解、三维泊松方程的基本1 2 2 22 2 2 0 sin 1)(sin sin 1 )(1 )1()( jq qq q td ? ?+ ? ? ? ?+ ? ? ? ?=D ?--=D G rr G r r Gr rrG MMMG 注意到 对于 题是球对称的由于是点源产生场故问 )()(1 22 rdrdGrdrd r d=?故原定解问题 §5.3格林函数的一般求法 一、泊松格林函数 2020200 )()()( zzyyxxMMr -+-+-== ? 0)(1 22 =drdGrdrd r 则 ú? ù ê? é =?=?= dr r CdGC dr dGr dr dGr dr d 2 1122 0)(于是 rCG CCrCG 1 01 1 221 -= =+-=? 仍为方程的解 取 00)1( MMr 11 即若 的球体中情况 为半径为中心任意小，则应考虑以若 e00)2( Mr = 1 ),,( )1( 000 -= ----= D òòò òòò dxdydzzzyyxx dxdydzG et t d ，由 òòò -=D? ete )2(1lim0 Gdxdydz即 òò òò òòò òòò ? ?=?= ?×?=D1 e e e e s s t t ss e drGGd dvGGdv时又当 0 p jqe e s e pp se 4 sin 1 1 2 00 2 2 1 21 C ddC dC = = = òò òò :对此式两边取极限 p et e 4lim 1 0òòò =D ? CGdv 2、二维泊松方程的基本解 ),(),( 000 yyxxMMG ---=D d对于 pp 4 114 11 -=-= CC代入(2) rMMG p4 1),(:21 0 =的解为可得、 (1) 定理 并利用二维散度程用类似于上面的讨论过 , òò ò?=?×?s s l udlud rMMG 1ln 2 1),(: 0 p=可得 的基本解 松方程分别称作三维和二维泊和 rr 1ln2141 pp ?í ì = ?----=D 0| ,),,(1 000 s td G MzzyyxxG、三维 我们已求得 思路 td ?----=D MzzyyxxG ),,,(: 000Q 故希望将现在的定解问题看成两部分迭加,有 意识使其中一部分为前面讨论过的 ),(),(),( 000 MMgMMFMMG +=令 )(),( 00 MMMMF --=D d使 二、狄氏格林函数 ?í ì -= =D ss || 0 Fg g则 rF p4 1: =而由前面可知 狄氏格林函数grMMG +=\ p41),( 0 ?? ?íì -= =D ss p |4 1| 0 rg g ?í ì = ---=D 0| ),( 00 lG yyxxG d对于 2、二维 ?? ?íì -= =D += ss p p |1ln21| 0 1ln 2 1 rg g grG类似 3、狄氏格林函数的物理意义 ? ? ? ? ?? ? í ì ?? ?íì -= =D = - ss p s p e pee |41| )(,0 : 4 1 4 1: 0 0 0 rv v v rr MG 大 感应电荷产生 产生 点电位 gv =感应电荷产生电位 点电位求求狄氏由此可见 ? ? M: G M 0 0 M e+ s ?? ?íì -= =D ss p |4 1| 0 : rg g 对于三维问题即求 ?? ?íì -= =D sp | 1ln 2 1| 0 : rg g l 对于二维问题即求 三、用电象法求某些边界形状的狄氏格林函数 ?? ?íì = <=D = )(| ,01 Mfu au ar r 的解、求 òò ??-= s s000)()( :P244 dnGMfMu 得由 ?? ?íì +-= =D += = grg g grMMG a p p r 4 1| 0 4 1),( 0 1r 1M 1r 0r a=r (5.2.12) gu ?? G :)1( 求求 分析 ?? ?íì -= =D ? == aa rg g M rr p |4 1| 0 M 产生电位 求边界面上感应电荷在点电位即求 1 10M)1( 2 rM qM g 的距离为设之与 点放一适当负电荷的象外若能在 （不好求）、用电象法求 -s 内在则 spe 0)4( 10 =-D rq (*)|41|4 10 ss ppe rr q -=- grq 即为则 104pe - : ??: 1 1 如是易于确定的边界形状 虽然对于某些好的问题在于 r qr ==(*) )2(, )1( 1 可由大小问题 确定象点 确定求 ? ?q M g r 0M M 1M 1r q可确定故由(*) ?? ? ? ?? ? í ì -= ?? ?íì <=D += == aa rg ag grG G rr p r p |41| 0 4 1 :)2( 求 1 0210 1100 , r rrr rr a aa OMOM ==× == 即使 101001 , rMMrMMMM ==- 设象点则 1M 0M 1r rr 0r 1 r MOMMOM aMr 10 ?|1 DD == ∽ 上在对于 Q rs aa r a r r ra a == = ==rr r r r ||1 0 1 11 0 即 ara r a r aa == = == r rr pe re p r p |4 |4|41 10 00 1 0 0 0 r e aq =1 0 10 00 44 r a r ag p r pe re -=-= 1 0 44 1 r a rG p r p -=)(3 Mu求 grrrr cos2 0202 ++=r (3)电象法： 这种在象点放一虚构的电荷 来等效代替界面上的感应电荷所产生的电位 的方法称之为电象法 grrrr cos2 12121 -+=r ú ú ? ù ê ê ? é ÷÷? ? ??è ? ? ?-÷ ? ?? è ? ? ?= ? ? 10 11 4 1 r a rn G rrrp 11 0 r ra a == r r grrrr cos0202 -+=rQ (*)2cos cos2 11 2202 0 0202 r rrgr grrrr r r -+=? -+ = grrrrr cos2 11 0202 -+? ?= ? ? rn ( ) 3 22022* 2 3 0 2 0 2 0 2 2 cos2 cos r r r rrr grrrr grr +---= -+ --= 3 2220 2 r r r rr --= 3 223 0 2 |1 ar ra rn a --= ? ? = r r 3 1 22121 010 2 |1 ar ar rn a a --= ? ? = r r a r r同理 3 0 33 0 22022204 2 rr rr ar aara --= 3 2 0 22 2ar ra r--= a a r a rn F = = ú? ù ê? é ÷ ? ?? è ? ? ?- ? ?= ? ?r r rrrp 1 0 11 4 1| ú ú ? ù ê ê ? é -----= 3 2022 3 2220 224 1 ar ra ar ra rr p 3 22 0 3 2 0 22222 0 4 1 24 1 r a a r rara a -= ++---= r p rr p ò ??-= s s000)()( dnGMfMu ( ) 000 2 2 0 0 2 3 22 22 00 sin cos2 ),(41 jqq grr rjq p p p dda aa af a òò -+ -= 03 22 0)(4 1)( sr p dr aMf aMu ò --= ( ) 000 2 0 0 2 3 22 22 00 sin cos2 ),(4 jqq grr rjq p p p dd aa afa òò -+ -= 000 coscos)cos(sinsincos qqjjqqg +-=其中 方向单位向量为 方向单位向量为若设 ?? ?? 00 OMI OMIQ ???? ++= kzjyixI则 ??? ++= kji qjqjq cossinsincossin kji kzjyixI r rr rrr 00000 000 cossinsincossin qjqjq ++= ++= ? gg coscos0 =×=×\ IIII rrrr 0 000 coscos sinsinsinsinsincossin qq jqqqqjq + += 000 coscos)cos(sinsin qqjjqq +-= ?)(,: => Muar即对于球外问题 2、对于圆的狄氏格林函数： 用类似的方法(即点象法)可求得: ?í ì = ?--=D 0| ,)( 0 lG MMMG sd ÷÷? ? ??è ? -= 1 0ln1ln 2 1 r a rG r p ar r10ln 2 1 r p= ?í ì = ?-=D)(| ,)( 0Mfu MMh l s由 dlnGMf dMhMMGMu lò ò ? ?- = 0 0 000 )( )(),()( s s 有 ?? ?íì = <=D = )(| 0 Mfu au ar r易于有 ò --+ -= p jjjrr rjp 20 0022 220 )cos(2)(21 )( d aa af Mu的解为 3、上半空间的 ),( 0MMG grGG MMG z +=T ?í ì = --=D = p d 4 1 0| )( 0 0 ?? ?íì -= =D == 00 |4 1| 0 zz rg g p 0,0)4( ),,(M)1( 1 1 >=-D -- zrq qzyx 则 放在 pe 0 0 00 10 |4|4 == -=- zz rrq peepe使 0 104 e pe -=- -= q r qg则 14 1 4 1 rrG pp -=、半平面4 )1ln1(ln21 1rr G -= p G上半平面 ? í ì = >?--=D = 0| 0Im)( 0 0 yG zMMMG d r r rrG 1 1 ln21 1ln1ln 2 1 p p = ú? ù ê? é -= rG MMMG p td 4 1 ),(1 0 = ?--=D、 三维 ?í ì = ?--=D 0| ),(.2 0 s td G MMMG ?? ? ? ?? ? í ì -= ?=D += ss p t p |4 1| ,0 4 1 rg Mg grG 四、小结 rG MMMG 1ln 2 1 ),(1 0 p sd = ?--=D、 二维 ?í ì = ?--=D 0| ),(2 0 lG MMMG sd、 ?? ? ? ?? ? í ì -= ?=D += ll rg gg grG |1ln21| ,0 1ln 2 1 p s p ?? ?íì ? +?- 上感应电荷 点电位 s ep g rMG 04 1 感应电荷产生求求 ??\ qG M 0e+ r 0M 格林函数演示 1 无穷大接地导体平面上方放一平行均匀带电直导线， 导体所在半无界空间的静电场由对称性可归结为二维点 源的边值问题。 2 无穷长接地导体圆筒内平行于筒轴放置一无穷长均匀 带电直导线，筒内的静电场由对称性可归结为平面圆内 点源的边值问题。 以下各图将演示场的等势线和电力线