§5.1 一、函数的引入 1、物理背景 函数d 金属线段)1( 处集中在总质量 0x,1 ==m ò ￥ ￥- >D = ?í ì =￥ 1= D D= 1)( 0 00lim)(: 0 dxx x x x mx x r r则密度 o 1 x ?í ì 1 =￥= 00 0)( x xxr 函数、定义 d d d ? ? ? ??í ì =- ?í ì =￥ 1= ò ￥ ￥- 1)( 0 00)( :2 0 dxxx x xx 0=x 单位电荷 ? ? ? ??í ì =- ?í ì =￥ 1=- ò ￥ ￥- 1)( 0)( : 0 0 0 0 dxxx xx xxxx d d 一般 )()( ,xx 0 0 xxmx mm -= = dr则 总质量质量点放有若在 密度函数结合上面实例 -d òò ò ò + - ￥ ￥- ￥ ￥- + - -==- == e e e e dd rr x x x x dxxxmdxxxm dxxmdxx 0 0 )()( )()( 00 Q )()( 0xxmx -=\ dr )()(q ,xx 0 0 xxqx q -= = dr，则其总电量为 的点电荷放有电量同样若在 广义函数 密度函数和点源函数 注意 -d)2( )1( : 则连续在设 ,),()( ￥-￥xf )0()()( )()()(1 00 fxxf xfdxxxxf = =- ò ò ￥ ￥- ￥ ￥- d d、 0x ( )0xx -d 二、性质 exe x dd e e +<<- = -=- òò + - ￥ ￥- xx f dxxxxfdxxxxf x x 0 00 )( )()()()( 0 Q 数也能表示连续分体的函注意 d: ttdtttdt dtfdtftf b aòò -=-= ￥ ￥- )()()()()( 函数的导数、若定义 ddd -= )(')(2 xxdxd )()1()()()3( )()('))(2( )(')(')()1( 0 )( 0 000 00 xfdxxxxf xxxxxx xfdxxxxf nnn -=- --=-- -=- ò ò ￥ ￥- ￥ ￥- d dd d则 dxxxxfò ￥ ￥- - )(')()1(: 0d证 )(' )()('|)()( )()( 0 00 0 xf dxxxxfxxxf xxdxf -= ---= -= ò ò ￥ ￥- ￥ ￥- ￥ ￥- dd d 判断函数相等的一种方法： )()(: )()()()( xgxf dxxxgdxxxf b a b a = = òò 则必有 jj 0)( 0)()(: = =ò xg dxxgxf b a 则必有 若特别 设 与 都是定义在 区间上的函数，若对于定 义在 区间上的任意连续函数 都有如下等式成立： )(xf )(xg )( ba， )(xg)( ba， 任意连续设证 )()2(: xj [ ] [ ] )()())((' ))(( )('))(( 00 0 00 0 0 xxxxx xxxdxd dxxxxxx xx xx jjj j dj -=+--= --= -- = = ￥ ￥- ò则 [ ] )()()( 00 xdxxxx jdj -=--ò ￥ ￥- 而 )()(')( 000 xxxxxx --=--\ dd ò ￥ ￥- - dxxxxf )(')()3( 0d )](''[|)(')( )('')( 00 0 xfxxxf xxdxf ---= -= ￥￥- ￥ ￥- ò d d )('')1(|)()( 020 0 xfxxxx xf -+---= ￥￥-d )('')1( 02 xf-= :函数高维 d ? ? ? ? ?? ? í ì =- ?í ì =￥ 1=- - òòò ￥ ￥- 1)( ,0)( )1( :)(:1 0 0 0 0 0 dvMM MM MMMM MM d d d、定义 dxdydzdv = ( )xd 210 三、 为三维函数 其中 ),,()( 0000 zzyyxxMM ---=- dd ? ? ? ? ?? ? í ì =- ?í ì =￥ 1=- òò ￥ ￥- 1)( 0)( )2( 0 0 0 0 xdyMM MM MMMM dd d ),()(, 000 yyxxMM --=- dd其中 )()()( ),,( : 000 000 zzyyxx zzyyxx --- =--- ddd d 易于证明 等的方法由前引入的判断函数相 函数所具有的性质 函数也具有一维积，由此可知高维 函数的乘函数等于一维这表明高维 dd dd ),( )( )()()2( )( ),,( )()()1( :.2 00 0 0 0 000 0 yxf Mf xdyMMMf Mf zyxf dxdydzMMMf = = - = = - òò òòò ￥ ￥- ￥ ￥- dd d 性质 [ ]òò òòò òòò ---= ---= - ￥ ￥- ￥ ￥- ￥ ￥- dzzzdxdyyyxxyxf dxdydzzzyyxxMf dxdydzMMMf )()()(),( )()()()( )()( 000 000 0 ddd ddd dQ )( ),,( )(),,( )()(),,( 0 000 000 000 Mf zyxf dxxxzyxf dxdyyyxxzyxf = = -= --= ò òò ￥ ￥- ￥ ￥- d dd [ ] [ ] ú ? ù ê? é ?í ì =￥ 1=1= = ú? ù ê? é -=1 =- ò ò 间，在而 中为，在 21000)(0sin,0 ?)(sin 021)21(0,21sin ?)21(sin.1 2 1 2 1 xxxx dxxx x dxxx d d d d Q Q 四、例题 òò ￥ ￥- ￥ ￥- -++ dxdyyxyx )1()2()sin(.2 dd òò ￥ ￥- ￥ ￥- -ú ? ù ê? é ++= dyydxxyx )1()2()sin( dd )1sin( )12sin( )1()2sin( -= +-= -+-= ò ￥ ￥- dyyy d : .xx ,,l,.3 0 横振动定解问题 试写出点受到一横向冲量初始时刻在 初位移为零的弦两端固定密度为长为 I= r ??? ??í ì = == = = == 0| 0|,0| 0 0 2 t lxx xxtt u uu uau ?| 0==ttu )(| 0| )(|),( )()( :m xx 0 0 0 000 0 0 xxIu u xxItxI xxmx tt tt t -=== -=-= = = = dr r d dr 冲量密度为 的质点，其质量密度为为 点放有质量我们已经分析过在 五、小结 [我们引入了点源函数,格林函数的概念] ú? ù ê? é 入了广义函数 我们又引为了描绘着一点源函数 ),,( 0MMG ? ? ? ? ?? ? í ì =- ? íì =￥ 1=- ò ￥ ￥- 1)( ,0)( 0 0 0 0 dxxx xx xxxx d d 它具有下述性质 ò ￥ ￥- =- 1)( 0 dxxxd ò ￥ ￥- -=- )()1()()( 00)( xfdxxxxf nnnd 成立这一定理在三维空间仍 林函数法是指：我们还曾指出，所谓格 我们将会看到狄氏问题 积分公式，如有限积分的形式的解即 函数的导出定解问题含有格林)1( 00 0 0 ),()()( )(| 0 s s s dMMGnMfMu Mfu u òò ??-= ?í ì = =D 的积分公式为： 的解可求得 于是定解问题求相应的 ).MG(M,)2( 0