),( 0 0 0 2 tt t lx x xxtt u u u u txfuau <1> <2> <3> 二、求解思路 思路① :对于 ?? ?? ? = = += = = 0| 0| ),( 0 0 2 tt t xxtt u u txfuau 我们可以先由冲量定理求解： ?? ?? ? = = = = = ),(| 0| 2 tt t xfv v vav tt t xxtt 可由达朗贝尔公式求出);,( ttxv ∫= t dtxvtxu 0 );,(),( tt而 所以我们可以想到，对于： ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = = += = = = = 0| 0| 0| 0| ),( 0 0 0 2 tt t lx x xxtt u u u u txfuau 也可以先用冲量原理求解 ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = = = = = = = 0| 0| 0| 0| 0 2 t t tt t lx x xxtt v v v v vav 根据冲量原理，先求解： 式求出可由有界弦自由振动公其中 );,( ttxv ∫= t dtxvtxu 0 );,(),( tt这时 思路②： 我们考虑二阶非齐次的常微分方程的求解： (*))()()()( xfyxQyxpxy =+′+′′对于 我们可采取常数变易法求解，即： 先求解对应的齐次方程： 0)()()( =+′+′′ yxQyxpxy 若它有通解： )()()( 2211 xyCxyCxyg += 则可令对应的齐次方程（*）有通解： )()()()()( 2211 xyxCxyxCxyg += s g yxCxC xy 从而求出、 求出并附加一个条件，即可代入将 )()( (*))( 21 则对于定解问题<1>~<3>，我们也可先 考虑对应的齐次问题： ?? ?? ? = = = = = 0| 0| 0 0 2 tt t xxtt u u uau 再采用类似于常数变量法类似的方法求对 应的非齐次问题的特解。 三、求解： 1、对应的齐次条件 ?? ?? ? = = = = = 0| 0| 0 0 2 tt t xxtt u u uau [这一问题用分离变量法是易于求 得 本征值问题])(xX ?? ??? = = =?′′ 0)( 0)0( 0 lX X XX m 解得： l xnCxX nln nn p pm sin)( ,...2,1,)( 2 = =?= )()(),( tTxXtxu =令 仿照常数变易法，令： ∑∞ = = 1 sin)()( n n l xntTtxu p， <4> 将之代入式<1>得： ),(sin)]()()([ 1 2 txf l xntT l antT n nn =+ ″∑∞ = pp 由傅里叶级数的系数公式有： 2、求解 的方程)(tTn )()()()( 2 tftTlantT nnn =+″ p 其中： apaa dlntfltf ln ∫= 0 sin),(2)( 再将式<4>代入初始条件<3>，得： ? ? ? ??? ? =′ = ∑ ∑ ∞ = ∞ = 1 1 0sin)0( 0sin)0( n n n n l xnT l xnT p p <5> <6> 比较两边的系数有： ?? ??? =′ = 0)0( 0)0( n n T T 有常微分方程的常数变易法可求得关于方程 的解为：和的定解问题 ><>< 75)(tTn ttptp dtl anfanltT t nn ∫ ?= 0 )(sin)()( <7> 3、有界弦（杆）的纯强迫振动的解： <8> 将<8>代入<4>，得定解问题<1>~<3>的解为： xlndtl anfanltxu n t n pttpt p sin])(sin)([),( 1 0∑ ∫ ∞ = ?= 式给出。由其中 >< 6)(tfn 4、本征函数法 以上求解非齐次方程的方法，显然也适用于 求解带有其他齐次边界条件的各类方程。 其中主要步骤为： (1) 用分离变量法求得对应的齐次问题（即对应的齐次方 程连同齐次边界条件）的本征函数。 (2)将未知函数 [或 等]按上面求得的本征函 数展开，其展开系数为另一变量的函数，代入非齐次方程 和初始条件（或另一变量的边界条件），得到关于时间因 子的常微分方程的初值条件（或另一单元函数的常微分方 程的边值问题），用常数变易法或拉氏变换法可求得其 解。 (3)将所求得的解代入未知函数的展开式中，即得到原定解 问题的解。这种分离变量的方法按其特点又叫本征函数 （或固有函数）法。 )( txu ，)( yxu ， 五、例题 求解定解问题： ?? ?? ? = == =? = == 0| 0|,0| sin 0 0 2 t lxxxx xxt u uu tAuau w <1> <2> <3> 解：对应的齐次方程的本征值问题为 ?? ? =′=′ =?′′ 0)(,0)0( 0 lXX XX m 求解得本征函数为： ,...2,1,0,cos)( == nl xnCxX nn p 令： ∑ ∞ = = 0 cos)( n n l xntTu p 代入方程<1>和初始条件<3>得： ? ? ? ??? ? =′ =+′ ∑ ∑ ∞ = ∞ = 0 0 2 0cos)0( sincos)]()()([ n n n nn l xnT tAl xntTl xntT p wpp <4> 比较等式两边的傅里叶系数有： )0( 0)0( sin)( 0 0 = ?? ??? = =′ n T AtT w )321( 0)0( 0)()()( 2 …= ?? ??? = =+′ ，，n T tTl antT n nn p 解之得： ,...)3,2,1(0)(;)cos1()(0 ==?= ntTtAtT nww 代入<4>式得： )cos1(),( tAtxu ww ?= 本节注意： (1)以上方法也适于求解带有其他齐次边界条件的非齐次 方程的定解条件，其主要精神是： <i> 先考虑对应的齐次问题，用分离变量法求得其齐次问 题的固有函数； <ii> 将未知函数按本征函数展开，其展开系数为另一变 量的系数，代入原非齐次方程和初始条件（或另一变量的 边界条件），得另一变量的常微分方程定解问题； <iii> 求常微分方程定解问题的解代入展开式得原定解问 题得解。这种分离变量的方法按其特点又叫本征函数。 (2) 对于有界弦的一般强迫振动： ?? ?? ? == == =? == == )(|,)(| 0|,0| ),( 00 0 2 xuxu uu txfuau ttt lxx xxtt yj 我们可以由迭加原理将之化为两个 以前讨论过的问题来求解，即： ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = = = = = = = )(| )(| 0| 0| 0 0 0 2 xu xu u u uau tt I t I lx I x I xxIttI y j ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = = += = = = = 0| 0| 0| 0| ),( 0 0 0 2 tt II t II lx II x II xxIIttII u u u u txfuau + 则： III uuu += = 有界弦自由振动解 + 有界弦纯强迫振动解