定积分的应用
习题课
定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
x
y
o
)( xfy ?
?? ba dxxfA )(
x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
A A
直角坐标情形
a b a b
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积 ? ?? 2
1
)()(tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
参数方程所表示的函数 ?? ba dxxfA )(
?? ?? ??? dA 2)]([21
xo
?
?d
?
)(???r ?
? xo
)(2 ???r
)(1 ???r
? ?? ?? ????? dA )]()([21 2122
极坐标情形
(2) 体积
x dxx? x
y
o dxxfV
b
a
2)]([?? ?
dyyV dc 2)]([????
x
y
o
)( yx ??c
d
xo
?? ba dxxAV )(
x dxx?a b
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
(3) 平面曲线的弧长
xo
y
a bx dxx?
?dy
弧长 dxys ba? ??? 21
A．曲线弧为
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数
弧长 dttts ? ???? ?? ?? )()( 22
)( xfy ?
B．曲线弧为
C．曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
弧长 ????? drrs ? ??? )()( 22
(4) 旋转体的侧面积
x dxx? x
y
o
)( xfy ?
bxaxfy ????,0)(
? ???? ba dxxfxfS )(1)(2 2侧
(5) 细棒的质量
o x dxx ?
)(x?
xl?
?
?
?
l
l
dxx
dmm
0
0
)(?
(6) 转动惯量
a b x
y
x dxx?o?
?
?
?
b
a
b
a yy
dxxx
dII
)(2 ?
))(( 为线密度x?
(7) 变力所作的功
)(xF
o a bx dxx ? x? ????
?
?
?
b
a
b
a
dxxF
dWW
)(
(8) 水压力
x
yoa
b
x
dxx ?
)(xf
?
?
?
?
b
a
b
a
dxxxf
dPP
)(?
)( 为比重?
(9) 引力
x
y
x dxx?o
A
l? l
? ?? ?? ?
??
l
l
l
l yy
xa
dxGadFF
2
3
22 )(
?
.0?xF )( 为引力系数G
(10) 函数的平均值 ??? ba dxxfaby )(1
(11) 均方根 ??? b
a
dxxfaby )(1 2
二、典型例题
例 1
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积
体它绕轴旋转而成的旋转
它的弧长
它所围成的面积求
星形线
已知
?
?
?
?
?
?
a
tay
tax
a? ao
y
x
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
?? a y d xA 04
? ? ??? 0
2
23 )s in(c o s3s in4 dtttata
?
?
?? 20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a??
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
?
?
???? 2
0
22 )()(4 dtyxL ?
?
? 20 s i nco s34 t d tta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为
由对称性,有
? ???? a x dxyyS 0 2122
?
?
??? 20 3 s i nco s3s i n4 t d ttata,512 2a??
? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 0
2
262 )s in(c o s3s in2 dtttata
?
?
??? 20 273 )s i n1(s i n6 dttta,1 0 532 3a??
例 2
,)2(;
)0()1(.
至少需作功多少
若再将满池水全部抽出面上升的速度
时水求在池中水深内注水
的半球形水池的流量往半径为以每秒
Rhh
Ra
??
o x
y
R
h
解 如图所示建立坐标系,
).0()( 222 RyRRyx ?????
半圆的方程为
于是对半圆上任一点,有
).0(2)( 2222 RyyRyRyRx ???????
时水池内水的体积为为
的球缺的体积即水深故半球内高为的立体
轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半
h
h
y
,
)1(
dyyRydyxhV hh ?? ????? 0 20 2 )2()(
,th 时已注水的时间为又设水深,)( athV ?则有
atdyyRyh ????0 2 )2(即
得求导两边对,t,)2( 2 adtdhhRh ???
故所求速度为,)2( 2hRh adtdh ???
.
)2(
所需的功水全部提升到池沿高度
需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所
的功约为
所需降到抽水时使水位从 dyyRyy ??? )0(
)1(),(2 水的比重????? yRdyx
,2 22 yRyx ??又
.))(2( 2 dyyRyRydW ?????即功元素
o x
y
R
h
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
? ????? R dyyRyRyW 0 2 ))(2(
? ???? R dyyRyyR0 322 )32(
.4 4R??
例 3 在第一象限内求曲线 上的一点,12 ??? xy
使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的
图形面积为最小，并求此最小面积。
解 设要求的点为（ x1,y1）,y1= - x12+1,
.2| 11 xy xx ??? ? 过（ x1,y1）的切线方程为
)(2 111 xxxyy ???? 令 x=0,y=0得切线的 截距,
,1210 ?? xy
1
2
1
0 2
1
x
xx ??
于是，所求面积为
.32)12(41)1(21)(
1
1
3
1
21
0001 ???????? ? xxxdxxyxxS
,0)1)(13(41)123(41)(:
1
1
1
12
1
2
11 ???????? xxxxxxxS令
3
1
1 ?x
,0)26(
4
1)(
3
1
13
1
1 3
1
11 ?????? ?? xx xxxS又
面积取最小值处所以在,311 ?x
)332(9231 ???
?
??
?
?S
唯一驻点,
解,
2
1
xy ??? xy ??
在点 ),( tt 处的切线 l方程为
)(2 1 txtty ??? 即 22 1 txty ??
所围面积
3
241
22
1)( 2
0 ?????
?
??
? ??
?
??
?
? ?? ? t
tdtt
tx
ttS
令,0
2
1
2
1)( 2123 ????? ?? tttS 得 t=1。 又,0)1( ???S
故 t=1时,S 取最小值。此时 l的方程为 212 ?? xy
求曲线 xy ? 的一条切线 l，使该曲线与切线 l
及直线 x=0,x=2所围成的图形面积最小。
故此切线方程为
22
1
00 ?
?? ?
x
y xx
)(22 12 0
0
0 xxxxy ?????
又因该切线过点 P（ 1,0），所以
)1(21 ?? xy
)(22 12 0
0
0 xxxx ????? 即 30 ?x
从而，切线方程为 因此，所求旋转体的体积
6)2()1(4
1 3
2
23
1
??? ????? ?? dxxdxxV
解 设所作切线与抛物线相切于点,因 )2,( 00 ?xx
过点 P(1,0)作抛物线 2?? xy 的切线，该切线与上述抛物
线及 x轴围成一平面图形，求此图形绕 x轴旋转一周所成的体积。
1,求曲线 所围的面积, ???? 2co ss i n2 2rr 及
1)求交点,
6,3
1t a n2c o s)s i n2( 22 ?????????
2)算面积,
2
31
6]2c o s2
1)s i n2(
2
1[2 4/
6/
6/
0
2 ?????????? ?? ?
?
? ddA
2,设平面区域 D由 x=0,x=1,y=a(o<a<1)及 y=x2 围成,试
问 a为何值时 D的面积最小?
3
1
3
4)()( 2/31 2
0
2 ??????? ?? aadxaxdxxaA
a
a
.41,012334 2/1 ?????? aadadA
3,设平面图形 A由 xyxyx ??? 与222
求图形 A绕直线 x=2旋转一周所得旋转体的体积。
A的两条边界曲线方程分别为 及 x=y 211 yx ???
相应于 [0,1]上任一小区间 [y,y+dy]的薄片的体积元素为
dyyydV })2()]11(2[{ 222 ????????
dyyy ])1(1[2 22 ?????于是所求体积为
dyyyV ])1(1[2 2210 ????? ?
1
0
32
]3 )1(a r c s i n2112[2 yyyy ?????? 322)314(2
2 ?
???????
解 A的图形如下图所示，取 y为积分变量，它的变化区间为 [0,1],
所确定,
4,曲线 )2)(1( ??? xxy 和 x轴围成一平面图形，求此平面图形
绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积。
解 在 [1,2]上取积分元素，得
,||2 dxyxdV ??
????????? ?? 21)2)(1(2||2 2121 dxxxxdxyxV
0.5 1.5 2 2.5
-0.2
0.2
0.4
0.6
求由曲线 y=x2-2x,y=0,x=1,x=3所围平面图形分别绕 x
和 y轴旋转一周,所得的旋转体体积,
.)2( 2231231 ?????? ?? dxxxdxyV x
.9|2|2||2 23131 ??????? ?? dxxxxdxyxV y
5,计算曲线 )1l n ( 2xy ?? 上相应于 210 ?? x 的一段弧的长度。
解 dxyS ? ???
210 21 dx
x
x?
?
??? 21
0
2
2 )1
2(1
dx
x
x?
?
?? 21
0 2
2
1
1
2
13ln)1
1
1
1
1(21
0 ??????? ? dxxx
6,求摆线
??
?
??
??
tty
tx
s i n
c os1
一拱（ 0≤t≤2π）的弧长 S。
解
tdtdytdtdx c o s1,s i n ???
,2s i n2)c o s1(2)c o s1(s i n 22 dttdttdtttdS ???????
82s i n220 ??? ? ? dttS
7,求心形线 )co s1( ??? ar 的全长，其中 a > 0 是常数。
解
,s i n)( ????? ar
?????????????? dadadrrdS |2c o s|2)s i n()c o s1()( 2222
由对称性得
aadaS 82s i n82c o s22 00 ?????? ???
8,半径为 R的球沉入水中,求得上部与水面相切,球的比重
与水的相同,问, 将球从水中取出需做多少功?
解, 建立坐标系如图, 在小区间 [y,y+?y]上,
o x
y
对应球体的一小薄片,要提高 2R高度,
水上的行程, R+y,则
dw=g ·(R+y)·?x2(y)dy ·1
?? ???? R R dyyRyRgw ))(( 22
422
3
4)( gRdyyRgR R
R ????? ??
xaaxbxaxyba
P
)2(2
)38.699
22 ????????
（
,11 ?? a ax两抛物线的交点
.1,010,0 1 ??????? aaxa 即?
dxxxxxxas x )]2(2)([ 20 21 ??????? ? 2
3
)1(6 a
a
?
??
0)03(0)03(.3,0
)1(6
)3(
3
2
????????????
??
??? ssa
a
aas,且
.893 min ???? sa 时
补充
.
2
1
0;
2
,
2
)(
49.6
1
0
???????????? ? bs
a
sbb
a
dxbaxs
])[(
3
]
3
)(
[)(
33
1
0
3
1
0
21
0
2
bba
a
bax
a
dxbaxdxyv
??
?
?
??
?????? ??
)3( 2
2
baba ????;0
0)
2223
2
()2
3
2
(
??
????????????????
a
a
s
aa
sabbbabav
0)21132( ??????v,,0
2m i n svsba ????? 时，
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，且在 (a,b)内有,0)( ?? xf
证明在 (a,b)内存在唯一的 ξ，使曲线 y=f(x)与两直线 y=f(ξ)
x=a所围平面图形面积 S1是曲线 y=f(x)与两直线 y=f(ξ),
x=b所围平面图形面积 S2的 3倍。
证 (存在性 )在 [a,b]上任取一点 t，令
dxtfxfdxxftftF btta )]()([3)]()([)( ???? ??
)],)(()([3])())(([ tbtfdxxfdxxfattf btta ?????? ??
则 F(t)在 [a,b]上连续,又,0)( ?? xf 故 f(x)在 [a,b]上单调增加
(a,b)内取定点 C，则有
6.40
由介质定理知，在 (a,b)内存在 ξ，使 F(ξ )=0，即 21 3 SS ?
唯一性 因,0)](3))[(()( ??????? tbattftF
故 F(t)在（ a,b）内单调增加,
因此（ a,b）内只有一个 ξ，使 21 3 SS ?
0)]()([3)( ???? ? dxafxfaF ba
0)]()([)( ??? ? dxxfbfbF ba
xx
xx
P
x 20 se ct a nsi n
c o ssi nt a n
lim
)19.5(78
??
x
x
x
x
xx t a nsi n
si nt a n
l i m
t a nsi n
si nt a n
l i m
00 ????
??
1
t a n
si n
lim
0
??
?? x
x
x
x
ete
P
x tx
x
? ?
?
??
0
222
)1(
lim
))3(19.578 （
2
1
2
)1(
l i m
)1(
l i m
222
22
2
0
22
?
?
?
?
?
????
?
xx
x
xx
x t
x exe
ex
xe
et
tx
P
?? ?1
9)53.5(88
令
）（
?
?
? ? 11ln)(
21
1
?
?? ?
? td
t
tF
dtt t? ? ?? 211 1ln?
?
?
?? 2)1l n ()(
2
2?
??F
一,选择题：
1, 曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
?, ex ? 及 0?y 所围成
的区域的面积 ?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e
? ； （ B ）
e
e
1
? ；
（ C ）
e
e
1
? ； （ D ） 1
1
?
e
,
2,曲线 ?si n2?r 与 ?2c o s
2
?r 所围图形公共部分
的面积 ?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
?
?
?； （ B ）
4
13
24
?
?
?；
（ C ）
2
13
12
?
?
?； （ D ）
2
31
6
?
?
?
,
测 验 题
3,曲线,c o s
3
?ax ? ?
3
s i nay ? 所围图形的面积
?S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
??? zyx 与旋转锥面
222
8 zyx ?? 之
间包含 z 轴的部分的体积 ?V ( ) ；
（ A ） ?144 ； （ B ） ?36 ；
（ C ） ?72 ； （ D ） ?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高
为 )20( rhh ?? 体 V积为,则 ?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
?
?； （ B ） )3(
3
2
hr
h
?
?；
（ C ） )2(
2
hrh ?? ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
?
?
.
6,曲线 42
2
??? xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
?? xy 所围图形的面积 ?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
.
7,抛物线 pxy 2
2
? )0( ?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) ? ? pp
p
ln)21l n (2
2
??? ；
(B) ?
?
?
?
?
?
?? )21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C)
? ?)21(ln2
2
?? p
p；
(D)
? ?)21l n (2
2
??
p
,
8,曲线 x
h
r
y ?, hx ??0, 轴绕 x 旋转所得旋转体
的侧面积 ?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ?? ； （ B ）
22
hrh ?? ；
（ C ）
22
hr
h
r
?
?； （ D ）
22
2 hrr ??,
二、在区间 ? ?e,1 内求 0x一点,使,0,ln ?? yxy
1?y 及 0xx ? 所围成两块面积之和为最小,
三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
轴x 与两直线 bxax ??,所围成的，求证：存在
直线 ??x )),(( ba?? 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( ??? t
1, 轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2, 轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
?
?, 轴y, 轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而
成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴
的距离，求它的质量,六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1, 求在水池中水深 )0( Rhh ?? 时水面上升的速
度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
测验题答案
一,1, A ； 2, D ； 3, B ； 4, D ；
5, B ； 6, D ； 7, A ； 8, A,
二、
4
1
0
ex ?, 四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
?
??,
六,1,
)2(
2
hRh
a
dt
dh
??
? ； 2,
4
4
Rw
?
?,
习题课
定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
x
y
o
)( xfy ?
?? ba dxxfA )(
x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
A A
直角坐标情形
a b a b
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积 ? ?? 2
1
)()(tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
参数方程所表示的函数 ?? ba dxxfA )(
?? ?? ??? dA 2)]([21
xo
?
?d
?
)(???r ?
? xo
)(2 ???r
)(1 ???r
? ?? ?? ????? dA )]()([21 2122
极坐标情形
(2) 体积
x dxx? x
y
o dxxfV
b
a
2)]([?? ?
dyyV dc 2)]([????
x
y
o
)( yx ??c
d
xo
?? ba dxxAV )(
x dxx?a b
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
(3) 平面曲线的弧长
xo
y
a bx dxx?
?dy
弧长 dxys ba? ??? 21
A．曲线弧为
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数
弧长 dttts ? ???? ?? ?? )()( 22
)( xfy ?
B．曲线弧为
C．曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
弧长 ????? drrs ? ??? )()( 22
(4) 旋转体的侧面积
x dxx? x
y
o
)( xfy ?
bxaxfy ????,0)(
? ???? ba dxxfxfS )(1)(2 2侧
(5) 细棒的质量
o x dxx ?
)(x?
xl?
?
?
?
l
l
dxx
dmm
0
0
)(?
(6) 转动惯量
a b x
y
x dxx?o?
?
?
?
b
a
b
a yy
dxxx
dII
)(2 ?
))(( 为线密度x?
(7) 变力所作的功
)(xF
o a bx dxx ? x? ????
?
?
?
b
a
b
a
dxxF
dWW
)(
(8) 水压力
x
yoa
b
x
dxx ?
)(xf
?
?
?
?
b
a
b
a
dxxxf
dPP
)(?
)( 为比重?
(9) 引力
x
y
x dxx?o
A
l? l
? ?? ?? ?
??
l
l
l
l yy
xa
dxGadFF
2
3
22 )(
?
.0?xF )( 为引力系数G
(10) 函数的平均值 ??? ba dxxfaby )(1
(11) 均方根 ??? b
a
dxxfaby )(1 2
二、典型例题
例 1
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积
体它绕轴旋转而成的旋转
它的弧长
它所围成的面积求
星形线
已知
?
?
?
?
?
?
a
tay
tax
a? ao
y
x
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
?? a y d xA 04
? ? ??? 0
2
23 )s in(c o s3s in4 dtttata
?
?
?? 20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a??
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
?
?
???? 2
0
22 )()(4 dtyxL ?
?
? 20 s i nco s34 t d tta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为
由对称性,有
? ???? a x dxyyS 0 2122
?
?
??? 20 3 s i nco s3s i n4 t d ttata,512 2a??
? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 0
2
262 )s in(c o s3s in2 dtttata
?
?
??? 20 273 )s i n1(s i n6 dttta,1 0 532 3a??
例 2
,)2(;
)0()1(.
至少需作功多少
若再将满池水全部抽出面上升的速度
时水求在池中水深内注水
的半球形水池的流量往半径为以每秒
Rhh
Ra
??
o x
y
R
h
解 如图所示建立坐标系,
).0()( 222 RyRRyx ?????
半圆的方程为
于是对半圆上任一点,有
).0(2)( 2222 RyyRyRyRx ???????
时水池内水的体积为为
的球缺的体积即水深故半球内高为的立体
轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半
h
h
y
,
)1(
dyyRydyxhV hh ?? ????? 0 20 2 )2()(
,th 时已注水的时间为又设水深,)( athV ?则有
atdyyRyh ????0 2 )2(即
得求导两边对,t,)2( 2 adtdhhRh ???
故所求速度为,)2( 2hRh adtdh ???
.
)2(
所需的功水全部提升到池沿高度
需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所
的功约为
所需降到抽水时使水位从 dyyRyy ??? )0(
)1(),(2 水的比重????? yRdyx
,2 22 yRyx ??又
.))(2( 2 dyyRyRydW ?????即功元素
o x
y
R
h
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
? ????? R dyyRyRyW 0 2 ))(2(
? ???? R dyyRyyR0 322 )32(
.4 4R??
例 3 在第一象限内求曲线 上的一点,12 ??? xy
使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的
图形面积为最小，并求此最小面积。
解 设要求的点为（ x1,y1）,y1= - x12+1,
.2| 11 xy xx ??? ? 过（ x1,y1）的切线方程为
)(2 111 xxxyy ???? 令 x=0,y=0得切线的 截距,
,1210 ?? xy
1
2
1
0 2
1
x
xx ??
于是，所求面积为
.32)12(41)1(21)(
1
1
3
1
21
0001 ???????? ? xxxdxxyxxS
,0)1)(13(41)123(41)(:
1
1
1
12
1
2
11 ???????? xxxxxxxS令
3
1
1 ?x
,0)26(
4
1)(
3
1
13
1
1 3
1
11 ?????? ?? xx xxxS又
面积取最小值处所以在,311 ?x
)332(9231 ???
?
??
?
?S
唯一驻点,
解,
2
1
xy ??? xy ??
在点 ),( tt 处的切线 l方程为
)(2 1 txtty ??? 即 22 1 txty ??
所围面积
3
241
22
1)( 2
0 ?????
?
??
? ??
?
??
?
? ?? ? t
tdtt
tx
ttS
令,0
2
1
2
1)( 2123 ????? ?? tttS 得 t=1。 又,0)1( ???S
故 t=1时,S 取最小值。此时 l的方程为 212 ?? xy
求曲线 xy ? 的一条切线 l，使该曲线与切线 l
及直线 x=0,x=2所围成的图形面积最小。
故此切线方程为
22
1
00 ?
?? ?
x
y xx
)(22 12 0
0
0 xxxxy ?????
又因该切线过点 P（ 1,0），所以
)1(21 ?? xy
)(22 12 0
0
0 xxxx ????? 即 30 ?x
从而，切线方程为 因此，所求旋转体的体积
6)2()1(4
1 3
2
23
1
??? ????? ?? dxxdxxV
解 设所作切线与抛物线相切于点,因 )2,( 00 ?xx
过点 P(1,0)作抛物线 2?? xy 的切线，该切线与上述抛物
线及 x轴围成一平面图形，求此图形绕 x轴旋转一周所成的体积。
1,求曲线 所围的面积, ???? 2co ss i n2 2rr 及
1)求交点,
6,3
1t a n2c o s)s i n2( 22 ?????????
2)算面积,
2
31
6]2c o s2
1)s i n2(
2
1[2 4/
6/
6/
0
2 ?????????? ?? ?
?
? ddA
2,设平面区域 D由 x=0,x=1,y=a(o<a<1)及 y=x2 围成,试
问 a为何值时 D的面积最小?
3
1
3
4)()( 2/31 2
0
2 ??????? ?? aadxaxdxxaA
a
a
.41,012334 2/1 ?????? aadadA
3,设平面图形 A由 xyxyx ??? 与222
求图形 A绕直线 x=2旋转一周所得旋转体的体积。
A的两条边界曲线方程分别为 及 x=y 211 yx ???
相应于 [0,1]上任一小区间 [y,y+dy]的薄片的体积元素为
dyyydV })2()]11(2[{ 222 ????????
dyyy ])1(1[2 22 ?????于是所求体积为
dyyyV ])1(1[2 2210 ????? ?
1
0
32
]3 )1(a r c s i n2112[2 yyyy ?????? 322)314(2
2 ?
???????
解 A的图形如下图所示，取 y为积分变量，它的变化区间为 [0,1],
所确定,
4,曲线 )2)(1( ??? xxy 和 x轴围成一平面图形，求此平面图形
绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积。
解 在 [1,2]上取积分元素，得
,||2 dxyxdV ??
????????? ?? 21)2)(1(2||2 2121 dxxxxdxyxV
0.5 1.5 2 2.5
-0.2
0.2
0.4
0.6
求由曲线 y=x2-2x,y=0,x=1,x=3所围平面图形分别绕 x
和 y轴旋转一周,所得的旋转体体积,
.)2( 2231231 ?????? ?? dxxxdxyV x
.9|2|2||2 23131 ??????? ?? dxxxxdxyxV y
5,计算曲线 )1l n ( 2xy ?? 上相应于 210 ?? x 的一段弧的长度。
解 dxyS ? ???
210 21 dx
x
x?
?
??? 21
0
2
2 )1
2(1
dx
x
x?
?
?? 21
0 2
2
1
1
2
13ln)1
1
1
1
1(21
0 ??????? ? dxxx
6,求摆线
??
?
??
??
tty
tx
s i n
c os1
一拱（ 0≤t≤2π）的弧长 S。
解
tdtdytdtdx c o s1,s i n ???
,2s i n2)c o s1(2)c o s1(s i n 22 dttdttdtttdS ???????
82s i n220 ??? ? ? dttS
7,求心形线 )co s1( ??? ar 的全长，其中 a > 0 是常数。
解
,s i n)( ????? ar
?????????????? dadadrrdS |2c o s|2)s i n()c o s1()( 2222
由对称性得
aadaS 82s i n82c o s22 00 ?????? ???
8,半径为 R的球沉入水中,求得上部与水面相切,球的比重
与水的相同,问, 将球从水中取出需做多少功?
解, 建立坐标系如图, 在小区间 [y,y+?y]上,
o x
y
对应球体的一小薄片,要提高 2R高度,
水上的行程, R+y,则
dw=g ·(R+y)·?x2(y)dy ·1
?? ???? R R dyyRyRgw ))(( 22
422
3
4)( gRdyyRgR R
R ????? ??
xaaxbxaxyba
P
)2(2
)38.699
22 ????????
（
,11 ?? a ax两抛物线的交点
.1,010,0 1 ??????? aaxa 即?
dxxxxxxas x )]2(2)([ 20 21 ??????? ? 2
3
)1(6 a
a
?
??
0)03(0)03(.3,0
)1(6
)3(
3
2
????????????
??
??? ssa
a
aas,且
.893 min ???? sa 时
补充
.
2
1
0;
2
,
2
)(
49.6
1
0
???????????? ? bs
a
sbb
a
dxbaxs
])[(
3
]
3
)(
[)(
33
1
0
3
1
0
21
0
2
bba
a
bax
a
dxbaxdxyv
??
?
?
??
?????? ??
)3( 2
2
baba ????;0
0)
2223
2
()2
3
2
(
??
????????????????
a
a
s
aa
sabbbabav
0)21132( ??????v,,0
2m i n svsba ????? 时，
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，且在 (a,b)内有,0)( ?? xf
证明在 (a,b)内存在唯一的 ξ，使曲线 y=f(x)与两直线 y=f(ξ)
x=a所围平面图形面积 S1是曲线 y=f(x)与两直线 y=f(ξ),
x=b所围平面图形面积 S2的 3倍。
证 (存在性 )在 [a,b]上任取一点 t，令
dxtfxfdxxftftF btta )]()([3)]()([)( ???? ??
)],)(()([3])())(([ tbtfdxxfdxxfattf btta ?????? ??
则 F(t)在 [a,b]上连续,又,0)( ?? xf 故 f(x)在 [a,b]上单调增加
(a,b)内取定点 C，则有
6.40
由介质定理知，在 (a,b)内存在 ξ，使 F(ξ )=0，即 21 3 SS ?
唯一性 因,0)](3))[(()( ??????? tbattftF
故 F(t)在（ a,b）内单调增加,
因此（ a,b）内只有一个 ξ，使 21 3 SS ?
0)]()([3)( ???? ? dxafxfaF ba
0)]()([)( ??? ? dxxfbfbF ba
xx
xx
P
x 20 se ct a nsi n
c o ssi nt a n
lim
)19.5(78
??
x
x
x
x
xx t a nsi n
si nt a n
l i m
t a nsi n
si nt a n
l i m
00 ????
??
1
t a n
si n
lim
0
??
?? x
x
x
x
ete
P
x tx
x
? ?
?
??
0
222
)1(
lim
))3(19.578 （
2
1
2
)1(
l i m
)1(
l i m
222
22
2
0
22
?
?
?
?
?
????
?
xx
x
xx
x t
x exe
ex
xe
et
tx
P
?? ?1
9)53.5(88
令
）（
?
?
? ? 11ln)(
21
1
?
?? ?
? td
t
tF
dtt t? ? ?? 211 1ln?
?
?
?? 2)1l n ()(
2
2?
??F
一,选择题：
1, 曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
?, ex ? 及 0?y 所围成
的区域的面积 ?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e
? ； （ B ）
e
e
1
? ；
（ C ）
e
e
1
? ； （ D ） 1
1
?
e
,
2,曲线 ?si n2?r 与 ?2c o s
2
?r 所围图形公共部分
的面积 ?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
?
?
?； （ B ）
4
13
24
?
?
?；
（ C ）
2
13
12
?
?
?； （ D ）
2
31
6
?
?
?
,
测 验 题
3,曲线,c o s
3
?ax ? ?
3
s i nay ? 所围图形的面积
?S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
??? zyx 与旋转锥面
222
8 zyx ?? 之
间包含 z 轴的部分的体积 ?V ( ) ；
（ A ） ?144 ； （ B ） ?36 ；
（ C ） ?72 ； （ D ） ?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高
为 )20( rhh ?? 体 V积为,则 ?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
?
?； （ B ） )3(
3
2
hr
h
?
?；
（ C ） )2(
2
hrh ?? ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
?
?
.
6,曲线 42
2
??? xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
?? xy 所围图形的面积 ?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
.
7,抛物线 pxy 2
2
? )0( ?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) ? ? pp
p
ln)21l n (2
2
??? ；
(B) ?
?
?
?
?
?
?? )21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C)
? ?)21(ln2
2
?? p
p；
(D)
? ?)21l n (2
2
??
p
,
8,曲线 x
h
r
y ?, hx ??0, 轴绕 x 旋转所得旋转体
的侧面积 ?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ?? ； （ B ）
22
hrh ?? ；
（ C ）
22
hr
h
r
?
?； （ D ）
22
2 hrr ??,
二、在区间 ? ?e,1 内求 0x一点,使,0,ln ?? yxy
1?y 及 0xx ? 所围成两块面积之和为最小,
三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
轴x 与两直线 bxax ??,所围成的，求证：存在
直线 ??x )),(( ba?? 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( ??? t
1, 轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2, 轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
?
?, 轴y, 轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而
成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴
的距离，求它的质量,六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1, 求在水池中水深 )0( Rhh ?? 时水面上升的速
度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
测验题答案
一,1, A ； 2, D ； 3, B ； 4, D ；
5, B ； 6, D ； 7, A ； 8, A,
二、
4
1
0
ex ?, 四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
?
??,
六,1,
)2(
2
hRh
a
dt
dh
??
? ； 2,
4
4
Rw
?
?,
