§4.2 Γ函数 积分拉这积分又成为第二类欧 换成将 函数定义为在数学分析中定义一 )( )2(0Re,)( )1(0,)( :. 0 1 0 1 Euler zdttez zx xdttex zt xt ò ò ￥ -- ￥ -- >=G >=G G 二.基本性质 )7(π(1/2) 5. )6π(sinπ/1)(z (z) 4. ..(5)0,1,2N n!1)(n 3. (z)(4) 21)(z 2. 1(3)(1) 1. =G =+GG ?==+G G=+G =G z )5(! )1()]1([)2)(1( )1()1()()1( )3( )4(0Re),(2| 1Re,)1(:)2( 1|1)1(:)1(: )2/12()2(π2)2(.6 0 1 0 0 0 0 -1/212 n nnnnn nnnnnn nz zzdttezte zdttez edte z ztzt zt tt z = G--×××--= -G-=G=+G = >G=+-= ->=+G =-==G +GG=G ò ò ò ￥ --￥- ￥ - ￥- ￥ - - 反复应用取 由 由证 2 1 s η t η s ξ t ? 1- 00 )( 00 1 )(1|||s)(t, ),(|| ),( s)(t,| 0:η;0:ξ η)η1 ξηt η η1t t/ηtξ /η,ξ 1)/( )1()(:)1( 101 h xhx hx +==? ?= ? ? ￥?￥? ? ? ? ? ? í ì + ×= +×= += T=+= = =-GG << - ? ? ? ? ? ? ? ? ￥￥ +- ￥ -- ￥ -- òò òò 又 则 令 由 当 stst dsdttste dssedttexx x xst xsxt o p p hhhx xhhhh xhhxxhhh x x x x dde dde ddexx x x x sin 1 )1( 1 |),( s)(t,|1)1()( : 0 0 1 00 00 = += += ? ?×+=-GG ò ò òò òò ￥ ￥ - - ￥￥ - ￥￥ - 由换元公式 pp p p p p p p =GT=G×G = <<=-GG = = -GG= << = -GG= << )1/1()1/1()2/1( 2/1)6( 1Re0,sin)1()( )()( sin)( )1()()( :10 sin)( )1()()( :1Re0.2 21 2 1 2 1 则 中取在 有唯一性定理 而在 解析 解析 当 z zxzz zfzf xzf xxzf x zzf zzzf zo )( )( 00 12)( 00 12)( )0,0(22 00 )( 00 1 )(4)2/1()( )(4)2/1()( 2,2 ,, 0Re,)( )2/1()( 22 22 2 1 2 1 2 1 ? D òò òò òò òò ￥￥ -+- ￥￥ -+- ￥<<￥<< ￥￥ --+- ￥ -- ￥ -- ×=+GG ×=+GG == == >×= =+GG hxhxh hx hxxxh hx hx hx hx hx ddezz ddezz ddsddt st zdsdtttse dssedttezz z z zst zszt 交换和同样以 则 令 òò òò ￥￥ - +-- ￥￥ -+- ×=+GG ￥<<< =+= +×=+GG ?+D 00 112 2 22 00 12)( 22 22 )(2)2/1()( 0 2, )()(2)2/1()( )]()[(21 ba ba baba hx ab xhbhxa hxhxxh ddz z ezz ddezz 则 可令 可得将 于是得证 p b ab bb ba a ab ×G= GG= ×= = -- -- ￥ ￥ - -- ￥ ￥ - - -- ò ò ò ò )2(2 )2/1()2(2 )( )( )12( )12( 0 0 12 2 0 0 12 2 22 z z e ee z z rz z drred dd 三. Γ函数是半纯函数 1.定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的函 数称为半纯函数. 2. Γ函数可延拓到除z=0,-1,-2…,n外的全平面. 3. Γ函数是半纯函数 4.利用函数关系可进行解析延拓.(见下页) 5. Γ函数的性质在全平面除z=0,-1,-2…外均成立. { } 平面整个 平面和解析延拓到除外的整个 已由故由这一函数关系 又如 知如，由 接上页性质 q pq pqpB qpB P dxxxqpB P qp qp q pqp 0Re ,0Re),(: ),( 88, ,)1(),( 87 )4( )( )()( 0Re 0Re 1 0 )1(1 > > = -= +G GG > >--ò 上次课学习了解析延拓和Γ函数,了解到解 析延拓的概念性质及延拓方法以及Γ函数的定 义和性质. 至于解析延拓的泰勒展开法我们已举例;用 函数关系进行解析延拓我们也已由Γ的函数关 系数Γ(z)= Γ(z+1)/2看到了,下面再看一例. )3(),(.2 )2(),(),(.1 : )1(0Re,0Re,)1(),( )( )()( 1 0 11 qp qpqpB pqBqpB B qpdxxxqpB qp +G GG= = >>-= ò -- o o 函数它具有如下性质为 其中定义 6 !3)4( 1 0 14 1 0 3.1 2B, = =G== ò ò -- - G dxex dxex x x 个积分来计算下面我们用 点外的全平面 除 的定义域已由 由此可见通过函数关系的全平面解析 在知，由 延拓到 ...2,1,0 ...2,1,0 ...2,1,0 , 0Re,0Re),( )3(. ),()3( --1 --1 --1 >> ?í ì qp qpqpB qpB q p dtttdtttt dx tx xdtdxdtxdx txBdx dxdxdx nn n n nnn x x t dt x x x x x x x x òò ò ò òòò --+ - - - -- -×=×-×= ?? === == += - - --- 1 0 12/112/1 1 0 2/1 2/1 1 1 2 2 2 1 0 2 2 1 0 2 20 1 2 21 1 2 2 )1(2)1(2 10:,10: 2/,2 )(,2 .2 1 2 1 111 2/1 时当 则 令函数定义注意 22 )!(2 )!2( !2 )32)(12( ! )2/1()2/1(2/1)2/3)(2/1( ! )2/1()12/1( )1( )2/1()2/1()2/1,2/1( n n n nn n nn n n n n nn nB pp == = ==+= ××××-- GG××××-- G+-G +G G+G 本章完