§3.5 正交曲线坐标系中的分离变量 一、 ?? ? =? =+? 0 0 u uu l 的重要地位： 在三类数理方程中，如果令： 化为：则波动方程 02 =?? uautt 0)(),,()( 2 =??′′ vtTazyxvtT l?=?=′′ vvTaT2 ),,()(),( zyxvtTtxu = <1> 从而得到： 此既是亥姆霍兹(Helmhot`z)方程。 同样，将式<1>代入热传导方程 0=?? uDut ?? ? =+? =+′ 0 0 vv TDT l l ?? ? =+? =+′′ 0 02 vv TaT l l <2> 可得到一个 的常微分方程和 的亥姆霍兹方程： )(tT )( zyxv ，， 将式<2>写为： 0=+? uu l 表达式代入，得：将柱坐标中的 u? 01)(1 2 2 2 2 2 =+? ?+ ? ?+ ? ? ? ? u z uuu l jrrrrr 令： )()()(),,( zZRzu jrjr Φ= 二、柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量 代入上式，得： 0)( 2 2 2 2 2 =Φ+? ?Φ+Φ+Φ ZR z ZR d dRz d dR d dz l jrrrrr 2 2 2 2 2 11)(1 z Z Zd d d dR d d R ? ??=+Φ Φ+ ljrrrrr 两边乘以 ZRΦ 1 并移项，得： 要使上式成立，等式两边必是一个常数 则： 0=+′′ ZZ m 01)(1 2 2 2 =?+ Φ Φ+ mljrrrrr d d d dR d d R 对于后一方程，两边同乘以 2r 2 2 2 1)()( jmlrrrr r d d d dR d d R Φ Φ?=?+ 上式若相等，则两边必为常数，故 令常数为 2n 则： ?? ??? =?+ =Φ+Φ ′′ 0)( 0 222 2 nkddRddR n rrrrr 综上所述，解偏微分方程： 0=+? uu l 可令： )()()(),,( zZRzu jrjr Φ= 则化为下列三个常微分方程： ?? ?? ? =?+′+′′ =Φ+Φ ′′ =+′′ 0)( 0 0 2222 2 RnkRR n ZZ rrr m <3> <4> <5> 其中 为分离变量过程中引入的常数要根据 边界条件取某些特定的值，分别称为方程<3>、<4>、 <5>的本征值。方程<3>、<4>是常系数常微分方程，其 解易于求得，而方程<5>是变系数常微分方程。 22 kn、、m 作变换： )()( rr Rxykx == 则方程<5>变为： 0)( 222 =?+′+′′ ynxyxyx 称之为n阶贝塞耳(Bessel)方程。 三、柱坐标系中拉普拉斯方程的分离变量 注意到拉普拉斯方程： 0=?u 的特例当是亥姆霍兹方程 00 ==+? lluu 故可得： ?? ?? ? =?+′+′′ =Φ+Φ ′′ =+′′ 0)( 0 0 2222 2 RnkRR n ZZ rrr m 但其中： mm ?=?= 02k 例：一个半径为a薄圆盘，上下两面绝热。 若已知圆盘边温度，求圆盘上的稳定温度分布。 解： 由于圆盘上下绝热，且为薄圆盘，且无热源存在， 故其温度分布u(x,t)应满足： ?? ? = <=? = )(| ,0 j r r fu au a <a> <b> 将极坐标系中 u? 代入<a>式，得： 令： 01)(1 2 2 2 =? ?+ ? ? ? ? rrrrrr uu <c> )()(),( jrjr Φ= Ru <d> 代入式<c>，按上面的步骤分离变量得： ?? ??? =? =Φ+Φ ′′ 0)(1 0 2 2 2 RnddRdd n rrrrr 对于边界条件<b>，由于是非齐次的，变数不 能分离，但经过讨论我们可确定n的取值及相 应的本征函数。 是单值的函数在一般的物理问题中， ),( jru 所以： ),()2,( jrpjr uu =+ )()()2()( jrpjr Φ=+Φ RR 由式<d>，此即： 满足条件即要求j )()2( jpj Φ=+Φ 此定解条件我们称之为周期性的边界条 件，所以，我们首先解本征值问题： 四、球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量 01 =+? uu l求解、 的表达式代入上式：将球坐标系中 u? 0sin1 )(sinsin1)(1 2 2 22 2 2 2 =+??+ ? ? ? ?+ ? ? ? ? uur u rr ur rr ljq qqqq 令： ),()(),,( jqjq yrRru = <1> Ryr /2代入上方程，并将两边同乘以 ]sin1 )(sinsin1[1)(1 2 2 2 222 jq qqqq ? ?+ ? ? ? ??=+ y y yrkdr dRr dr d R 0)]1([2 222 2 2 =+?++ Rllrk dr dRr dr Rdr 0)1(sin1)(sinsin1 2 2 2 =++? ?+ ? ? ? ? llyy jqqqqq <2> <3> 上式若相等，则两边必为一个常数， 令之为 ，得：)1( +ll 再令： )()(),( jqjq ΦΘ=y 代入<3>，并将<3>两边乘以 ΘΦ/1 ?? ??? =Θ?++Θ ==Φ+Φ ′′ 0]sin)1([)(sinsin1 ,...2,1,0,0 2 2 2 qqqqq mll d d d d mm <5> <4> 则： 0=+? uu l 可通过令： )()()(),,( jqjq ΦΘ= rRru 化为下列三个常微分方程： 0)]1([2 222 =+?+′+′′ RllrkRrRr 0]sin)1([)(sinsin1 2 2 =Θ?++Θ qqqqq mlldddd 02 =Φ+Φ ′′ m 对于式<2>： 令： )(/)(, rRxxykrx == 则： dx dRk dr dx dx dR dr dR == dr dx dr dR dx d dr dR dr d dr Rd )( 2 2 == 2 2 2 dx Rdk= ]2 )()([2 xx xyxxydxdk ?′= ]4 )2)(()(22 )()([ 32 x xxxyxyxxxx xyxxyk +?′?′?′′= k xr xxxyxx xy x xyk =+′?′′= ,]1)( 4 3)()([ 2 2 0)]1([ ]2 )()([2])(432 )()([ 2 2 2 =+?+ ?′++′?′′∴ x yllx xx xy x xyx xx xy xx xy x xyx 即： 0)]1([)(243 22 =+?+?′++′?′′ yllxxyyxyyxyx 则<2>化为： 0])21([ 222 =+?+′+′′ ylxyxyx 称之为球贝塞耳方程 对于<5>式，我们作变换： )()(cos qq Θ== xyx ， 则<5>式化为： 0]1)1([2)1( 2 2 2 = ??++′?′′? yx mllyxyx 称之为缔合勒让德(Legendre)方程。 五、球坐标中拉普拉斯方程的分离变量 与柱坐标中的讨论类似，可得分离变量后的三个常 微分方程： 0)1(22 =+?′+′′ RllRrRr 0]sin)1([)(sinsin1 2 2 =Θ?++Θ qqqqq mlldddd 02 =Φ+Φ′′ m 六、本节小结： 在正交曲线坐标系中分离变数时，一 般会得到一些特殊的变系数常微分方程， 如贝塞耳方程和缔合勒让德方程等。只有 讨论了这些方程的解和本征值问题，才能 在正交曲线坐标系中将分离变数法进行到 底。