函数
习题课
函 数
的定义
反函数 隐函数
反函数与直接
函数之间关系
基本初等函数
复合函数
初等函数
函 数
的性质
单值与多值
奇偶性
单调性
有界性
周期性 双曲函数与 反双曲函数
主要内容
典型例题
例 1,)16(lo g 2)1( 的定义域求函数 xy x ?? ?
解,016 2 ?? x
,01 ??x
,11 ??x
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
4
x
x
x
,4221 ???? xx 及
).4,2()2,1( ?即
1,已知,2)( xexf ? xxf ?? 1)]([? 且 0)( ?x?
求 )(x? 并写出它的定义域。
解：由 xe x ?? 12)]([?
,)1l n ()( xx ????
11,0)1l n ( ????? xx?
即 0?x 所以,)1l n ()( xx ???,0?x
例 2
?
?
?
?
??,)]([,
1
1
0
1)(.2 xff
x
xxf 求设
解：因为 0 ? f(x) ? 1,则 ? f (x) ? ? 1,故 f [f (x)]=1,
例 3
).(
.1,0,2)
1
()(
xf
xxx
x
x
fxf
求
其中设 ???
?
?
解 利用函数表示法的无关特性
,1xxt ??令,1 1 tx ??即 代入原方程得
,1 2)()1 1( ttftf ????,1
2)
1
1()(
xxfxf ????即
,11 1 uux ???令 1 1 ux ??即 代入上式得
,)1(2)1()1 1( uuuufuf ?????,
)1(2)1()
1
1(
x
x
x
xf
xf
????
?即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
f
x
f
xx
fxf
x
x
x
fxf
)1(2
)
1
()
1
1
(
1
2
)
1
1
()(
2)
1
()(
解联立方程组
.11 11)( ?????? xxxxf
1,函数 xxxy si nc o s ?? 是 （ ）
(A) 偶函数； (B) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数； (D) 奇偶函数,
2,函数 xxf
2
c o s1)(
?
?? 的最小正周期是 （ ）
(A) 2 ? ； (B) ? ；
(C) 4 ； ( D)
2
1
,
3,函数
2
1
)(
x
x
xf
?
? 在定义域内,为 （ ）
(A) 有上界无下界； ( B ) 有下界无上界；
(C) 有界，且 2
1
2
1
)( ??? xf；
( D ) 有界，且 2
1
2
2
?
?
??
x
x
,
B
C
C
一、填空
2, 1
2
)9
l g ()(
2
?
?
?
xx
x?,
三,设 132)1(
2
???? xxxg
（ 1 ） 试确定 cba,,的值使
cxbxaxg ?????? )1()1()1(
2；
（ 2 ） 求
)1( ?xg
的表达式,
四,求 xxxf s g n)1()(
2
?? 的反函数 )(
1
xf
?
.
二、求下列函数的定义域：;a r c t a n)12s i n (1 xxy ???、
二,1, );,( ???? 2, [4,5].
三,352)1(,0,1,2
2
??????? xxxgcba,
四、
?
?
?
?
?
?????
?
??
?
?
1,)1(
0,0
1,1
)(
1
xx
x
xx
xf
答案
五,
.)2( c o s,)(,1c o s)2( s i n.1 xfxfxxf 求设 ??
.)]([
,1,1
,1,1)(.2
2
2
xff
xx
xxxf 求
??
?
?
?
??
???
s i n)(.3 2 是否为周期函数xxf ?
4,判断函数的奇偶性,
1
1lg;0,
1
1
x
xya
a
ay
x
x
?
???
?
??
).(,
1
)() ] },([{)(.5 2 xf
x
xxfxfffxf
nn 求若设 ??? ?
.c o s);
3
3s i n (5;2;1)2l n (;
1
1
.6
2
xyxy
yxy
x
x
y
x
?
?
??
????
?
?
?
?
作函数的图形
函数极限
习题课
例 1,)s in1
ta n1(l im 31
0
x
x x
x
?
?
?
求
解 解法讨论
则设,)(lim,0)(lim ??? xgxf
)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf ???
)]()[(lim xfxge ??,)()(l i m xfxge ??
))(~)](1l n [,xfxf ??等价无穷小代换
典型例题
"1" ?
3
1
0
)]1
s i n1
t a n1(1[lim x
x x
x ?
?
???
?
原式
3
1
0
]
s i n1
s i nt a n1[l i m x
x x
xx
?
???
?
30
1
s in1
s inta nlim
xx
xx
x
?? ?
?
? 30 1c o s)s i n1( )c o s1(s i nlim xxx xxx ?? ?? ?
xxx
x
x
x
x c o s)s i n1(
1c o s1s i nlim
20 ??
???
? ??2
1
.21e?? 原式
例 2 ).(,1
)(
lim
,2
)(
lim,)(
0
2
3
xp
x
xp
x
xxp
xp
x
x
求
且是多项式设
?
?
?
?
??
解,2
)(lim
2
3
??
?? x
xxp
x
?
),(2)( 23 为待定系数其中可设 babaxxxxp ?????
,1)(li m
0
?
? x
xp
x
?又
)0(~2)( 23 ?????? xxbaxxxxp
.1,0 ?? ab从而得 xxxxp ??? 23 2)(故
例 3
.
1,
2
c o s
1,1
)( 的连续性讨论
??
?
?
?
?
??
?
x
x
xx
xf ?
解 改写成将 )( xf
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
???
?
1,1
11,
2
c o s
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
.),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然 ??????xf
,1时当 ??x
???? )(l i m1 xfx 2)1(lim 1 ????? xx
???? )(lim 1 xfx ???
?? 2
co slim
1
x
x,0
)(l i m)(l i m
11
xfxf
xx ?? ????
??
.1)( 间断在故 ??xxf
,1时当 ?x
??? )(l i m1 xfx ???? 2co slim1 xx,0
??? )(l i m1 xfx ???? )1(lim 1 xx,0
)1()(l i m)(l i m 11 fxfxf xx ?? ?? ???
.1)( 连续在故 ?xxf
.),1()1,()( 连续在 ??????? ?xf
例 4 ).()
2
1
(]1,0[
),1()0(,]1,0[)(
??? ff
ffxf
???
?
使得证明必有一点
且上连续在闭区间设
证明 ),()21()( xfxfxF ???令
.]21,0[)( 上连续在则 xF
),0()21()0( ffF ??? ),21()1()21( ffF ??
讨论,,0)0( ?F若,0??则 );0()210( ff ??
,0)21( ?F若,21??则 );21()2121( ff ??
则若,0)21(,0)0( ?? FF
?? )21()0( FF 2)]0()21([ ff ??,0?
由零点定理知,.0)(),21,0( ??? ?? F使
.)()21( 成立即 ?? ff ??
综上,],1,0[]21,0[ ???必有一点
.)()21( 成立使 ?? ff ??
）内是有界的。，在（证明例 ??????? 4
2
1
1)(5
x
xxf
011lim 42 ????? xxx?证：
时，当，对 XxX ?????,01?,111 4
2
??? xx
? ?内连续，，在又 XXxf ??)(
? ?),(11 042 XXxMxx ???????
?? 0,1m a x MM ?取 )),(()( ??????? xMxf则
例 6 设 f(x)在 (a,b)内连续,x1,x2,……x n是 (a,b)内任意值,
证明存在 ξ∈ (a,b)使
.)()()()( 21n nxfxfxff ????
?? np xxx ?,1m a x?证：设 ?? nq xx,m i n 1 ??
],[)( pq xxcxf ?则
。、上能达到最大、小值在 mMxxxf pq ],[)(
,)()( 1 MMxfxf n nn n ???又
.)()( 1 mmxfxf n nn n ???
.)()()(),,(),1n npq xfxffbaxx ?????? ?? 使（据推论
)(1l im
21
n
n
nn
n
eeen ???
??
?
n
n
n
n
n
n
n
e
ne
e
ee
n 11
1
1
1
lim)1(
1
)1(1
lim
?
??
?
?
?
????
解：原式
.1)1l n (l i m)1()1l n (l i m)1(
1
00
????????
??
eueu ue u
uu
xxx
x
x c o ss i n1
c o s1l i m
0 ??
?
?
)c o s1)(c o ss i n1(c o ss i n1
)c o ss i n1)(c o s1)(c o s1(
lim
0 xxxxxxx
xxxxx
x ?????
????
?
? ）（
解：原式
.3
1
s i n2
s i n2
2
1
lim
s i n
2
s i n2
2
lim
c o ss i n1
c o s1
lim
2
20
2
2
00
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
x
x
x
x
xx
x
x
xxx
x
x
xx
x
xx nn
x 2s i n
t a n1t a n1l i m 2
0
???
?
x
xx nn
x 2s i n
1t a n11t a n1lim 2
0
）（）（解：原式 ??????
?
x
xn
x 2s i n
1ta n1lim
0
）（ ???
? x
xn
x 2s i n
1t a n1l i m 2
0
）（ ???
?
x
x
n
x 2s i n
)t a n(1
l i m
0
?
?
? x
x
n
x 2s i n
t a n1
lim
2
0?
?,2
1
n??
xxx
x
1
)321(lim ?????
.3)1)32(3 1(3l i m
1
?????
???
xx
xx解：原式
.1)321(l i m
1
?????? xxxx
.,,0)21(l i m 3 32 babaxxxx 求已知 ????????
0)121(lim 3 3 ??????
??? x
ba
xxxx解：原式
,10)121(l i m 3 3 ????????
???
axbaxx
x
)21(l i m 3 32 xxxb x ???? ??? )1121(l i m 3 3 ???? ??? xxxx
)]21(31[lim 3 xxxx ?? ???,32?
的连续性，讨论
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
1
s i n
0,
s i n
)3(
2
x
x
x
x
x
xx
y 并指出间断点的类型。
)3(si n
)3(l i m
si n
)3(l i m
03 ?
???
??? ??
??
? ?x
xx
x
解：
?????
????
???
????
????
3)3(lim
s i n
)3(lim
00
为可去间断点。3?? x
,3s i n )3(l i m,01s i nl i m
020 ?
?????
???? x
xx
x
x
xx
.1,0 是无穷间断点为跳跃间断点 ?? xx
为无穷间断点。nx ?? ),3(
s i n
)3(lim ???
?
?
??
nxxx
nx
,1s i nlim 2
1
???
? x
x
x
?
?
?
???
???
?
?
?,
0,)1/()1(
0,s i n/)4(;
t a n
)1l n (
.;,.2
2
2
xxxx
xxxx
y
x
x
y
补充定义使之连续
对可去间断点并指出类型求函数的间断点
并指出间断点的类型。
的连续性，讨论
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
??
0,
)2)(1(
lim
0,
1
x
xx
x
xx
y
n
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
2,1
2
1
2
1
100
0
)(
xx
x
x
x
x
xx
xf解：
为第二类无穷间断点。为第一类间断点。 21 ?? xx
有处连续且对任意在设 ),(,0)( ?????? yxxxf
上连续。在试证,),()(),()()( ??????? xfyfxfyxf
),( ?????? x证：
)(lim)(
)]()([lim)(lim
0
00
xfxf
xfxfxxf
x
xx
???
?????
??
????
?
0)0()0()0()0( ???? ffff又
0)0()0(l i m)(l i m 00 ?????? ???? fxfxf xx
即),()(l i m 0 xfxxfx ???? ?? ）上连续。，在（ ????)( xf
使当则存在处连续且在设,0,0,0)()( 00 ??? ?kxfxxf
.0)(),( 00 ????? kxfxxx 时有??
分析,处连续，在 0)( xxf?
.)()(,0,0 00 ???? ???????? xfxfxx 时当即
kxfk ???,2/)( 0证：设
处连续，在 0)( xxf?
.0)()(
,,0,
0
0
?????
?????????
kxfxf
xxk 时当对
??
?
?
?
?
?
??
?;0,
0,
12s i n
)(
2
xa
x
x
ex
xf
ax
._ _ _ _?a上连续，，在 )( ???? 则 -2
一、填空、选择
1,；2) xA ；） xB c o s1 ? 。） 11 2 ?? xD ；） xxC s i nt a n ?
3,点 x=1是函数 的 _________。
(A)连续点,(B)可去间断点,(C)一类间断点,
(D)二类间断点,
x
x
e
xf
??
?
11
1)(
C
C
2,x?0时，下列四个无穷小量中哪一个是比其他三个
更高阶的无穷小量？ ________。
二、求函数的极限
.)1(l i m;))
1
1l n (1(l i m;
32
)1l n (
l i m
.
)1l n ()c o s1(
1
s i ns i n
l i m;
c o ss i n1
s i n
l i m.2
.t a nl i m;)31(l i m;
1ln
l i m;
11
l i m.1
2
2
2
0
2
0
2t a n
4/
2
1
00
xxx
x
x
x
e
xx
x
xx
xxx
x
x
x
ex
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xex
n
x
????
?
?
??
?
??
?
?
???
?????????
??
??
???
1/n； 1； e-3/2； e
12
1s i n
l i m
2
2
???? x
x
x
x
4/3； 1/2； 1/ ； 0 ;, 3 22
.,,0))(
1
1
(lim
.,4)(lim.3
2
的值求
的值求已知
babax
x
x
c
cx
cx
x
x
x
???
?
?
?
?
?
??
?? ln2； a=1,b=-1。
.)
1
2(lim;)
12
(lim,1
13
2
2
2
2
?
?
???? ?
?
?
? x x
x
x
x x
xx
x
xx思考
4,当 0?x 时,nn xxx 2c o s.,,,,,,,4c o s2c o sl i m ??,sinx/x
.2s i n2,nn x?分子、分母同乘提示
5,当 0?ia 时,f(x)= x xnxx aaa ??? ?21,求 ),(lim xfx ???
),(l i m xf
x ???
),(l i m
0
xf
x ??
),(lim
0
xf
x ??,
1,设有函数
?
?
?
???
?
?
1,1)1(
1,s i n
)(
xxa
xax
xf 试确定 a 的值使
)( xf 在 1?x 连续,2,讨论
x
x
x
xf
2
s i n
1
1
a r c ta n
)(
?
?? 的连续性，
并判断间断点的类型,
????? ka 22,k=0,1,2,.....,
0?x 可去间断点,1?x 跳跃间断点,
),2,1(2 ????? nnx 无穷间断点,
x 为其它实数时 )( xf 连续,
三、函数的连续与间断
四、闭区间上连续函数性质
.a)f()f(,
a][ 0,f ( 2a ),f ( 0),[ 0,2a ]f ( x)2.
.0
3
3
2
2
1
1
.1
?????
?
?
?
?
?
?
?
使得有一点
上至少则且上连续在
有两个实根试证方程
xxx
.
1
lim)(.4
2
的连续性讨论 nx
nx
n e
exxxf
?
??
??
.),(,
0,
0,0
0,
)(
2
上连续在 ????
??
?
?
?
?
?
?
?
xx
x
xx
xf
习题课
函 数
的定义
反函数 隐函数
反函数与直接
函数之间关系
基本初等函数
复合函数
初等函数
函 数
的性质
单值与多值
奇偶性
单调性
有界性
周期性 双曲函数与 反双曲函数
主要内容
典型例题
例 1,)16(lo g 2)1( 的定义域求函数 xy x ?? ?
解,016 2 ?? x
,01 ??x
,11 ??x
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
4
x
x
x
,4221 ???? xx 及
).4,2()2,1( ?即
1,已知,2)( xexf ? xxf ?? 1)]([? 且 0)( ?x?
求 )(x? 并写出它的定义域。
解：由 xe x ?? 12)]([?
,)1l n ()( xx ????
11,0)1l n ( ????? xx?
即 0?x 所以,)1l n ()( xx ???,0?x
例 2
?
?
?
?
??,)]([,
1
1
0
1)(.2 xff
x
xxf 求设
解：因为 0 ? f(x) ? 1,则 ? f (x) ? ? 1,故 f [f (x)]=1,
例 3
).(
.1,0,2)
1
()(
xf
xxx
x
x
fxf
求
其中设 ???
?
?
解 利用函数表示法的无关特性
,1xxt ??令,1 1 tx ??即 代入原方程得
,1 2)()1 1( ttftf ????,1
2)
1
1()(
xxfxf ????即
,11 1 uux ???令 1 1 ux ??即 代入上式得
,)1(2)1()1 1( uuuufuf ?????,
)1(2)1()
1
1(
x
x
x
xf
xf
????
?即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
f
x
f
xx
fxf
x
x
x
fxf
)1(2
)
1
()
1
1
(
1
2
)
1
1
()(
2)
1
()(
解联立方程组
.11 11)( ?????? xxxxf
1,函数 xxxy si nc o s ?? 是 （ ）
(A) 偶函数； (B) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数； (D) 奇偶函数,
2,函数 xxf
2
c o s1)(
?
?? 的最小正周期是 （ ）
(A) 2 ? ； (B) ? ；
(C) 4 ； ( D)
2
1
,
3,函数
2
1
)(
x
x
xf
?
? 在定义域内,为 （ ）
(A) 有上界无下界； ( B ) 有下界无上界；
(C) 有界，且 2
1
2
1
)( ??? xf；
( D ) 有界，且 2
1
2
2
?
?
??
x
x
,
B
C
C
一、填空
2, 1
2
)9
l g ()(
2
?
?
?
xx
x?,
三,设 132)1(
2
???? xxxg
（ 1 ） 试确定 cba,,的值使
cxbxaxg ?????? )1()1()1(
2；
（ 2 ） 求
)1( ?xg
的表达式,
四,求 xxxf s g n)1()(
2
?? 的反函数 )(
1
xf
?
.
二、求下列函数的定义域：;a r c t a n)12s i n (1 xxy ???、
二,1, );,( ???? 2, [4,5].
三,352)1(,0,1,2
2
??????? xxxgcba,
四、
?
?
?
?
?
?????
?
??
?
?
1,)1(
0,0
1,1
)(
1
xx
x
xx
xf
答案
五,
.)2( c o s,)(,1c o s)2( s i n.1 xfxfxxf 求设 ??
.)]([
,1,1
,1,1)(.2
2
2
xff
xx
xxxf 求
??
?
?
?
??
???
s i n)(.3 2 是否为周期函数xxf ?
4,判断函数的奇偶性,
1
1lg;0,
1
1
x
xya
a
ay
x
x
?
???
?
??
).(,
1
)() ] },([{)(.5 2 xf
x
xxfxfffxf
nn 求若设 ??? ?
.c o s);
3
3s i n (5;2;1)2l n (;
1
1
.6
2
xyxy
yxy
x
x
y
x
?
?
??
????
?
?
?
?
作函数的图形
函数极限
习题课
例 1,)s in1
ta n1(l im 31
0
x
x x
x
?
?
?
求
解 解法讨论
则设,)(lim,0)(lim ??? xgxf
)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf ???
)]()[(lim xfxge ??,)()(l i m xfxge ??
))(~)](1l n [,xfxf ??等价无穷小代换
典型例题
"1" ?
3
1
0
)]1
s i n1
t a n1(1[lim x
x x
x ?
?
???
?
原式
3
1
0
]
s i n1
s i nt a n1[l i m x
x x
xx
?
???
?
30
1
s in1
s inta nlim
xx
xx
x
?? ?
?
? 30 1c o s)s i n1( )c o s1(s i nlim xxx xxx ?? ?? ?
xxx
x
x
x
x c o s)s i n1(
1c o s1s i nlim
20 ??
???
? ??2
1
.21e?? 原式
例 2 ).(,1
)(
lim
,2
)(
lim,)(
0
2
3
xp
x
xp
x
xxp
xp
x
x
求
且是多项式设
?
?
?
?
??
解,2
)(lim
2
3
??
?? x
xxp
x
?
),(2)( 23 为待定系数其中可设 babaxxxxp ?????
,1)(li m
0
?
? x
xp
x
?又
)0(~2)( 23 ?????? xxbaxxxxp
.1,0 ?? ab从而得 xxxxp ??? 23 2)(故
例 3
.
1,
2
c o s
1,1
)( 的连续性讨论
??
?
?
?
?
??
?
x
x
xx
xf ?
解 改写成将 )( xf
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
???
?
1,1
11,
2
c o s
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
.),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然 ??????xf
,1时当 ??x
???? )(l i m1 xfx 2)1(lim 1 ????? xx
???? )(lim 1 xfx ???
?? 2
co slim
1
x
x,0
)(l i m)(l i m
11
xfxf
xx ?? ????
??
.1)( 间断在故 ??xxf
,1时当 ?x
??? )(l i m1 xfx ???? 2co slim1 xx,0
??? )(l i m1 xfx ???? )1(lim 1 xx,0
)1()(l i m)(l i m 11 fxfxf xx ?? ?? ???
.1)( 连续在故 ?xxf
.),1()1,()( 连续在 ??????? ?xf
例 4 ).()
2
1
(]1,0[
),1()0(,]1,0[)(
??? ff
ffxf
???
?
使得证明必有一点
且上连续在闭区间设
证明 ),()21()( xfxfxF ???令
.]21,0[)( 上连续在则 xF
),0()21()0( ffF ??? ),21()1()21( ffF ??
讨论,,0)0( ?F若,0??则 );0()210( ff ??
,0)21( ?F若,21??则 );21()2121( ff ??
则若,0)21(,0)0( ?? FF
?? )21()0( FF 2)]0()21([ ff ??,0?
由零点定理知,.0)(),21,0( ??? ?? F使
.)()21( 成立即 ?? ff ??
综上,],1,0[]21,0[ ???必有一点
.)()21( 成立使 ?? ff ??
）内是有界的。，在（证明例 ??????? 4
2
1
1)(5
x
xxf
011lim 42 ????? xxx?证：
时，当，对 XxX ?????,01?,111 4
2
??? xx
? ?内连续，，在又 XXxf ??)(
? ?),(11 042 XXxMxx ???????
?? 0,1m a x MM ?取 )),(()( ??????? xMxf则
例 6 设 f(x)在 (a,b)内连续,x1,x2,……x n是 (a,b)内任意值,
证明存在 ξ∈ (a,b)使
.)()()()( 21n nxfxfxff ????
?? np xxx ?,1m a x?证：设 ?? nq xx,m i n 1 ??
],[)( pq xxcxf ?则
。、上能达到最大、小值在 mMxxxf pq ],[)(
,)()( 1 MMxfxf n nn n ???又
.)()( 1 mmxfxf n nn n ???
.)()()(),,(),1n npq xfxffbaxx ?????? ?? 使（据推论
)(1l im
21
n
n
nn
n
eeen ???
??
?
n
n
n
n
n
n
n
e
ne
e
ee
n 11
1
1
1
lim)1(
1
)1(1
lim
?
??
?
?
?
????
解：原式
.1)1l n (l i m)1()1l n (l i m)1(
1
00
????????
??
eueu ue u
uu
xxx
x
x c o ss i n1
c o s1l i m
0 ??
?
?
)c o s1)(c o ss i n1(c o ss i n1
)c o ss i n1)(c o s1)(c o s1(
lim
0 xxxxxxx
xxxxx
x ?????
????
?
? ）（
解：原式
.3
1
s i n2
s i n2
2
1
lim
s i n
2
s i n2
2
lim
c o ss i n1
c o s1
lim
2
20
2
2
00
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
x
x
x
x
xx
x
x
xxx
x
x
xx
x
xx nn
x 2s i n
t a n1t a n1l i m 2
0
???
?
x
xx nn
x 2s i n
1t a n11t a n1lim 2
0
）（）（解：原式 ??????
?
x
xn
x 2s i n
1ta n1lim
0
）（ ???
? x
xn
x 2s i n
1t a n1l i m 2
0
）（ ???
?
x
x
n
x 2s i n
)t a n(1
l i m
0
?
?
? x
x
n
x 2s i n
t a n1
lim
2
0?
?,2
1
n??
xxx
x
1
)321(lim ?????
.3)1)32(3 1(3l i m
1
?????
???
xx
xx解：原式
.1)321(l i m
1
?????? xxxx
.,,0)21(l i m 3 32 babaxxxx 求已知 ????????
0)121(lim 3 3 ??????
??? x
ba
xxxx解：原式
,10)121(l i m 3 3 ????????
???
axbaxx
x
)21(l i m 3 32 xxxb x ???? ??? )1121(l i m 3 3 ???? ??? xxxx
)]21(31[lim 3 xxxx ?? ???,32?
的连续性，讨论
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
1
s i n
0,
s i n
)3(
2
x
x
x
x
x
xx
y 并指出间断点的类型。
)3(si n
)3(l i m
si n
)3(l i m
03 ?
???
??? ??
??
? ?x
xx
x
解：
?????
????
???
????
????
3)3(lim
s i n
)3(lim
00
为可去间断点。3?? x
,3s i n )3(l i m,01s i nl i m
020 ?
?????
???? x
xx
x
x
xx
.1,0 是无穷间断点为跳跃间断点 ?? xx
为无穷间断点。nx ?? ),3(
s i n
)3(lim ???
?
?
??
nxxx
nx
,1s i nlim 2
1
???
? x
x
x
?
?
?
???
???
?
?
?,
0,)1/()1(
0,s i n/)4(;
t a n
)1l n (
.;,.2
2
2
xxxx
xxxx
y
x
x
y
补充定义使之连续
对可去间断点并指出类型求函数的间断点
并指出间断点的类型。
的连续性，讨论
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
??
0,
)2)(1(
lim
0,
1
x
xx
x
xx
y
n
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
2,1
2
1
2
1
100
0
)(
xx
x
x
x
x
xx
xf解：
为第二类无穷间断点。为第一类间断点。 21 ?? xx
有处连续且对任意在设 ),(,0)( ?????? yxxxf
上连续。在试证,),()(),()()( ??????? xfyfxfyxf
),( ?????? x证：
)(lim)(
)]()([lim)(lim
0
00
xfxf
xfxfxxf
x
xx
???
?????
??
????
?
0)0()0()0()0( ???? ffff又
0)0()0(l i m)(l i m 00 ?????? ???? fxfxf xx
即),()(l i m 0 xfxxfx ???? ?? ）上连续。，在（ ????)( xf
使当则存在处连续且在设,0,0,0)()( 00 ??? ?kxfxxf
.0)(),( 00 ????? kxfxxx 时有??
分析,处连续，在 0)( xxf?
.)()(,0,0 00 ???? ???????? xfxfxx 时当即
kxfk ???,2/)( 0证：设
处连续，在 0)( xxf?
.0)()(
,,0,
0
0
?????
?????????
kxfxf
xxk 时当对
??
?
?
?
?
?
??
?;0,
0,
12s i n
)(
2
xa
x
x
ex
xf
ax
._ _ _ _?a上连续，，在 )( ???? 则 -2
一、填空、选择
1,；2) xA ；） xB c o s1 ? 。） 11 2 ?? xD ；） xxC s i nt a n ?
3,点 x=1是函数 的 _________。
(A)连续点,(B)可去间断点,(C)一类间断点,
(D)二类间断点,
x
x
e
xf
??
?
11
1)(
C
C
2,x?0时，下列四个无穷小量中哪一个是比其他三个
更高阶的无穷小量？ ________。
二、求函数的极限
.)1(l i m;))
1
1l n (1(l i m;
32
)1l n (
l i m
.
)1l n ()c o s1(
1
s i ns i n
l i m;
c o ss i n1
s i n
l i m.2
.t a nl i m;)31(l i m;
1ln
l i m;
11
l i m.1
2
2
2
0
2
0
2t a n
4/
2
1
00
xxx
x
x
x
e
xx
x
xx
xxx
x
x
x
ex
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xex
n
x
????
?
?
??
?
??
?
?
???
?????????
??
??
???
1/n； 1； e-3/2； e
12
1s i n
l i m
2
2
???? x
x
x
x
4/3； 1/2； 1/ ； 0 ;, 3 22
.,,0))(
1
1
(lim
.,4)(lim.3
2
的值求
的值求已知
babax
x
x
c
cx
cx
x
x
x
???
?
?
?
?
?
??
?? ln2； a=1,b=-1。
.)
1
2(lim;)
12
(lim,1
13
2
2
2
2
?
?
???? ?
?
?
? x x
x
x
x x
xx
x
xx思考
4,当 0?x 时,nn xxx 2c o s.,,,,,,,4c o s2c o sl i m ??,sinx/x
.2s i n2,nn x?分子、分母同乘提示
5,当 0?ia 时,f(x)= x xnxx aaa ??? ?21,求 ),(lim xfx ???
),(l i m xf
x ???
),(l i m
0
xf
x ??
),(lim
0
xf
x ??,
1,设有函数
?
?
?
???
?
?
1,1)1(
1,s i n
)(
xxa
xax
xf 试确定 a 的值使
)( xf 在 1?x 连续,2,讨论
x
x
x
xf
2
s i n
1
1
a r c ta n
)(
?
?? 的连续性，
并判断间断点的类型,
????? ka 22,k=0,1,2,.....,
0?x 可去间断点,1?x 跳跃间断点,
),2,1(2 ????? nnx 无穷间断点,
x 为其它实数时 )( xf 连续,
三、函数的连续与间断
四、闭区间上连续函数性质
.a)f()f(,
a][ 0,f ( 2a ),f ( 0),[ 0,2a ]f ( x)2.
.0
3
3
2
2
1
1
.1
?????
?
?
?
?
?
?
?
使得有一点
上至少则且上连续在
有两个实根试证方程
xxx
.
1
lim)(.4
2
的连续性讨论 nx
nx
n e
exxxf
?
??
??
.),(,
0,
0,0
0,
)(
2
上连续在 ????
??
?
?
?
?
?
?
?
xx
x
xx
xf
