第四章解析延拓·Γ函数 §4.1 解析延拓 一.解析延拓 前言： 前面我们已经从微积分，级数等不同的 角度了解到解析函数具有很多优秀的性质，然 而解析都是对一定的点和区域而言的，婴儿人 们自然想到，若能通过某种方式将解析区域扩 大，那就能使解析函数的优越性在更大范围内 体现. 我们说函数解析一定时指它在等区域或等 点解析。如， 中解 析 那么我们能否找到另一种形式的函数,使它在上 述区域以外的区域也解析呢?若能则解析函数 的定义域扩大了.对于 确实存在一 在 均解析， 1||,)( 0 1 <= ? ￥ = zzzf k k 在 1||,)( 0 1 <= ? ￥ = zzzf k k zzf -= 1 1)( 1=z )(1 1)( 1 0 1 zfzzzf k k == -= ? ￥ = 而在|z|<1中: 所以，它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为 解析延拓,即简单的说 解析延拓是解析函数的定义域的扩大. 本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上 有用的积分г(x)延拓为г(z) 中心：解析延拓和Γ函数 目的： 1.通过学习了解析函数的内唯一性定理，掌握 初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的 值唯一确定（这将为后一章留数定理计算实积 分奠定基础） 2. г(z)的定义性质 一.解析延拓 1.泰勒展开可将解析函数定义域扩大 例： 21 1) 2( 1 1)(:1|| 1||1|:|)( 1||,)( 1 1 11 0 1 i if zzfz zzzf zzzf k k - =-=< >< <= ? ￥ = 内在 中发散 中解析，在在则 设 s 1 1 3 2 3 2 4 '' 1 2 2 2 ' 1 )21( !) 2( )21( !2| )1( !2| )1( )1)(1(2) 2( )1( 1| )1( 1) 2( + = == = - = -- =- ---= -=-= k k iziz iz i kif izz zif zz if 2 13 2 3 0 2 3 3 2 52) 2 1(21( 0 1 0 1 2 ||,)()( 2 13 2 49 |2|,2 21( 1 2! )2( )( <--= =+= <-- - = -= ? ? ? ￥ = =+= ￥ = + ￥ = izizazf Rizizi iz k if zf k k k Rk k k k k k ））（ ） ）（令 12)(2 )(1 22 ,25|2| )(1|:|1)(1 s ss ?<- ??<? zf zfiz zfzzf 且 于是解析函数 [ ] [ ] ., 2 21( 1)( 1||,)( )()()()( )()( )(,)( 0 1 2 0 1 1221 212112 2211 反之亦然的解析延拓 ）（ ） 为 如上例中 为的解析延拓或称或则 中，在 中解析在中解析在设 k k k k k iz izf zzzf zfzfzfzf zfzf zfzf - - = <= o?= ? ? ￥ = + ￥ = sss ss 又如：在留数定理一章中，若f(x)在实轴上无奇 点，改写f(x)为f(z)。 这实为，将解析函数在实轴上的值延拓到 全平面除f(z)的奇点的所有点. 注意： 推广：若 ? ? ? ? ? ?? ? ? í ì · · · · ? ? o )2()(2 )1()(1 )( s s Hzf Hzf zf 的解析函数、或为则 )...](3)(2)[(1)( xfxfxfzf 但不能经奇点延拓出z，若此例中z=1正是这个 奇点的存在，决定了解析延拓过程中各幂级数 的收敛半径 ×××××?? = ?=< o? =++T ?￥ = )()()( 1z )()(,)(,1|:| : )()(, .... 321 2 11 0 11 11 321 zfzfzf Hzfzzfz zfzf k k n 沿任一解析点邻域 ：去掉又在 中在 ，如解析延拓可以不断进行 中在 解析区域由 s ss ss sssss 注意： 由解析函数的唯一性定理知，解析函数在一个 邻域上的值可由它在该区域内任一条小弧段或一个 特殊的点列(只要它有一个点属于这个区域)完全确定. 这又一次反映出解析函数有十分严格的内在联系,即 在某一区域,值完全唯一的确定了. [如:在全平面解析,而在Zn=1/n取值为1/n(n=1,2…) 的 函数只有一个W=z.因为,点列{1/n}以z=0为聚点,而 z=0落在函数的解析区域内,w=z满足全平面解析,且 在Zn=1/n取值为1/n的条件, 根据唯一性定理,这样的 函数只有一个] 这是一个和实变函数有本质区别的性质.在实变 函数中,对于一个定义在[a,b]上的函数f(x)，我们可以 用无穷多种方式将这个函数的图形延长到区间外去,而 不破坏其连续性. 如 由唯一性定理知,如果一个变量函数在一平面区域σ内 解析,而实轴或实轴上的一段含于σ,则这个复变量函数 由它在实轴(或实轴的一段)上的值唯一决定. zze z cos,sin, 2sin iziz eez -+和 22 sin,sin izizixix ee i ee zx -- ++ =\= 由此可断言,象 等这些初等解析 函数只能象§1.4 那样定义.如,Sin z 和 均解析而他们在实轴上的一段由相等 还可推断初等实函等式在复函中也成立,如 sin2z和2sinzcosz均解析,而它们在实轴上相等 sinx=2sinxcosx,所以,sin2z=2sinzcosz 还有 如,实轴上取值等于Sin x,而在全平面上解析的 函数只有一个,这个函数就定以为Sin z 例1. 证 的解析延拓是故 有公共区域与时而在 时当 时则当 若令 的解析延拓是 设 )()( |1|||1||,2|| )()(,|1||| )()(,1|| )( )()(: )()( 1)( 2|| 12 2 1 1 1 12 0 1)1( )( )1(1 1 2 2 1 3 2 2 zfzf bbzzb zfzgbbz zfzgz zg zfzf zf zzzf b z k b bz b bz b bz b k -<-<< =-<- =< = =××××+++= ××××+++= < - ￥ = - - - - - - - ? 例2. 在复平面不解析而 由已知 不能 能否延拓到复平面上 || ),(|,|)( . ?),(,)( 2 z xxxf xxxf +￥-￥?= +￥-￥?= 例3: 证： 故延拓到复平面不可能 的本性奇点为的解析函数， 不是复平面而 延拓后的函数只能是拓的唯一性知 则由解析延可延拓到复平面若 复平面上试证该函数不能延拓到 上定义在设 ,)(0 )(, 0,0 0,)( , ,)( . ]1,1[ 0,0 0,)( 2 2 1 1 xfz xf z zezf xf x xexf z x = ?? ?íì = 1= - ?? ?íì = 1= - - 二.解析延拓的唯一性 . .,)( :1. ii 2 i 2 恒等则它们在整个区域也必 域中恒等的一个字区已知它么在和 中解析的函数若有两个在区域唯一性定理 gGfzf G 即可中，在当中在 只要证当中在则中在 解析若中在 中解析在和若欲证上结论 0)(,0)(, 0)(,0)( )()()( ,)(.2 ii 2 i 2 ii 2 i 2 2 ii 2 i 2 11 ?oo -=?o =? zFgzFG GzFzFg fzfzFfzfG Gfzf s 3.证 )(: )(,,0)( ,,0)( 0 ,0)( ])()([, ])([)()()( ii 2 i 2 ,2,1,0 2 21 1 0 见后页注 即 以此类推即 必须为 与题设矛盾 则当 fzfGzzF gzzF aaaa gzzF abzabzaabz bzaabzbzazF n mmmm mm m k k k o?o +?o ××××××??1?××××-+-+? ××××-+-=-= ++ + ￥ = ? a a [ 设E是一点集，a是一点（不属于E），若 在a的任一邻域内都有E的异于a的点，则a称为 点集E的一个聚点（或极限点）。 如:(1)E={z:|z|<R},E的每一点是E的聚点,圆 周|z|=R的每一点也是E的聚点 (2)E{1/n}(n=1,2,3….),z=0是E的唯一的 聚点.] 由前面的学习我们了解到,将实初等函数推广到 复初等函数时遵循两条宗旨: (1)当已取实数值时就 是原来的实变函数(2)复初等函数是解析函数. 现在 我们看到,如果一个复变函数在一平面区域σ内部解 析而实轴(或实轴上的一段)含于σ，则由唯一性定 理可知这个复变解析函数由它在实轴(或实轴上的一 段)上的值唯一决定.如在实轴上取值为Sin x而在全 平面解析的函数就只有一个,即Sin z.这为用复变理 论计算实积分奠定了基础……