§ 4.3* 拉普拉斯变换 一、拉氏变换及存在定理 () ()要求苛刻对难、拉氏变换 tfdttf∫∞ ∞? ∞<:1 () ()∫∞ ∞? ? ∞<<=> 易则当若 dtetfttf tbb 00,0 ()[ ] ()∫∞ ∞? ??? = dteetfetfF titt wbb:此时 () ( )∫∞ ∞? +?= dtetf tiwb () ()[ ]∫∞ ∞? ?? = w p wbb deetfFetf titt 2 1:而 ( ) ( )[ ] wwb b iddpetfFpFip t ==+= ? 则若记 , 则 [] () () [] []的拉氏逆变换 拉氏变换 pFdpepFitf dtetfpF i i pt pt ?= = ∫ ∫ ? + ? wb wb w p2 1 0 ( ) ( ) 间断点外连续及导数除有限个第一类、存在条件 tf1:2 ( ) ( ) 是增长指数00 0,2 0 bbb ≥≤ MMetf t () [ ] ∫∞ ?= 0 1: dteeeL ptatat例 ( ) 210 1 iaaae ap tap += ??= ∞?? 设 讲义p221 ( ) ( ) ( )[ ]{ }∞?? ??? ??= 022 1 sincos1 taitae ap ta wwb apap ReRe,1 >?= ( ) [ ] ?2 =ktL [] 0Re,1 0 0 0 0 >=== ∫∫ ∞ ? ∞ ? p pdteedtetL pttpt [] ∫∫ ∞ ?∞? == 00 1 ptpt tdedttetL 0Re,11 2 0 0 >=? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ?= ∫∞ ?∞? p ppdtete ptpt [ ] ( ) 0Re,1! 11 >+== ++ ppkpktL kkk G 二、性质(对照傅氏变换) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tfLtfLtftfL 2121:.1 baba +=+线性 ( )[ ] ( )pFtfL =记 ( )[ ] ( )00:.2 ppFtfeL tp ?=延迟 ( )[ ] [ ]pFetfL ptt ?=?:.3位移 ( )[ ] 0,1:.4 >? ? ?? ? ?= a a pF aatfL相似 ( )( )[ ] ( ) ( )0:.5 1 fppFptfL nnn ??=微分 ( ) ( ) ( )00 12 ?? ??′? nn ffp K ( )[ ] ( ) ( )0fppFtfL ?=′即 ( )[ ] ( ) ( ) ( )002 fpfpFptfL ′??=′′ () ()[ ]tfLpdfL t 1:.6 0 =? ? ? ?? ?∫ tt积分 ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tfLtfLtftfL 2121:.7 ?=?卷积 () () () ( )∫ ?=? t dtfftftf 0 2121 ttt () [ ] ? ? ? ?? ? ?= ? i eeLktL iktikt 2sin1:例 0Re,1121 >? ? ? ?? ? +??= pikpikpi 22 kp k += () ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? 3 2sin2 ptL [ ] 11sin 23 2 3 2 +?== ?? ppetLe p pp ()[ ] ??????= ktdtdkLktL sin1cos3 22 1 kp kp k +?= () () ( ) ()[ ] ? 1 4 12 2 2 = + = ? pFL p ppF 求已知 ()[ ] ? ? ? ?? ? +?+= ?? 11 22 11 p p p pLpFL [ ] ( )∫ ?=??=? t dtttLL 0 1 coscoscoscos ttt ( )[ ]∫ +?= t dtt 0 cos2cos21 tt ∫??= +?= ttt ttd cos21cos412 aata ( )tttt sincos21 += 三、原函数存在定理 ( ) ( ) 02arg0, →∞→≤≤ pFpzpF 中当在单值若 p ( ) [ ][ ]∑ →= k k tp k pepFtf k 全平面奇点则 res 拉氏反演及展开定理 () ()tf lapp xap pF 求例 ch ch : = .,奇点是单极点单值 K,2,1,2 12,0 2 2 22 =? ? ?? ? ? ??== kk l app k p ( )全在左半平面 ( ) 0??→? ∞→ppF ( )[ ] 10 ==pptepFres ( )[ ] k k pp pt tp k lapp exap epF = ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ch ch res ( ) ( ) ( ) ( ) ,...2,1, 4 121 2 12cos 2 222 4 12 =? ? ? = ?? kk el xk k l ka p p p () ()[ ] ( )[ ]∑∞ = = +=∴ 0 0 k tp kp pt kepFepFtf resres ( ) ( ) ( )∑∞ = ??? ? ?+= 1 4 12 2 222 2 12cos 12 141 k l kak el xkk pp p