§2、孤波 一、Kdv 孤波---单峰行进、常速、波形不变 1、Kdv的产生：1834：苏格兰：Scott.Russel 追踪水波 (P397) Scott的叙述为：“我正在观察一条船的运动，这条 船被两匹马拉着，沿着狭窄的河道迅速前进，船突然 停止了，河道内被船体扰动的水团却没有停下来，而 是以剧烈受激的状态聚集在船头周围，然后形成了一 个巨大的圆而光滑的孤立水峰，突然离开船头以极大 的速度向前推进，这水峰若有30英尺长，1~1.5英尺 高，在河道中行进时一直保持着起初的形状，速度以未 见减慢，我骑着马跟着，发觉它大约以每小时8~9英里 的速度前进,后来波的高度渐渐减小,过了1~2英里之 后，终于消失在河道中，这就是我在1834年8月看到的 一奇异而美妙现象 1895:荷兰，科特维格Kortweg和德弗罗斯deVries 浅水沟波动方程 )01.2()312132(23 2 2 2 xgaxl g t ? ?++ ? ?= ? ? hshhh ),,(3 3 密度表面张力深 ????= rrs tlgTll tlxxu g 2 1 32121 2 ,2,2,8 ?? ? ? ??? ?=? ? ?? ? ?=? ? ?? ? ?== s at s az s azah令 )02.2(012 =+++ zzzzz uuuuut则 §2、孤波 一、KdV方程 )2(012 =+++ zzzzzt uuuuu )3()( 行波解令 ? ?? ? +?= = dwtzq q a uu 的常数为依附于 为相位因子为任意常数、其中 a a w dd . [ ] 012 012 32 3 =??+ =+++? qqqqq qqqqqq w w ua auuau uaauuauu 即 )4(1 33 aaa a +==? ww 即为方便见、取 )5(0122 =?+ qqqqq uuuau则 ∫∫∫ ∫ =?+?? 012:)5( 2 duuduadud qqq qq )6(06 122 =+?+ Cuuauqq 06 :)6( 1 2 2 =+?+ ? ∫∫∫∫ ∫ duCududuuaduu du qq q q 021221 212322 =++?+ CuCuuauq 0,0 )( →→∞→ nuu时qQ 0: 21 == CC代入上式得 ( )? ? ? ?? ? ?= ?= uaau uauu 4 4 2 2 2 3 2 22 q uaauu 42 ?=q qd uau adu = ? 4 : 2 分离变量 uaa uaa 4 4ln: 2 2 ?+ ??=q积分 u uaaua uaa uaae 2 42 4 4 22 2 2 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?+ ??=q uaaauue 422 22 ??=?+q 2 2 )1(: += q q e eau两边平方整理得 2 1 21 1 22 ++?=?? ? ?? ? ++?= ?qqqq eeaeea 2sec4)( 1 22 222 2 q qq h a ee a = + ?= ? ])1([2sec4 22 2 aa aha dtz ++?= [ ] 可见峰高、速大、波宽振幅 达氏如同常数 4: )(::1: 2 2 a atxa ?+ j 二、正弦戈登(Gordon)方程 场)1(sinfFF =? ttxx [最早1958、非线性场方程，现已在超短脉冲、超 导性及非线性量子学等方面广泛应用] 为了便于积分求解，类似于用行波法求解 引入变换： 02 =? xxtt uau 一样使 002 =→=? ?? ? ?= += zhh z uuau atx atx xxtt )3(sin)1( )2(2,21 FF tz zh =→ +=?= 则 、引入变换： txtx 的线性独立解令 )3()5(),(),( )4(),(),( ? ?? ? ?= += tztzF tztzF vu vu 表示的方程和考虑 可互用函数表示必有关系和则共轭既然 ),(),( ,,, tztz FF vu uv () 待定 、、确定 ? ? ? ? = = )(),( )7()( )6( :)()(2 ugvfugv vfu vfug t z 的形式求导来确定启示我们对由 gf ,)7)(6()3( )8()()()(:)6( vfugvvfudd ′=′= tztt )9()()(:)7( ugvfvdd ′=ztz zhzh FF 发生关系、为了与 )()()()()(:)9()8( )()()()()(:)9()8( vfugvfugvu vfugvfugvu ′?′=?? ′+′=++ zh zh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ()() )11(sin )10(sin: vfugvfugvu vfugvfugvu ′?′=? ′+′=+故有 a 令 =′= =′+ )( cos sin )( cossin)()(:)11()10( vf v u ug vuvfug ( ) )12(sin: uug a=于是得 b 令 =′=? )(cossin )(:)11()10( ug uvvf ↑ == )13(sin1sin)(3 vvvfu abF 则和、 ( ) () a a 1cos cos)12( =′∴ =′ ug u uug由 ??? ??? ? ?=→ +=→ )(21)5( )(21)4( FF FF v u 由Q )(sinvsinu)( )( )( 142121 7 6 FF abFF zz ?===+ → ?? ?∴ ( ) )(sinusin)u(gv 15221 FFaaFF tt +====? 变换巴克朗得 Baklund)(? FF FF FF 有特解 有特解 有特解相关与特解 )15( )14( )3( ← → 0)15( )14( )3(0 = ?? ?∴ = F F 有特解 的特解是易于看出 )17(2sin2:)15( )16(2sin12:)14( FaF F aF t z = = 代入 代入 ?122csc1 2sin 2:)16( z a FFz aF F ddd d == ∫由 () 44ln1 )(11 FtFza tza theCth G =?= + ()? ? ? ?? ? += ? tz aF 1 1 1exp4 Cth [ ] 由的两个表达式 得类似的由 )(exp4:)17( 21 ztaF Cth +?= ? dzazdatt +=+=∴ 1)(,)( 21 CC ?? ? ?? ? ++=Φ∴ ? datz a 1exp4 1th ),( txΦ ?? ? ?? ? +?++= ?? ? ?? ? +++?=Φ ? ? daaaa daa )1(21)1(21exp4 )(22exp4 1 1 xth txtxth ? ? ? ? ? ? + ?? ? ?? ? ?? ??? ? ??? ? += ? d a a a a t Hxth 2 22 1 11 2 1exp4 [ ]d+?= ? )(exp4 1 btxath 2 22 1 1, 2 1 a a a a + ?=+= ba ( )[ ] ( )[ ]da d t z +?=Φ +?Φ=Φ btxah btxah sec4 sec4Q 孤波? ?? ? 孤波可推想 ?∴ F 三、非线性薛定谔(schrodinger)方程 )1(02 =++ FFbFFl t xx 等离子体物理和非线性光学、用于近代量子力学、超 导、激光方面 .2 构作为势的量子薛定谔结?Fb 电子质量薛定谔 ?+??=?? myymy Uti 2 2 2: hh )2()(1 )( ? ?? ?== ? btx ue vtkxi q qF、令 常数bvk ,, (1) - >(2) ( ) 0)(2 32 =+?+?+ uukvubkiu bqqq )3(44,2 2 2 2 ?? ? ? ? ?? ? ? ? = ?== 自身的调制作用到 起不则若选选 vbvabvbk )4(032 =+? uuau bqq则 0:)4( 32 =+?? ∫∫∫∫ duuuduaduudu bq qqq 4222 2 uuaCu b q ?+= 00 →→∞→ )t,x(,,x )n(FF qb d uau du C = ? =∴ 22 2 0 u uaa a 2 2ln1 22 b b q ?+ ?= u uaae a 2 22 b bq ?+=? qbq haau sec2)( =