xxpx dlnflb l l n ∫ ? = sin)(1 §4.1傅氏变换 一、傅氏积分和傅氏积分定理 1. 周期(2l)函数的傅氏级数 (1) 三角式： 0 1 ￥ nn n= a nπ nπf(x)=+(acosx+bsinx) ll2 xpx dlnfla l l n ∫ ? = cos)(1 ??? ??? ? = = ? ? ∞ ?∞= ∫ ∑ xx xw w deflCn Cnexf n n il l n xi )(21 )( (2) 复数式 跳跃）( ,...2,1,0,1,2,3...,, 1 l nln nnn n pwwwD pw =?=∴ ???== + 2. 非周期函数的傅氏积分 非周周 ??→? ∞→ll)2( -1 () lim n l ix n n fxcew →∞ ∞ = = ∑ wwpwD →??→?= ∞→ nln l ,,0 连续此时 - -0 1[()] 2lim nn n iix nfedewxw w xp ∞ ∞ ∞?→?∞ =?∑∫ [()]2lim nnliix ll n fedel wxwxx ∞ →∞ =?∞ = ∑ ∫ 3. 傅氏积分存在的条件 (1)满足狄氏条件 (2)绝对可积 则 [ ]?? ??? ?++= 间断点， 傅氏积分，连续点处 000 )0()0(2 1)( xxfxfxf wxxp wwx dedfxf xiie∫∫ ∞ ∞? ?∞ ∞? = ])([21)(即： 4. 三维傅氏积分 ( ) ∫∫∫ ∫∫∫ ∞ ∞? ∞ ∞? ???= w p ww vvvr vvvv derderfrf riri ])([ 2 1)( 3 321, wwww dddddxdydzrd == v 332211 wwww eee vvvv ++= zkyjxir vvv ++= 二、傅氏变换 1.定义 [ ]∫∞ ∞? ? == )()()( xfFdxexfG xi 记ww 称为f(x)的傅氏变换 则 [ ]∫∞ ∞? ?== )()( 2 1)( 1 www p w GFdeGxf xi 记 称为G(w)的傅氏逆变换 [ ] )()(1 xfxfFF =?显然 3.三维傅氏变换 定义： 则： ww p w vvv vv deGrf ri ? ∞? ∫∫∫= )()2( 1)( 3 rderfG ri vvv vv?? ∞? ∫∫∫= ww )()( 4.傅氏变换的其它几种形式 ? ? ? ??? ? = = ∫ ∫ ∞ ∞? ? ∞ ∞? ww pw w w deGxf dxexfG xi xi )()( )(21)((1) ? ? ? ??? ? = = ∫ ∫ ∞ ∞? ? ∞ ∞? wwp pw w w deGxf dxexfG xi xi )(21)( )(21)( ? ? ? ??? ? = = ? ∞ ∞? ∞ ∞? ∫ ∫ wwp pw w w deGxf dxexfG xi xi )(21)( )(21)( (2) (3) 5.傅氏变换的物理意义 G(ω)为f(x)的频率密度函数或频谱函 数，它可用来反映各种频率谐波之间振幅的相 对大小，并称| G(ω)|为f(x)的频谱。因为ω 是相对变化的，所以f(x)的频谱是连续谱。而 wwp w deGxf xi∫ ∞ ∞? = )(21)( 可解释为无穷多个振幅（复振幅）为无限小 的，频率为连续的谐波的连续和。 “在数学物理中一个方法的成功不是由于巧妙 的谋略，或幸运的偶遇，而是因为他表达着物理真理 的某个方面。” O.G.沙顿《数学的应用》1954 三、傅氏变换的性质 ][][][:.1 2121 fFfFffF baba +=+线性 ))(][( )()]([:.2 00 w www GxF GxfeF xi = ?= ）（设 延迟 ：证明][ ∫ ∞ ∞? = dxexfexfeF xixixi www )()]([ 00 ∫ ∞ ∞? ??= dxexf xi )( 0)( ww )()( 0www ?=′= GG )]([)]([:.3 00 xfFexxfF xiw=±位移 ∫ ∞ ∞? ′? ?=′= 0,)( www w dxexf xi ( ) ,...2,1,0)(1 =??→? ∞→? nxf xn其中 )(1)]([:.4 aGaaxfF w=相似 ( ) ,...2,1)],([))]([:.5 == nxfFixfF nn w（微分 证明： ( ) ( ) dxexfxfF xiw?∞ ∞?∫ ′=′ ][ ( )∫ ∞∞? ?= xdfe xiw ( ) xixi dexfxfe ww ?∞∞?∞∞?? ∫?= )( () 0→ ∞→ xf x 时当Q ( )∫∞∞? ?= dxexfi xiww ( )[ ]xfFiw= ()[ ] ()? ? ? ?? ? ′=′ xf dx dFxfF ( ) ( )xgxf =′设 ( )[ ]xgF ′ () () 0→=′ ∞→ xgxf x 时有当Q ( )[ ] ( )[ ]xfFixgFi ′== ww ( ) ( )[ ]xfFi 2w= ()( )[ ] ( ) ( )[ ]xfFixfF nn w=由此类推可得 () ()[ ]xfFidfF x x w xx 1.6 0 =??????∫积分： 证明： () ()xfdf dx d x x =∫ xx 0 Q () ()[ ]xfFdfdxdF xx =??????∴ ∫ 0 xx () () ??????=? ? ? ?? ? ∫∫ x x x x dfFidfdxdf 00 xxwxx又 () ()[ ]xfFidfF x x w xx 1 0 =??????∫即 ()[ ] () ][ 0∫ =∴ x x dfFixfF xxw [ ] [ ] [ ]2121:.7 fFfFffF ?=?卷积 [ ] [ ] [ ]2121 21:.8 fFfFffF ?=? p像卷积 () ( )∫∞ ∞? →?=? 卷积其中 xxx dxffff 2121 证明： [ ] () ()∫∞ ∞? ?=? dxexfxfffF xiw 2121 () ( )∫ ∫∞ ∞? ?∞ ∞? ′ ′′?= dxedeGxf xixi ww ww p 21 2 1 ( ) () ( )∫ ∫∞∞? ∞∞? ′?? ′?′= wwp ww ddxexfG xi1221 ∫∞∞? ′′?′= wwwwp dGG )()(21 12 [] []2121 fFfF ?= p 例题： ?][ 2 =? axxeF 22 2 axax axee dx d ?? ?=Q ][21][ 22 axax edxdFaxef ?? ?=∴ ][21 2axeFia ??= w ][21 2axeFia ??= w ae aa i 4 2 2 wpw ? ?= ② )()]([ wj GxF =已知 ]cos)([./ 1 taGFi ww?求 ]sin[./ 1 taaGFii www?求 ][2 )(cos)( atiati eeGtaG wwwww ?+=Q解： ]cos)([1 taGF ww?∴ ])([21])([21 11 atiati eGFeGF ww ww ??? += )]()([21 atxatx ?++= jj ( ) ( ) ( ) w www w w ww ia eGeGta a Gii atiati 2sin/ ?? =Q ( ) ( ) ?? ? ?? ? ?= ? atiati e i Ge i G a ww w w w w 2 1 () () ?????? ?????????????= ?∫∫ atix x atix x edFedFa ww xxjxxj 002 1 ( ) ∫ + ? ? =? ? ? ?? ?∴ atx atx dtaaGF xxjwww )(21sin1