§1、非线性方程的某些初等解法 基本思路：选择适当变换化非线性---〉线性（这 里涉及到一些技巧和经验性问题） 一、Kirchhoff变换 [ ] (1.01)0uG(u) =??对于 0011 =→ ?=? W).( u)u(G)W( D则 若:分析1、 u)u(GW )u(WW ?=? = 使 令:2、变换 )u(GdudW u)u(GududW = ?=?则 ∫=∴ uu ).(d)(GW 0 021xx:由此可见 ).(W).().(W 0310011021 =→ D则为即选 (*)dyy)Q(x,dxy)P(x, 0=+(1)对于方程:附 程则(*)称为全微分方若有 dy)y,x(Q)y,x(Pdu += ?? ? += =+ ? ?= ? ? ? ?= ? ? dy)y,x(Qdx)y,x(Pdu dy)y,x(Qdx)y,x(P, x Q y P x Q y P 0则若:即 方程的充要条件是(2)(*)为全微分 : )P( 337见同济版高等数学反过来亦对。 二、Cole – Hopf(科勒 –霍普夫)变换: )(Burgers ).(uuuu xxxt 1 041 (伯格斯) 对于 ? =+ d xxt uu:: d=性扩散方程若无左边第二项则为限分析 线性方程的关系。 非线性方程和相应的为此，我们首先看看此 )uu(xtu x 2 2 ???=?? d(1)即 )(见前面的附注充要条件而由全微分方程存在的 )uu(udxd: x 2 2 ?+= dy有 22 2 2 1 2 2 xxx )( xt t uuu )(u: ydyd yy ?=?= =满足显然 )(:Burgers xxxt 321 2 dyyy =+化为即 系解的线性扩散方程的关为了找到它与我们会求 )()(gV )(VV xxt 5 4 y d = = 现令 对于 xxxxx xxtt )(g))((gV )(gV,)(gV yyyy yyyy ′+′′= ′=′= 2 则 )()(g )(g)(, xxxt 64 2 dyyyydy =′′′?→代入 gg)(g )(g:, ′?=′′→=′′′? dyyd 2121(6)(3)对比 Ve)(g:C,C CeC)(g: )( 5 2 1 21 2 2 1 1 01 )g( ==== += ? ? yd yd y yy 取 得积分 xxt WW).( l=→041则 :)()(: 有和由、变换 652 x w w )wln(xvu x ? ??= ???== l l 2 2 霍普变换柯勒故作变换 ????= )08.1(2)3( xwwu l : ).(WW).( xxt 类似的对于 则 091041 l=→ ).(xuutu j j i j i 101 3 1 ∑ = =??+?? Dl ).(Wlogu 1112 ??= l作变换 ).(Ww).( t 121101 Dl=→则 1、分析:使之化为常数 相似变换 为此 ?== )14.1(),( bazz txuu [ ]t,x,不显含使方程只含、通过选 xba )(utxtddutu zbzz ba ′=??=?? ?1则 )(utxxu xa ba ′=?? ?1 三、相似变换 ).(xu)u(Gxtu 131? ? ? ?? ? ? ? ? ?= ? ?对于 [ ] [ ] [ ]u)u(Gddtxddu)u(Gtx)( )u(G)(utx tx)(utx)(utx)()u(G )u(G)u(ux)u(Gxu)u(Gx )( )( xx ′+?= ′′+ ?′′+′?= ′+??=? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ??? zazaa za azazaa baba ba bababa 21222 22122 112 2 1 1 ).(ddu)u(Gdd d du)u(G)( d du t x).( 141 1131 (1.13) 22 2 ?? ? ?? ?+ ?=→ zzza zzaazzb 则代入 [ ]可定则适当选 baz ,tx)(g 2= ]12121[ 2 ?==== bazz ,).(tx)(g 知则对比若选 的常微分方程））即（从而（ )(u.. z→111131 2 11 2 12 2 ?== ??=== ? ba zzz , Boltzmanntxtx)(g 变换则若选 ?? ? ?? ?=?→ zzzzz d du)u(G d d d du. 23 2 1141 ）此时（ 分方程这是一易于求解的常微 ).(ddu)u(Gddddu 15121 ? ? ? ?? ?=? zzzz uu:, t 2D=如程自型解也适于对其它方 lnv-2 dy =于是 ）的解为方程（）得代入（ 12 Burgers (7)2 xvln)t,x(u ???= d 的问题求解线性方程）的问题方程（ 则求解变换）为称（ xxr vv Burgers.HopfCole d=→ ? 1 7 方程的初值问题求例 Burgers: ?? ? = >∞<<∞?=+ )()x(f),x(u t,x)(,uuuu xxxt 20 01d ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ??= >∞<<?∞=→ ? ∫∞∞? )(dt )x(exp),(v )( t,x,vv)( HopeCole xxt 340t2 1t)v(x, :2 01 : 2 zdzzpd d 此初值问题的解为而由傅式变换法可知， 的初值问题解的问题 则解 变换作解 [ ])..(P?),(v 8242050 见=z hdh dtuv HopfCole x 2 1),(ln ??= ? ∫ ∞? 变换由 ?? ? ?? ??=∴ ∫ ∞? x dtutxv hh d ),(2 1exp),( ?? ? ?? ??= ?? ? ?? ??= ∫ ∫ ∞? ∞? x x df duxv hhd hhd )(21exp )0,(21exp)0,( ∫ ∞ ∞? ?? ? ?? ??= )4(),,(1exp 2 1),( :3 hzdpd dtxFttxv ）得代入（ t xdftxf 4 )()( 2 1),,( 2?+= ∫ ∞? zhhz z其中 zpd d derv F ∫∞∞? ?+= ln2 1lnln:4）得由（ zzz dd detxdexv FF ∫∫ ∞ ∞? ? ? ∞ ∞? ? ? ?? ? ?? ?= ? ? 1ln zzz dd detxdexv FF ∫∫ ∞ ∞? ? ? ∞ ∞? ? ? ?? ? ?? ?= ? ? 1ln t xfF ?+= ? ? zz z )(25）得由（ 给出由 故 故上式右边最后一项为由于 从而 )11(),,( )(),( 0)(lim |2)( 2)( 1 z zzz z lzz zzzzz dd z dd dd txF defdetxu F edef deFfdetx FF FF FF ∫∫ ∫ ∫∫ ∞ ∞? ? ? ∞ ∞? ? ±∞→ ∞ ∞? ?∞ ∞? ? ?∞ ∞? ∞ ∞? ? ?? ? ?? ?= ∞= += ?? ? ?? ? ? ??=? 四、行波解 行波解也可令 做的特例可由相似的变化当这是 对于 ? ?? ? += = = ? ? ? ?= ? ? = )17.1()( )()13.1( )16.1()( )( atx yu uuG x uu xt u uuu n n xx n t z z [ ]{ } )18.1()()( : : 1 n n n Catxanuu Cnua d duuau ++==∴ += = z z z 再积分 积分一次 ?? ? ?? ?=→ = = zzz z z d duu d d d dua d duu d duau n x t )17.1(于是 则 五、端迹变换： )19.1( 0 0 4321 4321 ? ? ? ??? ? =??+??+??+?? =??+??+??+?? y Ev x Ev y Fv x Fv y Eu x Eu y Fu x Fu 的函数EFivu ii ,)4,3,2,1(, ?= 0),( ),( ≠?=??≡ yxyx FEEFyx EFJ若 端迹变换则可引入变换 )20.1(),( ),( ?? ? = = EFyy EFxx )21.1(01)20.1( ?? ? += +=→ xExF xExF EyFy ExFx dx d 由 相似解和行波解均可对许多方程进行尝试 ( ) 广义行波解 可尝试 对于如 ? ?? ? ++= = +=++ )()( )( )(21: 22 yhxgt fu uuuuu yyxxxxt z z l 待定 )22.1( )1),( ),((?? ? ??? ? ?=??=?= ==?= JEF yxjJyE Jyjyyxyx yF Fx E E FEEF E x 由此得 )22.1( )1),( ),((?? ? ??? ? ?=??=?= ==?= JEF yxjJyE Jyjyyxyx yF Fx E E FEEF E x 由此得 )23.1(:)20.1( ? ? ??? = ?= JxFE JxEF dy d y y类似的 )24.1( 0 0 :)19.1( 4321 4321 线性 代入 ? ??? ??? ? =??+???????? =??+???????? F xv F yv E xv E yv F xu F yu E xu E yu