1
习题课
导数与微分
2
求 导 法 则
基本公式 导 数
x
y
x ?
?
?? 0
lim 微 分
xydy ???
关
系
)( xodyydxydyydxdy ??????????
高阶导数
高阶微分
一、主要内容
3
二、典型例题
例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
?
????
求
设 ?
解 0 )0()(lim)0(
0 ?
???
? x
fxff
x
)1 0 0()2)(1(lim 0 ???? ? xxxx ?!100?
或：设 f(x)=xg(x),g(x)=(x-1)(x-2)?(x-100),
则 f ?(x)=g(x)+xg?(x),f ?(0)=g(0)+0=100！。
4
例 2
.
,
11
11
ln
4
1
1a r c ta n
2
1
2
2
2
y
x
x
xy
?
??
??
???
求
设
解,1 2xu ??设,1
1ln
4
1a r c ta n
2
1
?
???
u
uuy则
)1111(41)1(2 1 2 ??????? uuuy u? 41 1u??,2 1 42 xx ??
)1( 2 ???? xu x,1 2xx??
.1)2( 1 23 xxxy x ??????
5
例 3
.)0(,)0(,)0(
,
0,)1l n (
0,s i n
)(
是否存在问
设
fff
xx
xx
xf
???
?
?
?
??
?
?
??
解
1s inlim)0()0(lim)0(
00
?????? ??
??? x
x
x
fxff
xx
1)1ln(lim)0()0(lim)0(
00
??????? ??
??? x
x
x
fxff
xx
.1)0(,1)0()0( ??????? ?? fff
6
.,
)0,0()(
2
2
dx
yd
yxxyxfy
yx
求所确定
由方程设函数 ????
例 4
解 两边取对数,ln1ln1 xyyx ?,lnln xxyy ?即
,1ln)ln1( ????? xyy,ln1 1ln yxy ? ???
2)ln1(
1)1( l n)1( l n1
y
y
y
xy
xy
?
?????
???
3
22
)1( l n
)1( l n)1( l n
?
????
yxy
xxyy
7
.,
,
a r c t a n
1ln
2
2
2
dx
yd
dx
dy
ty
tx
导数
数的求有参数方程所确定函设
??
?
?
?
?
??
例 5
解
t
t
t
t
t
t
dx
dy 1
1
1
1
)1( l n
)( a r c t a n
2
2
2
?
?
??
??
?
?
2
2
22
2 1
)1( ln
)
1
(
)
1
(
t
t
t
t
tdx
d
dx
yd ?
??
??
?
??
8
.,)(s i n c o s yxxy x ?? 求设例 6
解 )( l n ??? yyy
)s i nlnc o s( l n ??? xxxy
)s i nc o ss i nlns i n1()( s i n
2
c o s
x
xxx
xxx
x ????
9
.,114 )(2
2
ny
x
xy 求设
?
??
例 7
解 1
344
1
14
2
2
2
2
?
???
?
??
x
x
x
xy )
1
1
1
1(
2
34
????? xx
,)1( !)1()11( 1)( ????? n
n
n
x
n
x?,)1(
!)1()
1
1(
1
)(
??
??
? n
n
n
x
n
x
].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( ?? ?????? nnnn xxny
10
课堂练习
一、求下列函数的导数 y?
x
xx
x
y
eey
xy
x
xy
3
c os
.4
)1l n (.3
)ar c s i n ( s i n.2
)1
1
)(1(.1
2
?
???
?
???
xaa
aax
axay
xxy
x
x
xx
y
xa
x
y
???
??
??
?
?
??
?
?
.8
)( a r c c o s)(c o t.7
1ln
1
a r c s i n
.6
)13(
1
.5
222
2
2
22
5
.lnln;
1
a r c c o s2
c s cc o t4;
)1(
a r c s i n;
)13(
15
211
2
222
32226
xaa
axaaxa
aaaxaaxaa
x
x
xxx
x
x
xa
x
x
???????
?
???
??
?
?
?
??
11
二、求下列函数的二阶导数
.,.4
.,.3
.,)(.2
.,)
1
(.1
2
2
a r c t a n
22
)(
dx
yd
eyx
dx
dy
exy
dx
dy
eefy
dx
dy
x
x
y
x
y
yx
xfx
x
求
求
求
求
??
?
??
?
?
?
2
2
1
.2;lnc o s.1
x
xyxxy
?
???
三、计算
见总习题二,
.
)(
)(2;
)()()(
]
1
1
1
[ l n)
1
(
3
22
)()(
yx
yx
xxy
xyy
xfeefeefe
xx
x
x
x
xfxxfxx
x
?
?
?
?
?????
?
?
??
12
四、计算 n阶导数
.s i n.2;11.1 2 xyxxy ????
五,
0
2
22
,
01s i n
323)(
??
?
?
???
????
t
y dx
yd
yte
ttxxfy 求确定由方程组设函数
六、证明星形线 上任一点的切线介于
两坐标轴之间的一段等于定长 a。
3
2
3
2
3
2
ayx ??
.)22c o s (2;)1( !2 11 ???? ? ?? nxx n nn
ee 432
2
?
13
已知 f(x) 在 x=1处可导，试确定 a,b 的值,
?
?
?
??
?
?
??
?
??
1.,;1,
1
2
)(
2
xbax
x
xxf
当
当
设七,;1
1
)(
lim
1
)1()(
lim
1
1
)1/()1(
lim
1
1)1/(2
lim
1
)1()(
lim
11
22
1
2
11
???
?
?
???
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
??
???
??
???
a
a
x
babax
x
fxf
x
xx
x
x
x
fxf
xx
xxx
?
.2
lim,1
1
2lim
121
??
????
? ?? ??
b
babax
x xx
?又
14
,1)0(),()()(),,(,
)()(
?????????
????
fyfxfyxfyx
xf
且有
上的非零函数，对任意，是已知
。可导，并求证明 )()( xfxf
x
xfxfxf
x
xfxxf
xf
x
x
?
??
?
?
???
??
??
??
)()()(
lim
)()(
lim)(
0
0
解：
)()0()()0()(l i m)( 0 xffxfx fxfxf x ???? ??? ??
xCexfxfxf ???? )()()(:即
2.69
15
)1()()22()( 22 yyxfyyxyxfy ?????????????解：
)]0(1)[2()]0(40)[4()0( yfyfy ??????????
7
1)0( ???? y
2.68(7)
).0(,1)4(,
2
1
)2(,)(,2)0(
,)()( 22
yffxfy
yxfyxfy
??????
????
求可导
确定设函数由方程
16
2.74
dt
dye
dte
dy
de
dy
dx
dy t
tt
????
t
ttt
e
dt
yd
e
dt
dy
e
dx
dt
dy
ed
dx
yd 2
2
2
2 )(
??? ??
??
dx
dyx
dx
ydx 4
2
2
2 ?
t
tt
t
e
dt
yd
e
dt
dy
e
e
2
2
2
?? ??
?
dt
dyee tt ?? 4 te
dt
dy
dt
yd 2
2
2
35 ???
.
34,2
2
2
2
的导数方程关于
化为将方程令
ty
x
dx
dy
x
dx
yd
xex t ???
则令,tex ?
解
17
一,选择题：
1,函数 )( xf 在点
0
x 的导数 )(
0
xf ? 定义为 （ ）
（ A ）
x
xfxxf
?
??? )()(
00；
（ B ）
x
xfxxf
xx
?
???
?
)()(
l i m
00
0；
（ C ）
x
xfxf
xx
?
?
?
)()(
lim
0
0；
（ D ）
0
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
xx
?
?
?；
2,若函数
)( xfy ?
在点 0
x
处的导数
0)(
0
?? xf
，则
曲线
)( xfy ?
在点 (
)(,
00
xfx
) 处的法线 （ ）
（ A ）与
x
轴相平行； （ B ）与
x
轴垂直；
（ C ）与 y 轴相垂直； （ D ）与
x
轴即不平行也不垂直：
测 验 题
18
3,若函数 )( xf 在点
0
x 不连续，则 )( xf 在
0
x ( )
（ A ）必不可导； （ B ）必定可导；
（ C ）不一定可导； （ D ）必无定义,
4,如果
)( xf
= （ ），那么 0)( ?
? xf
.
(A) xx a r c c o s2a r c si n ? ；
(B)
xx
22
t a nse c ?；
(C) )1(c o ss i n
22
xx ?? ；
(D)
?xa r c t a n
a r c
xc o t
.
5,如果
?
?
?
??
?
?
0),1(
0,
)(
2
xxb
xe
xf
ax
处处可导，那末 （ ）
（ A ）
1?? ba； （ B ）
1,2 ???? ba；
（ C ）
0,1 ?? ba； （ D ）
1,0 ?? ba
.
19
6,已知函数 )( xf 具有任意阶导数，且
? ?
2
)()( xfxf ??,则当 n 为大于 2 的正整数时，
)( xf 的 n 阶导数 )(
)(
xf
n
是 （ ）
（ A ）
1
)](]([ ； （ D ）
n
xfn
2
)](![,
7,若函数
)( txx ?
,
)( tyy ?
对
t
可导且
0)( ?? tx
,又
)( txx ?
的反函数存在且可导，则
dx
dy
= （ ）
（ A ）
)(
)(
tx
ty ?； （ B ）
)(
)(
tx
ty
?
?
? ；
（ C ）
)(
)(
tx
ty
?
?； （ D ）
)(
)(
tx
ty
?
.
20
8,若函数 )( xf 为可微函数，则 dy （ ）
（ A ）与 x? 无关；
（ B ）为 x? 的线性函数；
（ C ）当 0?? x 时为 x? 的高阶无穷小；
（ D ）与 x? 为等价无穷小,
9,设函数 )( xfy ? 在点
0
x
处可导，当自变量 x 由 0x 增
加到
xx ??
0 时，记 y? 为 )( xf 的增量,dy 为 )( xf 的
微分，
x
dyy
x
?
??
?? 0
lim 等于 （ ）
（ A ） -1 ； （ B ） 0 ；
（ C ） 1 ； （ D ）
?
.
21
10,设函数 )( xfy ? 在点 0x 处可导，且 0)( 0 ?? xf,
则
x
dyy
x ?
??
?? 0
lim 等于 （ ）,
（ A ） 0 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 1 ； （ D ） ?,
二、求下列函数的导数：
1,
2
lns i n xxy ? ； 2,
x
ay
c o s h
? （ 0?a ）；
3,
x
xy
s e c2
)1( ?? ； 4, )]310l n [c o s (
2
xy ?? ；
5,设 y 为 x 的函数是由方程
x
y
yx a r c ta nln
22
?? 确
定的；
6,设 yyx ??
2
，
2
3
2
)( xxu ??,求
du
dy
.
22
三、证明 tex
t
si n?, tey
t
c o s? 满足方程
)(2)(
2
2
2
y
dx
dy
x
dx
yd
yx ???,
四、已知
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,
c o s)(
)(
xa
x
x
xxg
xf 其中
)( xg
有二阶连
续导数，且
1)0( ?g
，
1,确定
a
的值，使
)( xf
在
0?x
点连续；
2,求
)( xf ?
五、设
,ln xxy ?
求 )1(
)( n
f,
六、计算
3
02.9
的近似值,
23
七、一人走过一桥之速率为 4 公里 / 小时，同时一船在
此人底下以 8 公里 / 小时之速率划过，此桥比船高
200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
24
一,1, D ； 2, B ； 3, A ； 4, D ； 5, D ；
6, A ； 7, C ； 8, B ； 9, B ； 10, A ；
二,1,
x
x
xx
s i n2
lnc o s
2
? ；
2,
x
xaa
c o s h
si n hln；
3, x
x
x
xxx
x
s e c]
1
2
)1l n ([t a n)1(
2
2s e c2
?
??? ；
4, )310ta n (6
2
xx ? ；
5,
yx
yx
?
?；
6,
xxxy ???
2
)12)(12(3
1
.
测验题答案
25
四,1, )0(ga ?? ；
2,
?
?
?
?
?
?
?
????
?
????
??
0),1)0((
2
1
0,
]c o s)([]s i n)([
)(
2
xg
x
x
xxgxxgx
xf,
五,)!2()1()1(
2)(
???
?
nf
nn
.
六,2.09.
七,16.8
6
20
? ( 公里 / 小时 ).
习题课
导数与微分
2
求 导 法 则
基本公式 导 数
x
y
x ?
?
?? 0
lim 微 分
xydy ???
关
系
)( xodyydxydyydxdy ??????????
高阶导数
高阶微分
一、主要内容
3
二、典型例题
例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
?
????
求
设 ?
解 0 )0()(lim)0(
0 ?
???
? x
fxff
x
)1 0 0()2)(1(lim 0 ???? ? xxxx ?!100?
或：设 f(x)=xg(x),g(x)=(x-1)(x-2)?(x-100),
则 f ?(x)=g(x)+xg?(x),f ?(0)=g(0)+0=100！。
4
例 2
.
,
11
11
ln
4
1
1a r c ta n
2
1
2
2
2
y
x
x
xy
?
??
??
???
求
设
解,1 2xu ??设,1
1ln
4
1a r c ta n
2
1
?
???
u
uuy则
)1111(41)1(2 1 2 ??????? uuuy u? 41 1u??,2 1 42 xx ??
)1( 2 ???? xu x,1 2xx??
.1)2( 1 23 xxxy x ??????
5
例 3
.)0(,)0(,)0(
,
0,)1l n (
0,s i n
)(
是否存在问
设
fff
xx
xx
xf
???
?
?
?
??
?
?
??
解
1s inlim)0()0(lim)0(
00
?????? ??
??? x
x
x
fxff
xx
1)1ln(lim)0()0(lim)0(
00
??????? ??
??? x
x
x
fxff
xx
.1)0(,1)0()0( ??????? ?? fff
6
.,
)0,0()(
2
2
dx
yd
yxxyxfy
yx
求所确定
由方程设函数 ????
例 4
解 两边取对数,ln1ln1 xyyx ?,lnln xxyy ?即
,1ln)ln1( ????? xyy,ln1 1ln yxy ? ???
2)ln1(
1)1( l n)1( l n1
y
y
y
xy
xy
?
?????
???
3
22
)1( l n
)1( l n)1( l n
?
????
yxy
xxyy
7
.,
,
a r c t a n
1ln
2
2
2
dx
yd
dx
dy
ty
tx
导数
数的求有参数方程所确定函设
??
?
?
?
?
??
例 5
解
t
t
t
t
t
t
dx
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1
1
1
)1( l n
)( a r c t a n
2
2
2
?
?
??
??
?
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2
2
22
2 1
)1( ln
)
1
(
)
1
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t
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t
t
tdx
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dx
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??
??
?
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8
.,)(s i n c o s yxxy x ?? 求设例 6
解 )( l n ??? yyy
)s i nlnc o s( l n ??? xxxy
)s i nc o ss i nlns i n1()( s i n
2
c o s
x
xxx
xxx
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9
.,114 )(2
2
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x
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?
??
例 7
解 1
344
1
14
2
2
2
2
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1
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2
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,)1( !)1()11( 1)( ????? n
n
n
x
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!)1()
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1
)(
??
??
? n
n
n
x
n
x
].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( ?? ?????? nnnn xxny
10
课堂练习
一、求下列函数的导数 y?
x
xx
x
y
eey
xy
x
xy
3
c os
.4
)1l n (.3
)ar c s i n ( s i n.2
)1
1
)(1(.1
2
?
???
?
???
xaa
aax
axay
xxy
x
x
xx
y
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x
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?
?
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)( a r c c o s)(c o t.7
1ln
1
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1
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2
2
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1
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c s cc o t4;
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)13(
15
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2
222
32226
xaa
axaaxa
aaaxaaxaa
x
x
xxx
x
x
xa
x
x
???????
?
???
??
?
?
?
??
11
二、求下列函数的二阶导数
.,.4
.,.3
.,)(.2
.,)
1
(.1
2
2
a r c t a n
22
)(
dx
yd
eyx
dx
dy
exy
dx
dy
eefy
dx
dy
x
x
y
x
y
yx
xfx
x
求
求
求
求
??
?
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?
?
?
2
2
1
.2;lnc o s.1
x
xyxxy
?
???
三、计算
见总习题二,
.
)(
)(2;
)()()(
]
1
1
1
[ l n)
1
(
3
22
)()(
yx
yx
xxy
xyy
xfeefeefe
xx
x
x
x
xfxxfxx
x
?
?
?
?
?????
?
?
??
12
四、计算 n阶导数
.s i n.2;11.1 2 xyxxy ????
五,
0
2
22
,
01s i n
323)(
??
?
?
???
????
t
y dx
yd
yte
ttxxfy 求确定由方程组设函数
六、证明星形线 上任一点的切线介于
两坐标轴之间的一段等于定长 a。
3
2
3
2
3
2
ayx ??
.)22c o s (2;)1( !2 11 ???? ? ?? nxx n nn
ee 432
2
?
13
已知 f(x) 在 x=1处可导，试确定 a,b 的值,
?
?
?
??
?
?
??
?
??
1.,;1,
1
2
)(
2
xbax
x
xxf
当
当
设七,;1
1
)(
lim
1
)1()(
lim
1
1
)1/()1(
lim
1
1)1/(2
lim
1
)1()(
lim
11
22
1
2
11
???
?
?
???
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
??
???
??
???
a
a
x
babax
x
fxf
x
xx
x
x
x
fxf
xx
xxx
?
.2
lim,1
1
2lim
121
??
????
? ?? ??
b
babax
x xx
?又
14
,1)0(),()()(),,(,
)()(
?????????
????
fyfxfyxfyx
xf
且有
上的非零函数，对任意，是已知
。可导，并求证明 )()( xfxf
x
xfxfxf
x
xfxxf
xf
x
x
?
??
?
?
???
??
??
??
)()()(
lim
)()(
lim)(
0
0
解：
)()0()()0()(l i m)( 0 xffxfx fxfxf x ???? ??? ??
xCexfxfxf ???? )()()(:即
2.69
15
)1()()22()( 22 yyxfyyxyxfy ?????????????解：
)]0(1)[2()]0(40)[4()0( yfyfy ??????????
7
1)0( ???? y
2.68(7)
).0(,1)4(,
2
1
)2(,)(,2)0(
,)()( 22
yffxfy
yxfyxfy
??????
????
求可导
确定设函数由方程
16
2.74
dt
dye
dte
dy
de
dy
dx
dy t
tt
????
t
ttt
e
dt
yd
e
dt
dy
e
dx
dt
dy
ed
dx
yd 2
2
2
2 )(
??? ??
??
dx
dyx
dx
ydx 4
2
2
2 ?
t
tt
t
e
dt
yd
e
dt
dy
e
e
2
2
2
?? ??
?
dt
dyee tt ?? 4 te
dt
dy
dt
yd 2
2
2
35 ???
.
34,2
2
2
2
的导数方程关于
化为将方程令
ty
x
dx
dy
x
dx
yd
xex t ???
则令,tex ?
解
17
一,选择题：
1,函数 )( xf 在点
0
x 的导数 )(
0
xf ? 定义为 （ ）
（ A ）
x
xfxxf
?
??? )()(
00；
（ B ）
x
xfxxf
xx
?
???
?
)()(
l i m
00
0；
（ C ）
x
xfxf
xx
?
?
?
)()(
lim
0
0；
（ D ）
0
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
xx
?
?
?；
2,若函数
)( xfy ?
在点 0
x
处的导数
0)(
0
?? xf
，则
曲线
)( xfy ?
在点 (
)(,
00
xfx
) 处的法线 （ ）
（ A ）与
x
轴相平行； （ B ）与
x
轴垂直；
（ C ）与 y 轴相垂直； （ D ）与
x
轴即不平行也不垂直：
测 验 题
18
3,若函数 )( xf 在点
0
x 不连续，则 )( xf 在
0
x ( )
（ A ）必不可导； （ B ）必定可导；
（ C ）不一定可导； （ D ）必无定义,
4,如果
)( xf
= （ ），那么 0)( ?
? xf
.
(A) xx a r c c o s2a r c si n ? ；
(B)
xx
22
t a nse c ?；
(C) )1(c o ss i n
22
xx ?? ；
(D)
?xa r c t a n
a r c
xc o t
.
5,如果
?
?
?
??
?
?
0),1(
0,
)(
2
xxb
xe
xf
ax
处处可导，那末 （ ）
（ A ）
1?? ba； （ B ）
1,2 ???? ba；
（ C ）
0,1 ?? ba； （ D ）
1,0 ?? ba
.
19
6,已知函数 )( xf 具有任意阶导数，且
? ?
2
)()( xfxf ??,则当 n 为大于 2 的正整数时，
)( xf 的 n 阶导数 )(
)(
xf
n
是 （ ）
（ A ）
1
)](]([ ； （ D ）
n
xfn
2
)](![,
7,若函数
)( txx ?
,
)( tyy ?
对
t
可导且
0)( ?? tx
,又
)( txx ?
的反函数存在且可导，则
dx
dy
= （ ）
（ A ）
)(
)(
tx
ty ?； （ B ）
)(
)(
tx
ty
?
?
? ；
（ C ）
)(
)(
tx
ty
?
?； （ D ）
)(
)(
tx
ty
?
.
20
8,若函数 )( xf 为可微函数，则 dy （ ）
（ A ）与 x? 无关；
（ B ）为 x? 的线性函数；
（ C ）当 0?? x 时为 x? 的高阶无穷小；
（ D ）与 x? 为等价无穷小,
9,设函数 )( xfy ? 在点
0
x
处可导，当自变量 x 由 0x 增
加到
xx ??
0 时，记 y? 为 )( xf 的增量,dy 为 )( xf 的
微分，
x
dyy
x
?
??
?? 0
lim 等于 （ ）
（ A ） -1 ； （ B ） 0 ；
（ C ） 1 ； （ D ）
?
.
21
10,设函数 )( xfy ? 在点 0x 处可导，且 0)( 0 ?? xf,
则
x
dyy
x ?
??
?? 0
lim 等于 （ ）,
（ A ） 0 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 1 ； （ D ） ?,
二、求下列函数的导数：
1,
2
lns i n xxy ? ； 2,
x
ay
c o s h
? （ 0?a ）；
3,
x
xy
s e c2
)1( ?? ； 4, )]310l n [c o s (
2
xy ?? ；
5,设 y 为 x 的函数是由方程
x
y
yx a r c ta nln
22
?? 确
定的；
6,设 yyx ??
2
，
2
3
2
)( xxu ??,求
du
dy
.
22
三、证明 tex
t
si n?, tey
t
c o s? 满足方程
)(2)(
2
2
2
y
dx
dy
x
dx
yd
yx ???,
四、已知
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,
c o s)(
)(
xa
x
x
xxg
xf 其中
)( xg
有二阶连
续导数，且
1)0( ?g
，
1,确定
a
的值，使
)( xf
在
0?x
点连续；
2,求
)( xf ?
五、设
,ln xxy ?
求 )1(
)( n
f,
六、计算
3
02.9
的近似值,
23
七、一人走过一桥之速率为 4 公里 / 小时，同时一船在
此人底下以 8 公里 / 小时之速率划过，此桥比船高
200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
24
一,1, D ； 2, B ； 3, A ； 4, D ； 5, D ；
6, A ； 7, C ； 8, B ； 9, B ； 10, A ；
二,1,
x
x
xx
s i n2
lnc o s
2
? ；
2,
x
xaa
c o s h
si n hln；
3, x
x
x
xxx
x
s e c]
1
2
)1l n ([t a n)1(
2
2s e c2
?
??? ；
4, )310ta n (6
2
xx ? ；
5,
yx
yx
?
?；
6,
xxxy ???
2
)12)(12(3
1
.
测验题答案
25
四,1, )0(ga ?? ；
2,
?
?
?
?
?
?
?
????
?
????
??
0),1)0((
2
1
0,
]c o s)([]s i n)([
)(
2
xg
x
x
xxgxxgx
xf,
五,)!2()1()1(
2)(
???
?
nf
nn
.
六,2.09.
七,16.8
6
20
? ( 公里 / 小时 ).
