第三篇
特殊方程
第一章勒让德多项式
由第二篇第三章分离变量法有
( ) ( ) ( )0 uRrnu q=ΘΦ?=??????→令
( ) ( )cos,xyxqq==Θ 令
( )2 0cossinmmmmnAmnBmn′′Φ+Φ=→Φ=+
() ()221 sin1-0?si sinddmllddqqqq??Θ??++Θ=→Θ=??????
??
-(1)2 2-(1)0() llr rrRRllRRrCede +′′′++=→=+
( ) ( ) ()22 21--21-0?1-mxyxyl yyxx??′′′++=→=????
0m=当 时
( ) ( )21--210xyxylly′′′++=
0?uu?=→=
本章将解决这一问题
中心：球坐标系中的特殊函数问题
目的：1.通过对Legendre方程的求解掌握
常微分方程的级数解法。
2.掌握Legendre多项式和缔合
Legendre多项式的性质。
3.在球坐标中Δu=0的解u=?
对于二阶线性常微分方程
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01WzpzWzqzWz′′′++=
( ) ( ) 0pzqzz若其系和均在某及其域解析,数点邻内
0z方程的常 。则称为 点
0zz= 0z-z<R在常的域 ,方程有唯一的点邻内
一足初始 件个满条
() ( ) ()0
0
-2kk
k
WzCzz∞
=
=∑
( ) ( )0001,WzCWzC′==的形式为
01CC的解。其中是任意常；而其它各幂级数和数
( )01 2CC次系与和的系，均由形式解代入幂数关将
( )1 ??过较两边幂数让方程中通比方程同次的系即左
( )0-zz ??的各次的系均零确定。边幂数为来
