§3.4罗朗级数 ( ) ( )罗朗级数唯一的幂级数在环形域内解析函数 ??zf 定义： ( ) 级数Laurantbzc k k k ?-? ￥ -￥= 它是T级数的推广 由前幂级数的形式和Able定理我们知T级数存 在一收敛圆域│z-b │<R内的和函数是一解析函 数,且在│z-b│<R内绝对收敛，在其较小的同心闭 圆│z-b│<ρ<R内一致收敛。 一、定理 罗朗级数存在一收敛环域r<│z-b │<R,在收敛 环域r<│z-b│<R内的和函数是一解析函数,且在其较 小的同心闭环域r`≤│z-b│≤R` (r<r`<R`<R)上一致 收敛。 ( ) ( ) ( )??? ￥ = - -￥= ￥ -￥= -+-=- 0 1 k k k k k k k k k bzcbzcbzc ( ) 内绝对收敛在对于 Rbzc k k k <-? ￥ = b-z: 0 ( )解析上一致收敛且和函数在 zfb-z 1RR <￠￡ ( ) ( ) ÷ ? ?? è ? -==-=- ??? ￥ = - - ￥ = - - -￥ -= bz cbzcbzc k k k k k k k k k 1 111 xx对于 ,1上绝对收敛在 r<x ()解析上一致收敛且和函数在 zf11 2rr <￠￡x ( ) ,b-z:: 1 绝对收敛当即 rbzc k k k >-? - -￥= 一致收敛rr >￠3b-z 综上所述： ,Lb-z 级数绝对收敛中在公共区域 Rr << 内一致收敛在其内较小闭环域 RRbzrr <￠￡-￡￠< 对于在圆域内解析的函数我们知有T展开定理， 对于在环域内的解析函数我们将证明有L展开定理。 二、Laurant展开定理 ( ) 内解析，则在若 Rrzf << b-z () ( ) Rbzrbzczf k k k <-<-=? ￥ -￥= , ( ) ( )ò +-= l kk dzbz zf ic 12 1 p ( )RRrrbzl <￠<<￠<=- rr,: RRbzl <￠=-:1 rrbzl >￠=-:2 内则在 Rbzr ￠<-<￠ () ( )( ) ( )( ) ú ? ù ê? é ---= òò 212 1 ll dzfdzfizf xx xxx xp ( ) ( ) ( )? ￥ = +- -= ---=-<- - 0 11 11,1: k k k b bz bzbzb bzl xxxx b r r￠ R 2l 1l ( )bzbzbz bl ---=-<- - xx x 11,1: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )?? ￥- -= + =+￥ = + - -= - -= - --×--= 1 1 1 0 1 1 11 s s ssk k k k b bz bz b bz bbz x x x 令 ( ) =zf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ú? ù ê? é -× -+-×- ? ò? ò -￥ -= + ￥ = + 1 1 0 1 212 1 k k l kk k l k bzdbfbzdbfi xx xxx xp ( ) ( ) ( )? ò ￥ = + -×-= 0 1 12 1 k k l k bzdbfi xx xp ( ) ( ) ( )? ò -￥ -= + -×-+ 1 1 22 1 k k l k bzdbfi xx xp ( )?￥ -￥= -= k k k bzc ( ) ( )ò +-= 2 12 1 l kk dbfic xx xp其中 注意: ①展开中心b不一定是函数的奇点 如由例2我们将看到 () ( )( ) ( )?￥ = - -= --= 1 1 112 21 1 k k k zzzzf ￥<< z2 其L展级数以z=0微奇点，但f(z)在z=0却是解析的，事 实上是L展开定理并未涉及f(z)在z=b是否解析的问题。 ②展开系数公式 ( )( ) !k bfc k k 1 ( ) ,中总是有奇点的在 Rbzzf <-Q ( ) ( )( )不存在奇点则为若 bfzfbz k= 唯一性：设不唯一则f(z)= ( )?￥ -￥= -= k k k bzc ( )?￥ -￥= -￠= k k k bzc 三、收敛范围 ( ) 则的两个相邻的奇点为和设 ,zfaa ￠ ( ) babzbabzc k k k -￠<-<--? ￥ -￥= 在 ( ) 如中收敛包括 ,bababa =->-￠ () ( ) 则 ÷???è? -- = 2 31 1 zzz zf ( ) ?? ? ? ? ?? ? ? í ì <-<÷???è? - <-<<-<- ><<<< ? ? ? ￥ = ￥ = ￥ = 收敛在 在 收敛在 2 1 2 30: 2 3 ,1121,2110:1 2 11, 2 111,10: 1 1 1 zzc zzzc zzzzc k k k k k k k k k 收敛11 >-z 四、展开方法 1.直接利用展开定理(机会较少) 2.利用常用函数的T展开公式通过种种手段展开 () ( )( )21 1: --= zzzf将函数例 ( ) 的邻域中展开在 01 =z ( ) 为中心展开以 02 =z ( ) 中展开在环域 11-z3 > ( ) 开在奇点的去心邻域中展4 () ( )( ) 112121 1: ---=--= zzzzzf解 ( ) 1:01 <= zz 即的邻域 ×× 12 ?￥ = -=--=- 01 1 1 1 k kz zz ?? ￥ = + ￥ = -=÷???è?-= - -=- 0 1 0 2 1 22 1 21 1 2 1 2 1 k k k k k zzzz () ( ) 展Tzzf k k k ,112 1 1? ￥ = --=( ) 为中心以 02 =z 23,212,11, ><<<? zzzzc k k k ooo范围最后形式 ( ) 展开见 T11o 212 << zo ?? ￥ = + ￥ = -=÷???è?-= - -=- 0 1 0 2 1 22 1 21 1 2 1 2 1 k k k k k zzzz ( ) ?? -￥ -= =+-￥ = + == - =- 1 1 0 1 1 11 11 1 1 s s sk k k zz z zz () 展Lzzzf k k k k k ?? -￥ -= ￥ = + +-=10 12 1 23 >zo ?￥ = += - =- 0 1 2 21 11 2 1 k k k z z zz ? ￥ = += - =- 0 1 1 11 11 1 1 k kz z zz () ( ) 展Lzzf k k k ,112 1 1? ￥ = --=( )? ￥ = -- = -- -=--=- 0 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 2 1 k kzz z zzz ( )? ￥ = +-= 0 11 1 k kz ( ) 中展开在 11-z3 > () ( ) 1111111121 1 1 ---+-=---= ? ￥ = + zzzzzzf k k ( ) ( ) 展Lzz k k kk k k ?? ￥ = =+￥ = + -=-= 2 1 1 1 1 1 1 1 ( )在奇点的去心邻域4 120,110 <-<<-< zz ( )以奇点为中心5 11,110 -<<-< zz 21,120 -<<-< zz