§5.2 Poisson方程的边值问题 示为方程的边值问题均可表Piosson ?? ?íì =ú?ùê?é +?? ?-=D )2()( )1(,)( Mgunu MMhu s ba t 格林公式 入导出积分的工具它们的积分公式需先引 的积分公式，为导出类问题需要先导出它们 为用格林函数法求解这为混合问题 问题为为狄氏函数其中当 -- 11 == ,0, ;0;,0 ba ba Neumen 一、格林公式 1、为何引入格林公式 (1)积分公式:所谓积分公式即解的积分表达式 dxxfyxfdxdu ò=?= )()(:若 òò= =??+??= dxdyyxfyxu yxfdyyudxxudu ),(),( ),( 则 进一步 积分可使问题向前推若不能直接积分，分部 从微分号下解脱出来，挂上积分号将未知函数 xedxdy x cos=如： ò òò += == xdxexe xdexdxexy xx xx sincos coscos)( 则 ò-+= xdxexexe xxx cossincos [ ]xxx exexdxe sincos21cos +=\ò . , 解脱出来的工具 下从微分算符格林公式是将未知函数 方程中均含有我们要求解的三类数理 D D 2 2 2 2 2 2 ),,( zyvxvzyxv ??+??+??=D即 ?)(),( MvMhv 如何得对于 -=D (2) 导出格林公式 于是自然想到由 ò Dt tvdu 上具有连续一阶导数导数在 中具有连续的二阶在和设 - t t),,(),,( zyxvzyxu òò ò ?×?-?×?=D tt ttt vdudvuvdu )(:则 òò ?×?-×?= ts ts vdudvu r 2. 格林第一公式 ò ò ò ×?= ?×?+Ds t t s tt rdvu vduvdu )3(ò ??= s sdnvu )4(: ò òò ??=?×?+D t st stt dnuvvduudv同样 )5()(ò òò ??-??=D-D t st stt dnuvnvuudvvdu 3、格林第二公式 的值或就有可能求得 的边值知值联系起来这意味着若 的边的点与将意义 hvhu n v n uvu n u n vvuvuvu -=D-=D ? ? ? ? ? ? ? ?DD ,,, ,,,,,,)1(: 对称vu,)2( 的解 方程的边值问题就有可能导出求 第二公式使用和对 则的求法后面我们专门会讲易求若 因为为此我们引入点源函数 Poisson zyxu G MMG Greenz)y,G(c,),,( )(G ),( 0 的解。就有可能求得 则由上述格林公式，如已知 中已知一个、。若、含有两个未知函数 因为方程中利用上式显然不足以解 )( ,0, , ),()3( Mhu vv vuvu Mhu -=D =D -=D 即点源产生的场 使它满足中引入在 )6(,)( ),( 0 0 td t ?--=D MMMG MMG 202020 0 )()()( 4 1)4.3.5~3.5(, zzyyxxr rGM ---= =? pt 有则由 二、积分公式---格林函数法 1. 泊松方程的基本积分公式 )()()( ),()()(),( 0 00 MhMMMu MMGMuMuMMG -= D-D× d 的区域积分区间应挖掉 第二公式故为应用 为奇点以注意到 et Green MMMG ,),( 00 :)6()1( uG ×-× òò ò -- - --= ? ?- ? ? ee e tttt tt ttd t )7()()( ])(),([ 0 0 dMhGdMMu dnGMunuMMG即 : .)1().1()(, )( , 现来化简 的解即为必满足则此式 的积分表达的含有化简整理得到 若能由此式导出的和注意此式是由 Mu GMu (1)(6) 0)()( 00 =--\-? MMM dtttt ee 中在Q 0)( 0 =-ò - td ett dMMu于是 的距离到 由 右边 M 4 1)( : 0 0 Mr rGMMG - =?--=D pdQ )( 4 1),( : 0 0 es pe s e e 的距离为上任一点到此时 在 MM MMG Q = spe s e e s s du dnuMMG nò ò = ? ? 4 1 ),(: 0于是 s pe e es dunò= 2 4 0 0 0)( ? =×= e e Mun dsurMu r ò? = sp 200 4 1lim)(由 于是 )(4 1 4 1 0 0 2 Mudu drrudnGu ? == ? ?-= ? ? ò òò e s ss spe sps e ee 有 )7(将以上计算代入 ò ò -= --?? t s t s dMhMMG MudnGunuG )(),( )()(: 0 0于是有 ss t ss t dnGMudnuMMG dMhMMGMu òò ò ? ?- ? ?- = )(),( )(),()(: 0 00于是 积分式表示出 的值可由上中任一点在即 0)( MMhu t-=D 可不换的 但由于对换与而变将上式中随 的值即任一点为了表示得更一般些 GMMGMMG MMzyx M \= ),(),( ,,,, , 00 0 0 )9( )(),( )(),()( 0 00 0 0 00 基本积分公式--- ? ?- ? ?+ = òò ò n GMud n uMMG dMhMMGMu ss t s t 求导是对 取面元、体元分别表示对其中 00 000 .M, Mn dd st 2.泊松方程边值问题的积分公式 )()(1| MfMgu == bs )10()(| )()()2( )1( ?í ì = -=D? ty ü Mfu MhMu s 即 )(|)2( .0)1( Mgu =? = ?í ì sb a 即 中若 (2) (1) GMMG 的 次边界条件此时选择满足第一类齐 0|),( 0 =s )12()( )(),()()9( )11(0|),( ),(),( 0 0 000 0 00 ò ò ? ?- =? ?í ì = -=D s s s s t d dn GMf dMhMMGMu MMG MMMMG 则 即 就可完全确定 的解求出的一旦满足的解 它给出了狄氏问题称为狄式积分公式 (10),)MG(M,)11(, , 0 (10) ?í ì = -=D? ?í ì )(| )()( )2( )1( Mfu MhMu n s ?í ì = =D 0| )M(M,-G)MG(M, 0 0 s d nG 满足此时若选 为狄式格林函数的称满足 )MG(M, 0\ (11) )()(|)2(.0(2) MfMgun ==?= ?í ì sb 即中若 (1) (2) 。，较复杂，在此不讨论即方程和边界条件矛盾 而不会满足稳态方程间而变 随时内温度会不断升高示边界绝热，既然如此 却表点热源产生的影响，而可看成在 在物理上但此式不存在。因为 ),() ( 0M )M(M,-G 0 0 0 MMG n G d t d s -=D =?? =D ò ò + = s t sa t 000 00 )(),(1 ))h(MMG(M,u(M): dMgMMG d可得虽由 (9) ?? ?í ì =ú ? ù ê? é + ? ? -=D )14(0 )13(),(),( ),( 00 0 s ba d GnG MMMMG MMG 满足选 G)2( )1( 的称为定解问题 ?í ì :0)3( 根据前面经验均、中若 1 ?í ì ba(1) (2) )(),(1)( 0 MgMMGnGunGG sa s =??-?? )15()(),(1 )(),()( 000 00 sa t s t dMgMMG dMhMMGMu ò ò + = 得则将 uG ×-× (14)(2) :的解为于是由 ?í ì(1) (2)(9) 3. :积分公式的物理意义 ?í ì = ?-=D )(| )()(: Mfu MMhMu l s二维积分公式 ò ò ? ?- = l dlnGMf dMhMMGMu 0 0 0 000 )( )(),()( s s ?í ì = -=D 0| ),(),( 00 lG MMMMG d其中 ? í ì 和边界面上源产生的场的第二项 体内源产生的场的和第一项 : :(12) (15) 4. 附:证明 ),(),(0 )( 00 MMGMMGG n G Mhu = ?? ?íì =ú?ùê?é +?? -=D 中的 s ba 具有对称性的 为了更普遍我们不妨证 GMfu n u Mhuu ?? ?íì =+?? -=+D )()( )( sba l )()( 0 MhuMhuu -=D?-=+D =l lQ ?? ?íì =ú?ùê?é +?? -=+D )2(0),(),( )1(),(),(),( 11 111 MMGMMnG MMMMGMMG ba dl 设 ?? ?íì =ú?ùê?é +?? -=+D )4(0),(),( )3(),(),(),( 22 222 MMGMMGn MMMMGMMG ba dl 将若不同时为 0,0, 1abaQ [ ]),(),(),(),( ),(),(),(),( 1221 2112 MMGMMGMMGMMG MMGMMGMMGMMG -+ D-D l ),(),(),(),( 1221 MMMMGMMMMG dd -= 并用第二格林函数积分,中对两边在 ttt e d)( - ( ) ( ):,, 12 MMGMMG ×-×(1) (3) s s d MMGnMMG MMGnMMG ò ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é ? ?- ? ? ),(),( ),(),( 21 12 )5(),(),( 2112 MMGMMG -= 00 ),(),( ),(),( 21 12 =×+ ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é ? ?- ? ? ba s MMGnMMG MMGnMMG :),(),( 212 MMGMMG ×-×又将(2) (4) 0 ),(),( ),(),( 21 12 = ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é ? ?- ? ? s MMGnMMG MMGnMMG ),(),( 0 1221 MMGMMG =从而得 的右边等于同样可得 ),(),(0 ),(),( 122 1221 MMGnMMGn MMGMMG ? ?- ? ?×1 = 将若 得代入 b (5) (4)(2) (5) ?? ?í ì =ú ? ù ê? é + ? ? -=D-=+D 具有对称性的 或 满足总之 GGnG MMGMMGG 0 ),()(,( , 00 s ba ddl 三、小结 :)(1 的解为、 Mhu -=D 000 00 ),()(1 )(),()( sa t t dMMGMg dMhMMGMu ò ò + = 的解为其中 ),(),(),( 000 MMMMGMMG d-=D 0 0 0 00 )( )(),()()(| )( 2 s t s ts dnGMf dMhMMGMuMfu Mhu ? ?- =? ?í ì = -=D ò ò的解 、 的解 为其中 ?í ì = -=D 0| ),(),( ),( 00 0 s d G MMMMG MMG 的解为其中 ?? ?í ì =ú ? ù ê? é + ? ? -=D 0 ),(),( ),( 0 0 s ba d GnG MMMMG MMG :)( )( 3 的解为、 ?? ?í ì =ú ? ù ê? é + ? ? -=D Mgunu Mhu s ba 000 00 ),()(1 )(),()( sa t t dMMGMg dMhMMGMu ò ò + = 即可。各类边值问题相应的 只要求出泊松方程的值问题 的边由此可见欲求泊松方程 G ,