§1.2 三类数理方程的导出 一、弦的横振动： 1、物理模型：细长柔软弦，紧绷于A、B 之间，做微小横振动，求运动规律 2、分析： 1T 2T1a 2a xx ?+x (1)研究何问题： 为弦位移， 取如图所示坐标系 即平衡位置 t)u(x ， (2)已知： 重量不计 ，线密度 )(),( ttx rr = 为切线方向张力 ),( txT 0, 2 =??= xx uxuu 是小量 1T 2T1a 2a xx ?+x(3)研究方法： 连续介质、微积分思想、任意性。 3、研究建立方程： (1) 受力：任意段 x? ?? ?? 22 11 cos cos a a T Tx： ?? ??? ≤≤???+ ? )10() sin sin 11 22 11 hh a a xxt T T y （ ： 单位长度所受外力 (2) 按照牛顿运动定律： ?? ??? ????+= ???++? =? xtxyxu xxtyxFTT TT x tt r aa aa )( )(sinsin 0coscos 12 11122 1122 ： ⑴ ⑵ (3)化简，整理： xdxudsMM xx x x xx x ?=+== ∫∫ ?+?+ 221 1 rr == ∴ )()(),( txTtxT ， 由胡克定律可得： x x x u u u xtg tgxx = + = + = 22 11 sin又 1coscos11cos 212 ===+=∴ xxux x 即 TTT == 21 xtxxFtxutxxuT xx ??++??+ )()]()([ 121 h， xtxxutt ???+= rh )( 12 代入<2> 代入<1> （杆纵振动）：， ttxx uFuTxx =+→?? rrr 01 （弦振动方程）即 fuau xxtt += 2 2 2 2 / / ）（量纲：，其中 s cm cmg scmgTa =?= r 可见，弦的横振动为一维波动方程，类 似的还有杆纵振动和理想传输线的电报 方程。 上式若 ，则为弦的自由振动方程 0f = 二、热传导方程： 1、物理模型： 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热， 沿杆长方向有温差，求热量的流动。 首先，我们来复习一下关热量的几个 概念： 温度密度， 时间，体积，面积，热量，设： ?? ???? T tVSQ r TV QC )(r= (1)比热：单位物质，温度升高一度所需热量 (2)热流密度：单位时间流过单位面积的热量 导热率????== knuKtSQq 则： (3)热源强度：单位时间，单位体积放出热量 tV QF = 2、分析： (1)研究的问题： [热量流动，是由温差造成]设u为温度 (2)已知： 是一维问题， 是常数、、 )( txuu kC =∴ rQ (3)方法： 与上面的方法相同 3、研究、建立方程： (1) 时间热量情况：段在考虑任一 tx ?? tAxukQx x ?????= |1面：流入 tAxukQxx xx ?????=?+ ?+|2面：流出 ）（ xAtFQ ???=3 r，体密度为设杆比热为升温所需： C ),(),()( txuttxuxACQ ??+??= r 热源产生：设有热源其密度为 )( txf ， (2) 根据热量守恒定律： 321 QQQQ +?= [ ]),(),( txuttxuAxc ??+r即 [ ] xtFAtAtxutxxuk xx ??+???+= ),(),( (3)化简： ：，， 00 1 →?→? ?? txtxA Fkuuc xxt +=r fDuu xxt +=即 此即为一维的热传导方程，中子扩散，高频电流分布 皆属于此类方程。 rr c Ff c kD == ,其中 三、泊松公式： 1、物理模型： 区域中的电场 的，体电荷密度为介电常数 ),,( zyxre 2、分析： 是一标量场，所以而 即静电场是一有势电场， ),,( , zyxV VE ??=Q (1) 研究的问题： ),,( zyxV势函数 (2)已知： 稳定场，1=e ] 11[ 的情况应考虑电位移矢量 ，若是因为由电动力学可知这里强调 ED e ee = ≠= (3)方法： 与上面的方法相同 3、研究、建立方程： (1)做一个封闭曲线S考 虑S中的情况 (2)由电学中奥-高定理，有： ∫∫ ?=? t trpep dsdDs 04 14 t 通过一封闭面的净余电通量等于该平面内所有电荷 的代数和乘 p4 (3) 化简： 可得：由 ThmsCaus ′ ∫∫ ??=? t trdEsdDs ∫ ∫=??∴ t tret ddE 0 1 0e r=?? E即 此即为泊松公式→?=? 0e rV 在泊松公式中： 即为拉普拉斯方程则，若 →=?= 00 Vr hu ?=?故有源静电场满足： 无源静电场满足： 0=?u 可以看出，在稳定温度场中，由于温度不再变化， 故 0=tu D fufuDu t ?=?+?= 变为此时 小结： 当确定了研究的是那一类物理量时，建立方程的 步骤有三步： 1、划分出一小块，考虑其与邻近部分的关系； 2、根据物理学规律，表示出此关系； 如：牛顿运动定律、能量守恒定律、 3、化简、整理，即得数理方程。 麦克斯韦方程等。 但是，此三类方程并不包括所有物理问题，如：量 子力学中的薛定谔方程 yymy )(2 2 rUti +??=?? hh 是波函数 是粒子质量，是普朗克常数，其中， ),( try mh 还有反映孤波问题的KdV 方程 0=++ xxxt uuuu s 皆不属于这三类方程。