§1.2Legendre多项式的性质 一、母函数关系式 q r l 04pe+ d ( )jq ,,rM () () 0 1 ,1 21-2 l ll Pxtt xtt ∞ = =<∑ + * ( ) () ( ) () , , n nn n wxtFxt wxtFx =∑注：若 的母函则称为 数 物理背景：设在单位球北极有电量为 041rpe <的正荷,在电则 ( )01uAr?=< ( ) ( ) ( ),urRrqq=Θ令 0u?=→则 ( )2 2-10rRrRllR′′′++= ( ) ( ) ( ) ( )21--210,cos,xyxyllyxyxqq′′′++===Θ???? u任一位足内点电满 ( ) ( )-1lllllRrcrdr +=+ ( ) ( )lyxPx= ( ) ()( ) 0 1:, lll l rurcrPxq ∞ = ∴<=∑** (这一结果后面例子要用) 又如图所示: 2111-2cosu d rrq== + ( ) ()( )2 0 1cos 1-2 l lllxcrPxBrxrq ∞ = =∴=∑ + Q 2 0 11, 1-2 l llxcrrr ∞ = ==∑ + 取 () 0 1 1 1- l ll crrr ∞ = =<∑ Q即 () ( )2 0 1 ,1 1-2 l ll Pxrrrxr ∞ = =<∑ + 于是 00 ,1,0,1,...llll ll rcrcl∞∞ == =≡=∑∑亦即 ()2 0 1:,1 1-2 l ll Pxttxtt ∞ = =<∑ + 更一般 (此式的成立与l的选取无关，即将l换成k或m仍成立。只要 k,m=0,1,2,…) 问：能否用其他方法证明此式? ()PxTl 答：上看此式右是左 的泰勒展，其中是展系 故 从数学边边 开数 () 210-1txx<±.求出左以中心的解析边为圆 () 212 1-2 T rtt+ .在此行展圆内将进 () ()3. Pxl求其展系，与已知的形式 照若一致即明 开数 对证 用途：可用它研究和导出 的其他 性质。称为母函数法。 ( )lPx 二、递推公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1-11.1-2101llllPxlxPxlPx++++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1-12.2 -2llllPxPxPx+′′+= 证明思路： ①.可用Legendre表达式证，比较繁琐 ②.可用母函数法，比较简便 证明：(1) ( ) () -1 3202 - 1-2 l ll xt Pxlt xtt ∞ = =∑ + ( )21-2xtt+都乘上两边 ，并再用(*) ( ) () ( ) ()2-1 00 -1-2ll ll xtPxtxttlPxt∞∞ == =+∑∑ d dt (*) () () 1 00 -llllxPxtPxt∞∞+ == =∑∑即: () () ()-11 000 -2lllllllPxtxlPxtlPxt∞∞∞+ === +∑∑∑ ()()() ()-11-1: 1-2-1l llllltxPxPxlPxlPlP+=++ ()()()()-11-210llllPlxPxlPx++++=即 问：如何证(2)？答： ( ) ()32021-2 l l t Pxt xtt ∞ = ′=∑ + d dt (*) () ( ) ()2 00 1-2lll ll tPxtxttPxtl∞∞ == ′=+∑∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1-1:-23l lllltPxPxxPxPx+ +′′′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11-21-21llllPxlPxlxPx+′′+++ ( ) ( )-1 04llPx′+= 由(4) () () 1-11---2121llllllxPxPxPP++′′′= ++ 代入(3)即证(2) ()1:ddx 用途:①可用低阶 ( ) ( )llPxPx求高阶 ( ) ( )011,PxPxx==如：已 算计 则取(1)中l=1有： ( ) ( ) ( )2102-30PxxPxPx+= () () () ( )2210113-3-122PxxPxPxx→==???? ②可用(2)计算含 ( )lpx的分积 () () ()1-11 -21bblll aa Pxd PxPxdxl +′′=??∫∫??+如： ( ) () ()1-1 1 - 21 b llaPxPxl += ????+ ( ) () () () ()1-11-1 1 -- 21 llllPbPbPaPal ++=++ 三、正交性： () () ()1 -1 2 ,,0,1,2,...5 21lkklPxPxd kll d==∫ + ( )01kl klkld ≠?=? =?其中 克克罗内 尔 思路 ②递推公式？不便？ ③Legendre方程√ ④用母函数关系式 ( ) ( )21--210xyxylly′′′++=→ ( ) ( )21-10d xyllydx ??′++=?? ①用表达式证()lpx ( ) () ( ) () ()21-106lldxPxllPxdx ??′++=??Q ()() ( ) () ()21-107kkdxPxkkPxdx ??′++=?? () ()() ()1 -1 6-7klPxPxdx??=∫ () () ( ) ( )1 1 1-1klPxPxdxkkll ? ?++=??∫ ?? ( ) () ()1 2 -1 1- lkdxPxPxdxdx ??′∫?? ()() ()1 2 -1 -1- kldxPxPxdxdx ??′∫?? ( ) () () ( ) () ()1122-1 -1 1--1-lklkxPxPxxPxPxdx′′′= ∫ ( )() () ( ) () ()11-1 -1 -1 1-klklxPxPxxPxPxdx′′+∫ 0= () ()1 -1 ,0lkklPxPxdx∴≠=∫当 当k=l,由(*): ( ) () ()2 00 1 1-2 lk llkPxtPxtk xtt ∞∞ == =?∑∑ + () ()112 00- 1 1-2 lk lklkdtPxPxdxtxtt ∞∞ + ==? =∑∑∫∫+ ()1 22 0-1 l lPxdxt ∞ = ∑∫ ()21 -1 1-2 1-2-2 dxtt xttt +=? ∫左边 ( )()21 -1 1112ln1-2ln -221- txtt tt +=+= 021 T l t∞ = ∑+ 展 ( )2lt对两边幂开数 有比左右同次展系 ()1 2 1 2 21lPxdx l? =∫ + ()21ll l NPxlN=→→+其中 模，一化因子归 () () () ()11,LlKk lk PxPxPxPxNN==若∵记 () ()1 -1 LKKLPxPxdx d=∫ 用途： 如同三角函数正交性 1 -1 coscos0,kxnxdxknllpp=≠∫ () () ()1199300 1 ?0PxPxdx ? =∫问 ()1 28 1 22? 28117Pxdx? ??==∫ ?? ×+?? () () ()189 1 ?0PxPxdx ? =∫ 对于含有 积分特别有用，而这是物理学(如电 动力学)中经常碰到的。 ()lpx 由(*)： () ( ) () ()1-11 21llllPxlPxxPx l+++= () () ()9789817PxPxxPx +∴= () () () ()118999 -1-1 1 9 17xPxPxdxPxPxdx ?→=∫∫ ?? () ()179 -1 8 PxPxdxs?+∫ ?? 92 17181=×+ 练习： () () 1 -1 ?lkxPxPxdx =∫推导 () ()12 -1 ?lkxPxPxdx =∫ 四、广义傅氏展开 () () () 0 8ll l fxCPx∞ = =∑ () () ()1 1 21 9 2llCfxPxdx? += ∫ 证明： () () () ()(8)11 0klkl fxPxdxCPxPxdxl∞ =?? ∑∫∫ () ()1 1 21 2kk kCfxPxdx ? +∴= ∫ 2 21kCk=?+ (*) 用途： ①在物理中常需将作为表征的物理量展开为级数 进行分析。 ②在求解数学物理方程时其解常是某函数的无穷 技术，如稳恒电场德阶就是Legendre级数。 例：求一表面充电至电位为 2(13cos)q+ 的单位空心球内任一点的电位。 解： 0,11ur?=< （） ( )21 13cosru q= =+ （2） 选极坐标用分离变量法求 ∵轴对称(m=0) ∴令u(r,θ)=R(r)Θ(θ) ( ) ( ) 0 ,coslll l urCrPqq∞ = →=∑则① ( ) ( )2 0 cos13cosll l CP qq∞ = =+∑ (见前) ②代入得： () ( )2 0 133ll l CPxx∞ = =+∑ （）即 故由(9)有： ( ) ()1 2 1 2113 2ll lCxPxdx ? +=+∫ ( )01 Px=又 () ( )222201 3-1322PxxxPP=→=+ (4) ( ) ()1 0 1 21 2ll lCPPxdx ? + ?∴= ∫ ?? () ()1120 -1-1 2 llPPxdxPPxdx?++∫∫?? ( ) () ()1120-1-121 lllPPxdxPPxdx??=++∫∫?? 故由正交性有： ( ) ( )1 200-12012CPxdx=×+=∫ ( ) ( )1 222-12212Pxdx=×+=∫ ( )00,2lCl≡≠ 这样做太烦，实际上由于展开唯一 由(3): () () () ()42 020 0 132ll l CPxxPxPxPx∞ = =+=++∑ （） 0222PP=+ ( )022,2,00,2lCCCl∴==≡≠ ( ) ( ) ( )02,2cos2cosurrPrPqqq=+而有从 ( )221223cos-12r q=+ 22223cos-rrq=+ 复习上次课 ( ) ( ) ( )0 uRru qj=ΘΦ?=???????????→令 ( ) ( ) ( )-12 2-10 llllrRrRllRRrcrdr +′′′++=→=+ ( )2 0cossinmmmmA m B m jjj′′Φ+Φ=→Φ=+ () () () 2 2 21--21-01- ? mxyxylly x yx ??′′′++= ???? = 一.母函数 (A) 二.递推公式 (B) 三.正交性 (C) 四.展开 (D) ( ) ( )( )0,cos,mxyxqq===Θ ( ) ( ) ( )21--210 lxyxyllyyPx′′′++=→= 1 ,xy =± →有限