§5.3物理问题中的几个积分 : cos sin 0 2 2 ò ￥ ?t?yü???íì dxxx二、 思路： () 类型启发自然想到考虑受ò ￥ ty ü ?í ì 0 sin cos dx px pxxf :2 ldze l izò RR- Rc 022 =+ òò - Rc izR R ix dzedxe则 ( )òò +== p qqq q q 0 2sin2cos22 deiRedze iiiReRz c iz i R ò -￡ p q q0 2sin2 Rde R 02sin2 ￡￡￡ qpqp而当 ￥?\ò -pp q q 2 2sin2 de R ∴避开这一段， 选如下图所示围道积分 y x Rc ( ) () 00 0 222 =1+ òòò R iyi c izR ix iydedzedxe R 则 02 0 sin 222 ????￡ ￥?-òò RR c iz Rdedze R p q 0: 00 22 =-￥?\ òò ￥ -￥ dyeidxeR iyix òòòò ￥￥￥￥ +=+ 0 20 20 20 2 sincossincos dxxdxxidxxidxx òò ￥￥ = 0 20 2 sincos dxxdxx即 这样没解决问题，可能主要是因为在x轴 和y轴上一段处于对称地位。但0→R上一段总 是需要的，于是试着选取下图回路。 R 4p Rc 00 4 0 2 4 22 = ÷÷? ? ??è ?++ òòò ÷÷? ? ? ? è ? R ixei c izR ix xededzedxe i R p p 则 04 0 sin 222 ?? ??￡ ￥?-òò RR c iz Rdedze R p q同样 òò ×=÷÷????è? R iixiR iiix dxeexedee 040 42 22 ppp ò￥ -￥? -= 04 2 dxee xiR p 20 2 p=ò￥ - dxe xQ Ⅰ Ⅱ 2 4 p pi e-= ÷÷? ? ??è ? +=÷ ? ?? è ? += 2 2 2 2 24sin4cos2 ii pppp 4 2 4 2sincos 0 2 0 2 pp idxxidxx +=+ òò ￥￥即 2 4 0 2 p pi ix edxe -=\ò￥ 4 2sincos 0 2 0 2 p== òò ￥￥ dxxdxx 为任意实数三、 babxdxe ax ,0;cos 0 2 >ò ￥ - 分析： () 符合条件于是检验是否类型颇似 ò￥ 0 ,cos pxdxxf ( ) 单值解析在实轴上无奇点 ,,0 2azezfa -=> () ?í ì ?￥ ??=￥? - 0, 0,0, 2 沿负实轴 沿正实轴当 z zezfz az 不符合公式应用条件，按前所述思想考虑 òò ￥ - -￥ - += 00 2 cos 22 dxeeebxdxe ibxibx axax x y a bi 2 a b 2 1l￠ 1l 2l4l 3l R- R [ dxe ibxaxò￥ +-= 0 2 2 1 ( )]ò-￥ +- -+ 0 2 xde ibxax ò￥￥- +-= dxe ibxax 221 a ibxzdxee aibxaab 22 1 24 22 +== ò￥ ￥- ÷???è? +-- 令 ?21 1 2 2 4 == ò ￠ -- l aza b dzee 的直线平行于实轴与实轴相距 abl 21 :￠ ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ ? ?? è ? -?--? ?÷ ? ?? è ?÷ ? ?? è ??÷ ? ?? è ? - +++= a bRRlRRl RabRlabRabRl lllll 2,0,:;0,0,: 0,2,:;2,2,: 43 21 4321于是选 ( ) ()òò +-- +0 2 2 1 2 a b iydedze iyRa l az于是 Ⅰ Ⅱ Ⅲ ( ) () 022 0 =++ òò +--- - a b iydedxe iyRaR R ax Ⅳ òò ￠ -￥?- = 1 21 2 l azRl az dzedze ( ) () 000 2 22 2 2 ????×￡= ￥?-+- òò RayaRiyRa a b a b dyeeiydeⅡ ( ) ( ) axadeadxe xaaxR p-=-=-= òò ￥ -￥ -￥? 00 22 22Ⅲ 02 22 0 ????×￡ ￥?-ò RayaRa b dyeeⅣ adzel az p=\ò ￠ - 1 2 ( )021cos 4 0 2 2 >= -￥ -ò a aebxdxe a b ax p而