() () ()tftTlantT =? ? ?? ? ?+′ 2p ( ) 00=′T ( ) 00=T ()[ ] ( ) ()[ ] ( )pFtfLpTtTL ~,~ ==记 P178 (3.2.5) (3.2.7) 1. () () () () ()pFtTlanTpTpTp ~00~ 2 2 =? ? ?? ? ?+′?? p则 () ( ) () ? ? ? ?? ? ?= ??????+ =∴ tlananltfL l anp pFpT p pp sin ~ 2 2 § 4.4* 拉普拉斯变换法 () () ( )∫ ?=∴ t dtlanfanltT 0 sin ttptp 2.(傅氏变换主要用于解无界问题),拉氏适合解混 合问题 0,0,2 >∞<<= txuau xxtt ( ) () ( ) ( )00,lim,,0 ≥== ∞→ ttxutftu x ( ) ( ) 00,,00, == xuxu t 的边界条件未给出 而关于和一阶导数的值函数的在 二阶微商的变换要涉及作变换仍选 x ,,0 t =t Q ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )pFtfLpxutuL ~,,~ == ( ) ( ) ( ) ( )pxuxaxuxpupxup t ,~0,0,,~ 2222 ??=?? ( ) ( ) ( ) 0,~lim,~,0~ == ∞→ pxupFpu x 则 0~~ 2 2 2 2 =? uapudxd ( ) Fu ~0~ = 0~lim = ∞→ u x 即 () () xapxap epcepcu 21~ += ? ( ) ( ) ( ) ( )pFpcpcFu ~:~0~ 21 =+= 设由 ( ) () 000~ 22 =∴==∞ cepcu xap由 () ()pFpc ~1 = ( ) () xapepFpxu ?=~,~ ( ) () ? ? ? ? ? ? ?= ?? xapepFLtxu ~, 1 ( ) ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??=? a xtfLLtxu 1, ???????= axtf 3.求解 0,0,2 >∞<<= txuau xxt ( ) ( ) 1,,0,0 utlutu x == ( ) ,0, 0uxu = 对t ( ) ( ) ( )pxuxaxupxup ,~0,,~ 222 ??=? ( ) ,0,0~ =pu x ( ) puplu /,~ 1= 即 020~22 ~2 =+- a uu a p dx ud ( ) ,0,0~ =pxu ( ) puplu /,~ 1= ( ) () () xappcxappcpupxu chsh,: 210 ++=∴通解 :由边界条件 ( ) 11, ch ch ,: 1010 =? ? ? ?? ??+=∴ ? pLl a p xap p uu p upxu通解 ( ) ( ) ( ) ( )∑∞ = ??? ? ?+= 1 4 12 1 2 222 2 12cos 12 14, k l kak el xkkutxu pp p 0,0,02 >∞<<=? txuau xxtt ( ) ( )xxu j=0, ( ) ( )xxut y=0, 6. ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ),~,,~,:x wjjw == xFtutxuF令对 ( )[ ] ( )wyy ~=xF ( ) 00,~ ~ 2 2 2 >=+ ttuadt ud ww ( ) ( ),~0,~ wjw =u ( ) ( )wyw ~0,~ =tu 进行拉氏变换为参量对以 tw ( )[ ] ( )pUtuL ,,~ ww =记 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,~0,~, 222 =+?? pUauuppUp t wwwww则 ( ) ( ) 0,~~ 222 =+?? pUapUp wwywj即 ( ) ( ) 222 ~~, wywjw apppU + += ( ) () ( ) taatatu wwwywwjw sin ~ cos~,~ += ( ) ( )[ ]tuFtxu ,~, 1 w?= ( ) ( )[ ] ()aayjj daatxatx atx atx∫ + ? +?++= 2121