武汉大学：数学物理方法：5_7留数奇点分类习题课

119P本章内容小结：见书页 本章重点：如何用留数定理计算实积分。 为此需掌握以下三方面内容： 一、计算留数 二、（如何用留数理论）计算围道积分 三、（在以上基础上才谈得上如何用留数理论）计算 实定积分。 本次课将分这三大块来讨论分析习题。 留数定理＋奇点分类习题课 0)()( )(' )( )()(lim ,)]()[(!11)( )(21)resf( )(21)( z 1 1 11 =∞+ ?? ??? ? = ????= ?? ????=∞ ?? ???= ∑ ∫∫ → =? ? ?? k k k k kb nbz n kn n k ll k resfbresf b b zfbz nbzfbzdzdnbresf dzzfi C dzzfi C bresf k k k y j pp 阶数）（特别： Q 一、计算留数 留数。若为非孤立奇，谈不上由留数定义计算。当然 奇点，则算公式计算，若为其它可直接利用极点留数计 极点，判断奇点的类型，若在计算函数之前必须先 ?∴ kb 不尽然。一眼即能看出，有些却至于奇点的类型，有些 等等。，，的无定义之点，我们通常是通过找函数 解析。等函数在其定义域内均奇点即不解析之点，初 如何判断奇点类型： 0 0 .1 =∞∞=∞=∴ 03 1:1,?11 10 2|,0? sin0 (1)(2)(1) (3)(), (1)(1)() 4|,?? (5 z z z zk zz e zzznz zz z zn zn ctgzzkzp p →∞ = = ∞===∞ ??∞ ?== Γ+Γ+Γ++Γ=== +???+ =?→ =∞==∞ 如：（）显然为单极，而 （） 单极 （） 0 1)sin|,0?? zzzzz = ==∞ ?? ? ? ?? ? ? ? = ?=? ?= ?? ??? ? ? ?∞ == → →→ 点阶为以 阶极有限，则非若 方法又有三：为极点再判断为几阶，若 本性无限， 可去有限， 极， 若）先看（ 判断奇点的步骤有二： 0)(1)( 0)()(lim )3( )()( )2( )(lim?)(lim1 mbzfzg mbzfbz b zzf b b b b zfzf m bz m bzbz j 实际上是用法一。 可去奇， 为单极， ）：如：对于（ z 1z 111lim1lim1 ∞=∴ = ==? ∞→∞→ zz z zQ 3200 30 2 2 300 1(2)limlim sin3sincos 0 2 1lim sin (1)lim()lim1 sin 0. zz zz z z z zz ee zzz z ez z zezfz z z →→ → →→ ?==∞ ∴= ??=∞ ?== = Q 二次洛必达 二次洛必达 为极点 进而由（）判断是几阶，用法二： 而 所为二阶极点 非孤立奇。 为单极 。极点，试用法三求几阶 ?∞=∴ ∞= =∴ ≠=+==∴ = ?=∴ ∞=+== → →→→ z z kz z zzkgkg z zzg kz z zz z zctgz kkz k k kzkzkz p p ppp p pp p lim 01|sin sincos)(',0)( ,cossin)( sin sincoslim sin coslimlim)4( 2 22 2 22 Q Q 为奇 为本性奇。 不定值 ∞=∴ ===? =∴ =? →∞→∞→ → z t t zz z zz tz z zz z 1sinlimsinlim1sinlim 0 1sinlim)5( 01 1 0 1 2 033 315 1[,1]lim(1)111 [,]11 0 1112[,0][] sinsin z zz z zzresz zres z ederesz zdzz a → = ? =??=?? ∞=?? ∴∞ ??=?=多次用洛 、（计算函数）：求例（）（）在孤立奇点处函数。 （） 为可去奇函数不一定为。 （） 1|sin'cos],[)4( ! 1)1( !)1( )1( )1()1( )1( )()1( )1()(lim )]()[(lim]),([)3( == ?= ? Γ= ????+?? Γ= +???+ ++Γ+= Γ+=?Γ = ?→ ?→ pp kz n n nz nz z zkctgzres n nnn nzzz nznz znznzres 0)( ,0)0( ||1 ]1!11[ 1 )!1( )1(1sin ,0)5( 1 3 12 0 =∞ ==∴ ∞<< ????+?= ?+?= ∴ ∞= ? + ∞ = ∑ resf Cresf z zzzz zzkzzz z k k k 用展开求 均不为极点，Q ∑∫ ∫ == = =??∴ ?=< =+= =?= ?? 4 02|| 5 5 2|| 5 )(2)1)(3( 1 )4,0(:2||)2( 4,3,2,1,0,5201 ,13)1( )1)(3( 1 k k z k i k z zresfidzzz kzz kkez zz dzzz p p 只有在 阶，被积函奇： 例： 二、围道积分： ∫ ∑∑ ∑ ?=?=∴ =?=∞∴ ????++????+++= ?= ???=???= ∞<< =?=????= =∞++ ? ∞ = + ∞ = → = ||)24 1(2 0)( ]11][931[ 1)3(1 1 11 1 11 )1( 1 3 1)( :||3 24 1 )1( 1 )1)(3( 1)3(lim)3( 0)()()3( 1 10532 0 )1(5 0 1535 553 4 0 5 z ii Cresf zzzzz zzz zzzzzf z zzzzresf resfzresfresf n n k k zz z k k p ap a 又在 又 ∫ ∫ ∫∫ = = ? ? ++?= + =∴ =?=?== +=+= 1|| 24 1|| )2( )1( 21 2 0 20 2 1)21( 11 4 1 1, 2 1 2sin, sin 1 4 1 sin 1.3 2 22 2 z z iz z ix dzazaz zi dziz a I dzizdxizzizzxez dxxadxxaI 则令 pp 113119 P）三、计算实积分（ aa zresfzresfiiI aaazzresf aaazzazz zzresf aaazz aaaz aaaaaz azz zz zzz + =+?=∴ +?=+?= +?=+?==+?= +±+±=< ?+±+±=∴ +±+=?+±+= =++? = = 221 22 2131 2 2,1 2 2 2 2 24 2 )]()([2 )1(8 1| )]21([4 1)( )1(8 1| )]21([4 1| )21(44)( 2211|| 221 2212 4)21(4)1(2 01)21(2 2 2 pp a 内：在 单极奇点： 设 令 ? ? ? ??? ? ?==? ?==? =? =? ==??= == ?= + + ∫ ∞ ∞? iee ee ie e zzzzf kez x dxI PP ii ii i i i k pp p q p p p 2 3 4 6 4 40 4 20 4 2 1 11 1 11 .01,11)( )3,2,1,0(, )1335(,1 )1(3.114)1(3.108.1 4 4 4 ，、、形式合 011)( :0 1:0 4 3 1 1 4 ∞→?=?=? => ±== zz zzfz izI zI z z mg mg 单极 单极 20)4 1(2 ,41|41)1( ,41|41)1( 4 1| 4 1| )'1( 1)( )]1()1([)(2 )1335( 13 13 34 pp pp ?=+??=∴ ?==? == ?==?= ?++= →∴ ?= = == iiI zresf zresf izziresf resfresfiiiresfI z z iziz ：、、由 ? ? ? ? ? ? =? ? =→=+ += + + ∫ ∞ 3 5 3 2 3 1 1 1 01 ,1 1)( 1335,1.2 3 3 0 3 p pp p p i ii i e ee e zz zzf x dx ）、、形式不合（ p p p p p p p p p p p 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 |3121 1)1.( 2 )(2 )(1 )( 1 1 1 1 2 0 3 33 3 2 0 0 333 i ez i i R R i i CR e i zidxxeR xex eiresf xe xeddz zdxx i = =+?∞→ =? = + ++++ = ∞ ∫ ∫ ∫∫ 点。而围道内又只含一个奇 整数信，幅角为）此时（ 则 Q 33 2 3sin3 3 2 )( 13 2 1 1 3 3 2 3 2 3 2 0 3 p p pp p p p p p p p = = ? ?= ? =+ ? ? ?∞ ∫ ii i i i i ee ei e e eidx x 同除 0 0: )1( 1)( 1635,)1(sin )1(4.108.3 22 0 22 = ?±=?= += += ∫ ∞ z izz zzzf dxxx xI P 在实轴上唯一的单极： 二阶，但不在实轴，单极，奇 ）、、形式同（ 的类型。也不是 pxx eeI z eezfres ezz eiz dz dezfres zz eresi zz eres dxxx xI z iz z iz iz z iz iz iziz sinsin ]231[2243 1|)1(])([ 4 3] )1()[(])([ ]0,)1([2],)1([ )1( sin 3 0220 22 2 2222 0 22 ?=+?=∴ =+= ?=+?= +++= +=∴ == == ∞ ∫ ppp pp 。解析，积分与路径无关故函数 是可去奇点，但为奇点为 但 的方法，考虑三阶级，若用处理 ）？、、能否用（ 3 3 0 12 30 0 0 3 3 sin )!12( )1( sin,00 lim sin0 .1635sin.4 z z z zk z zz z ez dxx xz NOdxx xI k k k iz z ∑ ∫ ∫ ∞ = + → ∞ ?∞ + ? == ∞→? = = Q Q ）（）（）（ 故 1 321321 33 )2( 1 sinsin 3 3 33 3 3 3 23 3 3 3 3 3 ∫∫ ∫ ∫∫ ?? ?? ∞ ∞? ?+?= ?+?= = c ziiz c iziz c ziiziziz c dzz eeidzz eei dzz eeeei dzz zdxx x 去奇点） 的可的可去奇，但不是是（ 又 围道必须分两个函数取不同 由约旦引下半圆上中当指数 由约旦引上半圆上中当指数 积分。分？因为要用围道计算问：这儿为什么分两部 3 3 3 3 3 3 ' 3 3 3sin0 ]0,3[23 0)(0 0)(0 z ee z zz z eeiresdzdz z ee RezfPe RezfPe iziz iziz Cc iziz ipzipz ipzipz R ?= ?=???+? ∴ ∞→< ∞→> ∫∫ p 32 3 0 3 2 3 ' 3 3 ',0 31[,0][3]3 2! 3 6 2 3 0 3 0 3 13231(3) (2)4 R R C iziz iziz z iziz C iziz CC iziz C RCC eedresee dz eedzi eedz z eedz z Iii p pp ′ = ?? ?? →∞→→ ? =?=? ?∴=? ? += ? = =??= ∫ ∫ ∫∫ ∫ 当时， （） （） （）、（）、（） 2 2 5. 1 (),10,11 2,1,2 ()0,(5313) 2(). x x z zz z k z k eIdx e efzee e ziikk zfz Iiresfz pp p ∞ ?∞ →∞ = + =+==?+ =+=±± ?→ ∴= ∫ 方法一： 令 奇： 在实轴上无奇， 符合 、、 的单值为 )( 012)(' 0)( 1 )( 1)( 2 22 2 zfz e eeeezg zg e e zfzg k z zzzz k k z z ∴ ≠+??= = +== a Q ap pp p p p a ap apap ap ap ap aa sin12 ......][2 )( ........ )3( )( |]1[)( 2 3 )12( 3 =??= ++?= ?= ?= ?=∴ =′+=∴ + = zi i ii ki k i i z z zzz z k e ei eeiI ezresf eiresf eiresf e e e ezresf k k )(2 )(11 )(11 0 2 )()2( 2 0 )( iiresf iydeedxee iydeedxee iyR iyRR R x ix iyR iyRR R x x pp p apa p aa = ++++ +++ ∫∫ ∫∫ +? +? ? + + + ? 方法二： 思考：上法有无问题？ . )(~,)(~ )(~2)( :: .?)( )(,.6 为变量测量的电压量以 曲线下的面积是 由富里叶变换知解 电压，求电流 脉冲电路物理实例： w ww wwwp w VVA deVdeAtV tI tVRC tiiwt ∫∫ ∞ ∞? ∞ ∞? == = ? 积分收敛则当若 上半平面奇令 为变量的电流量以 0,,0 :,,0 2)( )(2)( )(~)(~ →?∞→< =?==+ += +== ∴ ∫ ∞ ∞? ti m ti eIt L Ri iL RLiR dLiR eAtI LiR A z VI w w w ww wwp wpw ww w tLR tLR C titi C titi eLAiLeAitI L Riiresf LiR ed LiR e t tI LiR ed LiR e R R ? ? ∞ ∞? ∞ ∞? =??=? =+++ > =? =+++ ∴ ∫∫ ∫∫ pp pwww www ww ww 22)( )(2 ,0 0)( 0 取若 取下半平面围道，则 )]()([2)( ]1)[( 2ln)( )1( ln :,)1( ln)( )1( ln.7 22222 22 0 22 iresfiresfidzzf dxxe ixdzzfdxx x izz zzf dxx x C R iC R R ?+=+ + +++ + ±=+= + ∫ ∫∫∫ ∫ ∞ p p e e p e 奇 沿上述路径考虑 但若 22 2 22 222 2 0 22 0 22 0 22 0 )1( )(ln)(: 4ln4ln )2(ln)(ln 2ln)ln( )]()([2 )1( 2 )1( ln )1( ln 0|)(|,0|)(| +=∴ ?+= += += ?+= +?+?+∴ ??→???→? ∫∫∫ ∫∫ ∞∞∞ →∞→ z zzf xix ixxe ixxe iresfiresfi dxx iidxx xdxx x dzzfdzzf i i C R CR pp p p p p p p e e Q 2 0 22 2 0 22 2 0 22 22 22 2 )1( 14 )1( ln4 )]()([2 0)(,0)( )]()([2)( )1( 4ln4ln)( )1( ln ppp pp p pp e ee e e idxxdxx xi iiresfiresfi dzzfdzzf iresfiresfidzzf dxx xixdzzfdxx x C R C C R C R R R =+++?∴ =?+ ??→???→? ?+=+ + ?+?+ + ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∞∞ →∞→ 则 ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ ∞ =+ 0 1 0 0 22 )()(ln ,)()(ln 4)1( ln dxxQx dxxQx dxx x n n 应考虑 这启示我们若要计算 于是 p ] 1 1 )2(1 1[ 2: 1: )2(1 1)( )2(1 .8 2 2 2 1 1 2 见下只有这样才能得到 问：为什么不考虑 奇 支，考虑： x zz z z zz zf xx dxI ? ?? ?? ? = ±= ?? = ?? = ∫ ? Q 3 1 )2(1 1)2(lim)2( 0)( 0)(,0)( )2(2)()( )2(1 )( )2(1 22 00 22 21 izzzresf dzzf dzzfdzzf iresfdzzfdzzf xx dxdzzf xx dx z R C CC CC lCl R R = ?? ??= ??→? ??→???→? =++ ?? ++ ?? ∴ → ∞→ →→ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ′ ′ ee ee e e p 0)1arg( ,2)1arg(: ] 1,[ 0)1arg( ,0)1arg( 2 2 1 =+ =? =′ =+ =? z zl zAAl z zl p上则在 针一周而到达的 顺时绕是相应的上在 上：若取由在 3)2(1 3 2 )2(1)2(1 3 2 )1()1()2()1)(1( 11: ,11:,0 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 p p p e p = ?? ? = ?? + ?? = +? +?+? ?→? →??→ ∫ ∫∫ ∫∫ ? ?? ?? xx dx xx dx xx dx xex dx xxx dx xl xl i 即 时故当