§ 2.4 纯强迫振动 一、定解问题 >< >< >< ?? ?? ? = = += = = 3 2 1 0| 0| ),( 0 0 2 tt t xxtt u u txfuau 若将方程中的非齐次项消掉，即可利用 达朗贝尔公式得到此定解问题的解。 故，我们引入冲量原理 注：迭加原理 二、求解 1、解题分析 2、冲量原理 根据迭加原理，<1>式之中的持续力f(x,t)所引起 的振动视为一系列前后相继的瞬时力引起振动的迭 加，即： ∑ =→? = t txwtxu 00 );,(),( lim tt t 则，瞬时力所引起的振动的定解问题为： ?? ?? ? ?= = ?+<<=? = = tt ttt t t ),(| 0| 02 xfw w twaw tt t xxtt 设： ttt ?= );,();,( txvtxw >< >< >< ?? ?? ? = = =? = = 6 5 4 ),(| 0| 02 tt t xfv v vav tt t xxtt 可以看出，求解定解问题<1>---<3>即为求解定解问题 <4>--<6>，而： ∑ ∑ =→? =→? ?= = t t txv txwtxu 00 00 );,( );,(),( lim lim tt tt tt t 即： ∫= t dtxvtxu 0 );,(),( tt <7> 以上用瞬时冲量的迭加解决持续作用力来解决 定解问题<1>--<3>的方法，称为冲量原理。 ３、纯强迫振动的解 对于定解问题<4>--<6>，令： t?= tT 则： ?? ?? ? = = =? = = ),(| 0| 0 0 0 2 ttfv v vav TT T xxTT 由式<7>，可得： ∫∫+?= t aTx aTx ddfatxu 0 ),(21),( uata 此即是纯强迫振动的解。 故，又达朗贝尔公式： ∫ +?= aTx aTx dfatxv atat ),(21);,( ∫ ?+ ??= )( )( ),(21 tt atatax tax dfa 四、例题 求解初值问题： ?? ??? = = += 0)0,( 0)0,( xu xu xuu t xxtt 解：由式<8>可得： ∫∫ ?+??= t txtx dtxu 0 )( )(21),( tt aa att∫ ????+= t dtxtx 0 22 })]([)]({[ 4 1 2 2 1xt= 五、小结 1、对于纯强迫振动 (1) 应先将有源问题按冲量原理化解； (2) 利用迭加原理求解。 2、对于一般强迫振动 ?? ?? ? = = += = = )(| )(| ),( 0 0 2 xu xu txfuau tt t xxtt y j 由于泛定方程和定解条件是线性的，故利用迭加 原理，令： III uuu += 并分别使： >< >< >< ??? ??? ? = = =? = = = 11 10 9 )(| )(| 0 0 0 2 xu xu uau u t I t t I I xx I tt I y j >< >< >< ??? ??? ? = = =? = = = 14 13 12 0| 0| ),( 0 0 2 t II t t II II xx II tt II u u txfuau u 故求一般强迫振动定解问题，只需求解以上定解条 件<9>---<14>即可 (1)用达朗贝尔公式给出定解问题<9>---<11>的解； (2)用纯强迫振动的解给出定解问题<12>---<14>的解： 故，一般强迫振动的解： III uuu += 为： [ ] ∫∫ ∫ ?+ ?? + ? + + ?++= t tax tax atx atx ddfa d atxatxu 0 )( )( ),(21 )(21 )()(21 t t tata aay jj