§1.1Legendre多项式 一、Legendre方程的级数解 ( ) ( ) ( )21--2101xyxylly′′′++= 对照常微分方程的级数解法 () () ( )221-2 ,,1-1-llxpxqxxx+==处此 它们在x=0点邻域均解析，故x=0为该方程 的常点，从而可令 0 2kk k ycx∞ = =∑ （） 代入(1),得 ( ) ( )-2 221 -1--1-2kkk kkk kkcxkkcxkcx∞∞∞ === ∑∑∑ () 0 10kk k l cx∞ = ++=∑ 0 20:21)0xlcllc?++=（ 20 (1) 21 llcc+∴= ? 1 311:32-2(1)0xccllc?++= 31 (1)-2- 32 llcc+∴= ? [ ]() 2 (1)-(1):-3 (2)(1) k kk l kkx kl+ ++= +?+ 2 42 -23- 43 llcc+?∴= ? ()()()()2 0-213-1 4!llllc++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )251-3-124-1 5!llllcc++= 2nc= ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ()0-22-24.. 13...2-1-142!nlnlnlllln cn+++++ 2n+1c= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ()1-21-23.. -124...2-1521!n lnlnllllncn++++++ k kk=0y=cx ∞ 故 22 0212111 01()() nnl nnccxcxcx yxyx ∞∞+ +===+++∑∑ =+ () ()2002 1 6nn n yxccx∞ = =+∑式中 () ()211121 1 7nn n yxcxcx∞ ++ = =+∑ 二、解的敛散性 1.由达氏判 12 limlimkk kk acR →∞→∞++ == () ( )( ) ( ) ( ) 3 21 lim11-1 k kk l kk→∞ ++== ++ ∴y(x)当 1x < 收敛 1x > 散发 1x = 收 ? 散?敛发 2.由高斯判 1 kk f∞ = ∑则 当 Re1m> 收敛 Re1m≤ 散发 ( ) ( )167:x =±代入和得将 ( ) ( )200220 1 11,nnn n ycccc∞ = ±=+±←∑ 0nnncff ∞ = =∑ 一常数 111(1) nnycg ∞ = ±=∑类似 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 222111 221-14 nn llf fnnl nn+ +++∴==++… ++ 2 111 o nn ??=++?? ?? 类似的有： 2 1 111n n g o gnn+ ??=++?? ?? ( ) ( )01,1yxyxx∴=±在 散发 三、本征值问题 ( ) ( ) ( ) ( )21--210,18xyxyllyll′′′++=+常数 1xy=± →有限, 由(3)可看出 0,1,2,...,llk==若取 则当 时 2200kllccc++==×= 460,0...kkcc++==而有从 01yyl即或次多 式→项 1.2,0,1,2,...lknn===若 2222 0klnccc+++===则 2426 ...0nncc++∴=== () 2200 ... nnyxccxcx=+++ 2 02 ... l lccxcxl=+++→次多 式项 () 3212311 2123.. ...nnnnyxcxcxcxcx++++=+++ →无穷级数 无穷级数→ 221,0,1,2,...lknn==+=.若 2223 0klnccc+++===则 2527 ...0nncc++∴=== ( ) 32111 21... nnyxcxcxcx++=+++ 3 13... l lcxcxcxl=+++→次多 式项 ( ) 222200 222.. ...nnnnyxccxcxcx++=+++++ 总之：本征值问题(8)的 ( )1,0,1,2,...lll+=:本征值 本征函数 ( ) 2002 .. ,2llyxccxcxln=+++= ( ) 3113...,21llyxcxcxcxln=+++=+ 四、Legendre多项式 ( ) ( )2 2! 2!l l lc l =选 ( ) ( ) ( )01llyxyxPx上述次多式 或记项为 lLegendre之多式称为阶项 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1-1kk kkcc kkll + ++= ++ ( ) ( ) ( )( ) 2 21 -1kk kkcc klkl + ++= ++即： 则由(3): 由此得： ( ) ( )( )( )-2 2-2!-1 2-1!-2!l l lc ll= ( ) ( )( )( )2-4 2-4!-1 22!-2!-4!l l lc ll= ( ) ( )( )( )-2 2-2!-1 2!-!-2!nln l lnc nlnln= 0lc,n=当最高幂系: 最低幂系: 0 -20, 2 lclnn==, 即当 1 -1-21 2 lclnn==,,即当 () ( )( )( )( ) ()2 -2 0 -12-2! 9 2!-!-2! l n ln l ln lnPxx nlnln ?? ???? = ∴=∑ ,22 -12 ,21 2 l ln l l ln ? = ???= ????? ? =+? ? 其中 () ( )()1,0,1,.8 .. l lll Px +=?? ?? ? 问题 数于是本征值 本征值:本征函 : () ( ) ( ) 0 0-0 0 0 -12! 110 20!0!Pxx== 1-11,:00 2ln=→= () ( )( )( )( ) ( ) 0 1 1 1 -12-0! 11 21-0!1-0!Pxxx== 2,:012ln=→= () ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 01 20 2 22 -14-0!-14-2! 22-0!2-0!22-1!2-2!Pxxx=+ () ()13-1122 x= ( ) ()21-60..eg d xyxydx ??′+=????求的一特解 () ( )22 13-12ypxx== 五、Legendre多项式的其他表示 1.微分式 2.积分式 () ( ) ( )1 2 -1132! l ll lldPxxldx= () ( )( ) ( ) 2 * 1 -11 14 2 2- l l l llPxdixp+=∫ *Legendre:(1752.9~1833.1)常和拉格朗 日(Lagrange)和拉普拉斯(Laplace)并称 为法国数学界的“三L”。他在数论、 椭圆函数等方面有重要贡献。在确定彗 星轨道论文(1805)中比高斯更早的发现 了最小二乘原理。 复习上次课 ( ) ( )2(1)-210cos,xyxyllyxyq′′′?++===Θ 1xy =± →有限 本征值: ( )1,0,1,2,...lll+= () ( )( )22!2!llllyPxcl==选 本征函数: () ( )( )( )( )2 -2 0 -12-2! 2!-!-2! l n ln l ln lnPxx nlnln ?? ???? = =∑ () ( )21 -12! l ll lldPxxldx= () ( )( )* -112 2- l l l lPxdi x x p x= ∫ ( )lyPx== ( )0 1Px= ( )1Pxx= LL ()11lP ≡ “在数学物理中一个方法的成功不是由于巧妙 的谋略，或幸运的偶遇，而是因为他表达着物理真理 的某个方面。” O.G.沙顿《数学的应用》1954