§5.1留数定理 1.留数定理 (1).留数的定义 () () ( )?￥ -￥= -= k k k bzCzfzfb 则称的孤立奇点为若 , ()在孤立奇点为的系数中 zfCbzRbz 110 --<-< 处的留数。 () () ÷ ? ?? è ? --=--=-= 1 1 1 111res 1 1.. zzfzzfge Q则 有无意义？问 ÷÷ ÷ ÷ ? ? ?? ? ? è ? 0,1 sin 1sinres: z 的孤立奇点不是无，答 z z 1 sin 1sin0: =Q (2). 留数定理 () ( )?ò = = n k kl bfidzzf 1 res2p ( ),...2,1:,: ==- kRbzll kkk内作圆在证 () ()?òò = = n k ll k dzzfdzzf 1 则 () ( ) 111 0, RbzbzCzf k k k ￠<-<-=? ￥ -￥= 又 ( )1,min 11 1-<￠< kbbRR k () ( )? òò ￥ -￥= -=k l k kl dzbzCdzzf 11 1 ( ) ?í ì -1 -==-ò 10 12 1 1 k kidzbz l k p而 ( ) ( )11 res22 1 bfiiCdzzf l pp =×=\ -ò () ()ò== - 12 1res 11 l dzzfiCbf p其中 () ( )k l bfiiCdzzf k res22 1 pp == -ò类似可证： ( ) ()ò== - kl k dzzfiCbf p2 1res 1其中 () () ( )??òò == == n k k n k ll bfidzzfdzzf k 11 res2p 此即留数定理，它表明了具有孤立奇点的解析 函数的围道积分和奇点之间的关系。 由上面有限远点的留数的积分表示式，我们可 类似的给无限远点的留数下一定义。 2.无穷远点的留数： (1).定义: () ()ò - =￥ l dzzfif p21res 的顺时针方向表示延的围道为包围其中 lRzl -= , (2).易证: ( ) 1res --=￥ Cf ( ) ÷÷? ? ??è ? ￥<< 系数 中的展开式的负一次在 zRzf ∵由上次课对∞点函数的性质的讨论和研究知 欲将f(z)在∞展开为级数，即要将f(z)以z=0为中心在 ￥<<> zRRz 或 中展开。 () ( )?￥ -￥= ￥<<= k k k zRzCzf () ()ò - =￥l dzzfif p21res ? ò￥ -￥= -= k l k k dzzCip2 1 1--= C ?,1res.. 2 =÷÷ ? ? ??è ? ￥+ ze zge 求 ( )ò=- += 1 21 2 1 z z dze z ip解： 0121 1 2 =+-= ò =z z dze z ip (3).全平面留数之和为0 ( ) () = ￥+? = fbf n k k resres 1 Q () ()ò? ò -= += l n k l dzzfidzzfi k pp 2 1 2 1 1 () () 02121 =-= òò ll dzzfidzzfi pp 此结论很有用，如要计算有限远点的孤立奇点 之处的留数之和，若孤立奇点很多，算起来很麻烦。 但利用此结论只要算出了∞这一点的留数，其他所 有孤立奇点处留数之和就得到了。 注意： ( ) ( ) 11 res,res -- -=￥= CfCbf k 而① ( ) 0res =kk bfb 为可去奇点，则②若 ( ) 0res 也不一定为为可去奇点但即使 ￥￥= fz ( ) ( ) ￥<<+ -=? ?￥ = - zzkzz k k k 0,1!12 11sin 0 12 2如 为可去奇点以 ￥=z () 061res 1 1=-=￥ -Cf但 ( )( )21 .. 232 7 +- zz zge 求 留数和在各有限孤立奇点处的 ( )( ) ÷ ? ?? è ?+÷ ? ?? è ?- = +- 2 3 2 8 7 232 7 211121 zzz z zz z解： 1 2 3 2 21111 -- ÷ ? ?? è ? +×÷ ? ?? è ? -= zzz ÷???è? +-÷???è? ++= LL 22 21311 zzz L++= 211 zz ( ) () ( ) ( )ibf k k 2res1-res1resres 4 1 ±++=\ ? = ( ) 1res,1,2 1 -=￥=> - fCz 即中在 ( ) 1res 4 1 ? = =k kbf 3.留数的计算方法 (1).由定义，利用罗朗展开式求 处在奇点① 0.. 1 =zege z L+++= ÷???è? = ? ￥ = 2 0 1 1 !2 111 ! 1 zzk ze k k z 10,res 1 =ú ? ù ê? é\ ze 处在奇点② 02sin =zz ( ) ( ) L+-=÷? ?? è ? + -= ?￥ = + 3 0 12 8 !3 122 !12 12sin zzzkz k kk 20,2sinres =ú ? ù ê? éz () ( ) 处在奇点③ 0125 =--= zzz zzf () ( )ò = = =--=--= 2 1 0 2125125210res z z z zdz zz z if p (2).极点处的留数计算公式 () 则阶极点的若 ,nzfbi ?> () ( ) ( ) ()[ ] bznnn zfbzdzdnbf =- - --= 1 1 !1 1res () ()()bbcbfbii yj￠==> res为单极则若 [ ] () ()( ) ()[ ]解析：证 zbz zzf n jj-=Q () ()( ) ( ) ( )()bndzbz zizf n l n 1 !1 1 2 1res - -=-=\ ò j j p ( ) ( ) ()[ ] bz n n n zfbzdzdn =- - --= 1 1 !1 1 () ( ) ()if z zfge 求2 2 1 1.. + = () ( )( ) ( )( )2222 1 1 iz iz izizzf - += -+= () ( ) ( )( ) iziziz izdzdif = ú? ù ê? é -+×-= 22 2 1res ( ) ( ) ( )42 21 iz iz izdz d iz + +-= += = ( ) ( ) 44 1 2 22 33 i iiiz iz -== -= + -= = 1: => nnii 阶极点公式，若由证 () ( )()[ ] bz zfbzdzdbf = -= 0 0 !0 1res则 ( ) ( ) ( )[ ]zfbzbf bz -= ? limres即 () ( )() () () ,, 解析、若 zzzzzfiii yjyj=> ( ) ( ) ( ) 0,0,0 ==￠1 bbb yyj () ( ) ( )()ú ? ù ê? é -= ? z zbzbf bz y jlimres则 ( ) ( ) ( ) () ( ) ()z z z zbzz bz y j y jj ￠=￠ --= ? lim () ?1 1.. 2 =+ ifzge 求① () ( )( )izizzf -+= 1 () ( ) ( )( ) iizizizif iz 2 11limres = -+×-= ? [ ] ?0,ctgres.. =zge ② 极点?=\￥= ? 0ctglim 0 zz z Q ( ) 1cos sincoslimsincos0lim 00 =+=ú ? ù ê? é - ?? z zzz z zz zz Q且 单极点?=\ 0z () ( ) 1sincos0lim0res: 0 =ú ? ù ê? é -= ? z zzf z 由公式 () 00nsi,00sin,00cos,sincos.. 1￠=1= zzzfge Q又 [ ] 1nsi 0cos,0ctgres 0 =￠==zz z () () 00tgctg1: =\== gzzzg也可 () 010cos1sec0 202 1===￠ =zzg ( ) 的一阶极点故为的一阶零点为 zzgz ctg,0=(3).利用留数定理计算围道积分 ò =1 1 2.. z z dzege ① 中唯一的孤立奇点为 10 == zz LQ +++= 42 1 1 !2 1112 zze z且 ( ) 00res 1 ==\ -Cf () 00res2 1z 1 2 ==\ ò = fidze z p ②回顾一开始问题的引入 ieidze z z z pp 20,res2 1 1 1 =ú ? ù ê? é=ò = izidzz z pp 40,2sinres22sin 1 =ú ? ù ê? é=ò = ( ) ,...2,1,0,2,1 sin.. 1 3 ±±==- ×= ò = kikzdz e zzIge k z z p奇点③ ( ) úú? ù êê? é - ×=\== 0, 1 sin201 3ze zziIzz p内仅有但在 内有：而在 10 << z ( ) 32 53 3 !2 !5!3 1 sin ÷÷? ? ??è ? ++- ÷÷? ? ??è ? -+- = - × L L zz zzzz e zz z () z z z zz z z j-= ÷???è? ++ ÷÷? ? ??è ? -+- ×-= 3 42 3 2 !21 !5!31 L L ( ) ( ) 1lim0,res 0 -=ú?ùê?é ×-=ú?ùê?é- ? z zz z z z jj §5.1的小结 () ( )?ò = = n k kl bfidzzf 1 res2p 1-= C ()ò= kl dzzfip21 ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ()[ ]?? ?í ì -- ?- = =- - ? bz n n n bz zfbzdzdn bzfbz 1 1 !1 1 ,lim 单极点