第二章积分习题课 一.小结 ∫ ∑∑∫∫ ∫∫ ∑∑∫∫ ∫∫ + == == ?= ??? ??? ? +=?+?= =?= ?= ?? ?? ? +== == = += L n n n k k n k ll l L n k k n k ll l L dzfinzf llLdzfdzfizf lLdzfizf dzfizf llLdzzfdzzf lLdzzf dzzf Lzf k k xx xp xx xxx xp xx xp xx xp sss 1 )( 11 11 )( )( 2 !)( ],)()([21)( ,)(21)( )(21)( ,)()( ,0)( 0)( ,,)(. 则上连续内解析在区域若一 平均值定理 模数原理 科西不等式 刘维定理 适当选择公式 何其点判断围道内有无奇点有 有何奇点判断被积函数有无奇点 其步骤： 围道积分可用来计算复变函数的 )3( )2( )1( ? ? ? ? ≤ ∫∫ SM dzzfdzzf l l |||)(||)(|.二 二复线积分的计算方法： 1由定义计算 1max||0 ()lim() n kkl n kz fzd fzx →∞ = ?→ =?∑∫ 221 000 2 1 0 () ()(2)(2,:01) 1 (2)|1 22 lll ii m fzdzudxvdyivdxudy Izd ydxidyydyidyxyy yii Q++ =?++ =+=+=→ =+=+ ∫∫∫ ∫ 2.由与实线积分的关系计算: 不常用 22 000 02 02 2 ,22 1()(1) 2222 11 2 i mz i xt tty ttztiI mz ittIdzdtitdt i 3、由分法做： 的直的方程： ， a+ →+ =?? ≤≤?= ?? ∴=+= ∴=+=+∫∫∫ =+ 参数积 线参数为 11 1 0 - sin, sinsincos coscos-sin sin(sincos)() (sincos)() yx l ll Newtonlebniz zdz zxchyixshy zxchyixshy zd xchyixshydxidy xchxixshxdxidx 4. 于解析函，可用公式算。 例： 若用分做，注意到： ∴(1) = = ∫ =+ = ++∫∫ ++∫ 数计对 实积 11 00 1111 0000 11 00 11 00 (sin-cos)(cossin) -cos-co sin- 1-|cos|cos-cos |sin|-sinsin 1-cos|||sin| xchxxchxdxixshxxchxdx chxdxxdxishxdxchxdx chxdchxxshxdx ishxdshxxchxdx chish =++∫∫ ??=+∫∫∫∫?? =+∫∫ ??++∫∫?? =+ 2 1 1 00 sin1-cos||sin|| - sinsin-cos|1-cos(1) 1-cos||sin|| l i i l zd chish NL zd zd zi chish由* 似可得： ,麻 。 但若用公式： = + + =+∫ ===+∫∫ + 类 烦 22 - 2222 - 42 22222 2222 2222 |()||()||| |()|max|() 25.3 |()|2. |()||| ()-2 ()- ()||1 || ll l i i c c c fzdzfzdz fzd fzS P xiydz xiydzxiydsc xyds xyxyds xyxyxyz ds 三. 分估值公式的用： 1.例： (1) ： 分路直 明： 而 ≤∫∫ ≤?∫ +≤∫ +≤+∫∫ =+∫ =+∫ +≤+=≤ ∴≤ ∫ 积计应 证积径线 证 2 同可(2) = 样证 () () 1()0. ()22(). - ()23(). -(-1)! l l n l n fzlab fzdzCauchy fzdzifaCauchy za fzidzfa zan ss p ∈ =∫ =∫ ? ? 四、复道分的算方法： 1、若在解析界上，、 , ： （） ( 定理) （） ( 定理) （） ( 公式)（） 围积计 内边连续 则 导数 -1 -1 ()()()4 (-)(-)(-)(-)(-)(-) ()() 2()()-- 2| (-) (-1)!-(-) ab ab lllnnn nn zbll nn za fzfzfzdzdzdz zazbzazbzazb fzfz idfzfzzazbdzdzi zazbndzzbza ??? ?? p p= = =+∫∫∫ ??=+=+∫∫ ???? （） （） (2)(3)(4)() 2,11 0,1(-)l n fz indz nza? 于若多式， 也可先 被 分函分分式，再利用公式 做（ 然麻） p =?=∫ ? ≠? 对为项则对 积数项 来显烦 12 12 ||4 3-1 3-11 (1)(-3) 3- 3-1 (1)(-3)(1)(-3) 3-13-1 11 -3-3 3-13-1 |22| 1 -3 8-42[]6 4-4 z ll ll zz zdz zz dzdzzzzz zz dzdzzz zzii z z ii ? ?? ?? pp pp = == ∫+ =+∫∫++ ++=+∫∫ =++ =+= 、 1122||4 313(1)434 (1)(3)(1)(3)3(1)(3) 311 [] -331 21 -31 2121 3131 llll z zz zzzzzzz zzz zz dzdzdzdzdzzzzz????? 也可： = ?+?==? +?+??+? =???+ =++ ∴=+++∫∫∫∫∫?+?+ 2226iiippp=?+= 2 132 ||2 1 sin22(sin)| (1)2! [sincos] (2cos1-sin1) z zi z zzidId zz dz dizzz dz i ? p p p = ?= = ==∫? =+ = 、 2 2 2 2 336.4 371(),:||3,'(1) - 371( 2371 - ()2(371) ()2(67) (1)2(667)-1226 l l P fzdlzfiz fzdi zz fziz fziz fiiii Q xx x x xx xpxx x p p pp ++==+∫ ++ ??==++∫ ?? ∴=++ ′ =+ ′+=++=+ 、 求 cos 0 0 |z|1 (cossin) cossin cos 436.5(:||1) cos(sin) 2|2 , [cos(sin) z l z z z i ii i Z i i ePdzlz z ed edziei ze eie died e ieed ie p q q qq ppqq pq p qq q qqp pp q = = + ? =∫ ∫ ==∫ = =∫∫ =?∫ =+ 、 证： 令则： cos 0 sin(sin)] 2ecos(sin) 2 id id i p p p q qq qq p ?∫ =∫ =