第一节 导数的概念
第二章 导数与微分
一、问题的提出
二、导数的定义
三、由定义求导数
四、导数的几何意义与物理意义
五、可导与连续的关系
六、小结
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
0t t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
?
??平均速度
0
0
tt
ss
?
?? ).(
2 0 tt
g ??
,0时当 tt ? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
??
?
g
tt
瞬时速度,0gt?
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置
播放
? ?
T
0x xo x
y )( xfy ?
C
N
M
如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 ??? N M TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???,)()(
0
0
xx
xfxf
?
??
,,0xxMN C ???? ?? 沿曲线
的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx ?
????
?
二、导数的定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
?
??
?
???
??????
??
?
?
记为处的导数在点数
并称这个极限为函处可导在点
则称函数时的极限存在之比当
与如果得增量
取相应地函数时仍在该邻域内
点处取得增量在当自变量有定义
的某个邻域内在点设函数
定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
????
?其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
?? 或
即
.
,0
慢程度
而变化的快因变量随自变量的变化反映了
它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导
内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy ?
★
★
关于导数的说明,
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作
的导函数这个函数叫做原来函数导数值
的一个确定的都对应着对于任一
??
?
x
xfxxfy
x ?
?????
??
)()(lim
0
即
.)()(lim)(
0 h
xfhxfxf
h
????
?
或
注意,,)()(.1
00 xxxfxf ????
★
播放
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼近
函数,
★
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????函数 )( xf 在点 0x 处可导 ? 左导数 )( 0xf ?? 和右
导数 )( 0xf ?? 都存在且相等,★
如果 )( xf 在开区间 ? ?ba,内可导，且 )( af ?? 及
)( bf ?? 都存在，就说 )( xf 在闭区间 ? ?ba,上可导,
★
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性
的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??,)(
0 存在xf ???
★
则 )( xf 在点 0x 可导，
,)( 0 存在xf ???
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??
,)()( 00 axfxf ???? ??且
.)( 0 axf ??且
三、由定义求导数
步骤, );()()1( xfxxfy ?????求增量;)()()2( x xfxxfxy ? ??????算比值
.lim)3( 0 xyy x ???? ??求极限
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf ?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?h
CC
h
?
? 0l i m
.0?
.0)( ??C即
例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
????? xxxxxf 及求设函数
解 h xhxx h s in)s in (li m)( s in 0 ???? ?
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
???
?,cos x?
.c o s)( s i n xx ??即
44
co s)( s i n ?
???
???
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n ????
?
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 ???? ????? nnnh hhxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx即
更一般地 )(.)( 1 Rxx ????? ???
)( ?x例如,12
1
2
1 ?? x,
2
1
x?
)( 1 ??x 11)1( ???? x,12x??
例 4,)1,0()( 的导数求函数 ??? aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x ???
?
? 0lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
??
?
.ln aa x?
.ln)( aaa xx ??即,)( xx ee ??
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 ??? aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0 ???? ?
.l o g1)( l o g exx aa ??即,
1)(ln
xx ??
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
?
?
?
?
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0 ?? ?,lo g
1 e
x a?
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
四、导数的几何意义与物理意义
o x
y )(xfy ?
?
T
0x
M
1.几何意义
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角
即切线的斜率
处的在点
表示曲线
????
??
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为
法线方程为
).)(( 000 xxxfyy ????
).()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率
处的切线的在点求等边双曲线
x
y ?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1??? xyk
2
1)
1(
?
??
xx 212
1
?
??
xx
.4??
所求切线方程为
法线方程为
),21(42 ???? xy
),21(412 ??? xy
.044 ??? yx即
.01582 ??? yx即
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率,
变速直线运动,路程对时间的导数为物体的
瞬时速度,
.lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
????
??
交流电路,电量对时间的导数为电流强度,
.lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
????
??
非均匀的物体,质量对长度 (面积,体积 )的导
数为物体的线 (面,体 )密度,
五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 ??? x?
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数
则称点若连续函数
xf
xxfxfxf ?? ???
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
?
?
?
?
??
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx ??
注意, 该定理的逆定理不成立,
★
3 1?? xy
x
y
0 1
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数
但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
??
?
???
?
?
?
????
例如,
,1)( 3 ?? xxf
.1 处不可导在 ?x
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定
不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
??
?
?
?
?
??
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在 ?x
0
1
1/π － 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点
的尖点为函数则称点符号相反
的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf ???
x
y
o x
y
0xo
)(xfy ? )(xfy ?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在
讨论函数
?
??
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nl i m 0 ?? ? xxx
.0)( 处连续在 ?? xxf
处有但在 0?x x
x
x
x
y
?
?
??
??
?
?
? 00
1s i n)0(
x??
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 ????? xyx
.0)( 处不可导在 ?? xxf
0)(lim)0( 0 ?? ? xff x?
六、小结
1,导数的实质, 增量比的极限 ;
2, axf ?? )( 0 ? ??? )( 0xf ;)( 0 axf ???
3,导数的几何意义, 切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法, 由定义求导数,
6,判断可导性
不连续,一定不可导,
连续
直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
思考题
函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf ?
与导函数 )( xf ? 有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知,)(
0
xf ? 是一个具体的
数值,)( xf ? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一
点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix ??,有唯一值 )( xf ? 与之对应，所以两
者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两
者的 联系 是：在某点 0x 处的导数 )( 0xf
?
即是导
函数 )( xf ? 在 0x 处的函数值．
一,填空题：
1, 设 )( xf 在
0
xx ? 处可导，即 )(
0
xf ? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
2, 已知物体的运动规律为
2
ts ?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3, 设
3 2
1
)( xxy ?,
2
2
1
)(
x
xy ?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy ?,则
它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练习题
4, 设 2)( xxf ?,则 ? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5, 曲线 xey ? 在点 )1,0( 处的切线方程为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf ? 存在，按照导数的定
义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1, A
xx
xfxf
xx
?
?
?
?
0
0
)()(
l i m
0；
2, A
h
hf
h
?
?
)(
l i m
0
，其中 )0(0)0( ff
?? 且
存在；
3, A
h
hxfhxf
h
?
???
?
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若 )( xf 为偶函数且
)0(f ?
存在，则
0)0( ??f
.
四,设函数
?
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条
件，
)( xf
在 0?x 处 (1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
?
?
?
??
?
?
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在
1?x
处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
?
?
?
?
?
?
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf
,求
)( xf
.
七,证明：双曲线
2
axy ? 上任一点处的切线与两
坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2 a
.
八,设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点
的坐标为 x,于是分布在区间 ]1,0[ 上细棒的质
量 m 是 x 的函数 )( xmm ?,应怎样确定细棒在点
0
x 处的线密度 （对于均匀细棒来说，单位长度细棒
的质量叫作这细棒的线密度）？
一,1, )(
0
xf ? ； 2, )(
0
xf ?? ；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2 ??
? x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5, 01 ??? yx,
二,1, )(
0
xf ? ； 2, )0(f ? ； 3, )(2
0
xf ?,
四,(1) 当
0?k
时,)( xf 在
0?x
处连续；
(2) 当
1?k
时,)( xf 在
0?x
处可导,且
0)0( ??f；
(3 ) 当
2?k
及
0?x
时,
)( xf ?
在
0?x
处连续,
五,1,2 ??? ba,
六,
?
?
?
?
?
?
0,1
0,c o s
)(
x
xx
xf, 八、
0
xx
dx
dm
?
.
练习题答案
第二节 函数的和、差、积、商
的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
二、例题分析
三、小结
一、和、差、积、商的求导法则
定理
并且可导
处也在点分母不为零们的和、差、积、商
则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
?
???
??
??????
??????
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
证 (3) ),0)((,)( )()( ?? xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0 ?
????
?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
?
?
?
?
?
证 (1),(2)略,
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0 ?
??????
?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h ?
???????
?
?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu ????
.)( 处可导在 xxf?
推论;)(])([)1(
11
??
??
???
n
i
i
n
i
i xfxf
);(])([)2( xfCxCf ??? ;)()(
)()()(
)()()(])([)3(
1 1
21
21
1
? ? ??
???
?
???
?
?
?
?
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
??
?
二、例题分析
例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy ???
解 23 xy ?? x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx ??
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
.s e c)( t a n 2 xx ??即
.c s c)( c o t 2 xx ???同理可得
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx ???同理可得
例 5,s i n h 的导数求 xy ?
解 ])(21[)( s i n h ?????? ? xx eexy )(21 xx ee ???,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h ?? xx 2c o s h
1)( t a nh ??
例 6 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf ?
??
?
??
?? 求设
解,1)( ?? xf,0时当 ?x
,0时当 ?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
??????
?
)11l n (1lim 0 xhhh ??? ?
,1 1 x??
,0时当 ?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
?????
???,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
??????
???,1?
.1)0( ??? f
.0,
1
1
0,1
)(
??
???
??
?
??? x
x
x
xf
三、小结
注意, );()(])()([ xvxuxvxu ??????
.)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
思考题
求曲线 上与 轴平行
的切线方程,
32 xxy ?? x
思考题解答
232 xy ??? 令 0??y 032 2 ??? x
3
2
1 ?x 3
2
2 ??x
切点为 ?
?
??
?
?
9
64,
3
2 ?
?
??
?
? ??
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64??y和
一,填空题：
1, 设 xxy s i n??,则 y ? = __ __ _ __ _ __,
2, 设
x
eay
xx
2
3 ???, 则
dx
dy
=_ __ __ __ _ __,
3, 设 )13(
2
??? xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= __ _ __ __ __ _,
4, 设
1se ct a n2 ??? xxy
,则
y ?
= __ _ __ __ __,
5, 设
55
3
)(
2
x
x
xfy ?
?
??,则 )0(f
?
= __ _ __ __ _.
6, 曲线 xy s i n
2
?
?
? 在
0?x
处的切线
轴与 x
正向的
夹角为 __ __ __ __ _,
练 习 题
二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
??
? ； 2,
110
110
?
?
?
x
x
y ；
3,
2
1
c s c2
x
x
y
?
? ； 4,
t
t
xf
?
?
?
1
1
)(,求 )4(f
?；
5, )0,0( ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy ???
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
?? 与
x
轴交点处的切线方程,
一,1, )c o s
2
s i n
( x
x
x
x ? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
?? ；
3,
2?； 4,
)t a nse c2(se c xxx ?； 5,
25
3； 6,
4
?
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
??
?； 2,
2
)110(
10ln210
?
?
x
x；
3,
22
2
)1(
]2c o t)1[(c s c2
x
xxxx
?
??； 4,
18
1；
5, )(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
?
?,
三、
)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b ?
??
.
四、
022 ??? yx
和
022 ??? yx
.
练习题答案
第三节 反函数与复合函数
的求 导法则
一、反函数的导数
二、复合函数的求导法则
三、小结
一、反函数的导数
定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
y
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
?
?
?
?
??
???
?
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
证,xIx ?任取 x?以增量给
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续xf?
),0(0 ????? xy 0)( ?? y?又知
x
yxf
x ?
????
?? 0l i m)(
y
xy
?
?? ??
1lim
0
)(
1
y???
.)(1)( yxf ? ???即
),0( xIxxx ?????
例 1,a r c s i n 的导数求函数 xy ?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 ????? yIyx?
,0c o s)( s in ??? yy且 内有在 )11( ??? xI
)( s in
1)( a r c s in
??? yx ycos
1?
y2s i n1
1
??
.1 1 2x??
.1 1)( a r c c o s 2xx ????同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx ???
)rcs in ?x
.1 1)co t( 2xx ????arc
例 2,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( ??? aaa yy且,),0( 内有在 ???? xI
)(
1)( l o g
??? ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 ?????? yy Iax?
特别地,1)( ln xx ??
二、复合函数的求导法则
定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
? ????
????
???
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
证,)( 0 可导在点由 uufy ? )(l i m 00 ufuyu ????? ??
)0lim()( 00 ?????? ?? ?? uufuy故
uuufy ?????? ?)( 0则
x
y
x ?
??
?? 0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
?? ?
x
u
x
uuf
xxx ?
???
?
???
?????? 0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf ? ???
推广 ),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 3,s inln 的导数求函数 xy ?
解,s in,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ??? x
u co s
1 ??
x
x
sin
cos? xcot?
例 4,)1( 102 的导数求函数 ?? xy
解 )1()1(10 292 ????? xxdxdy
xx 2)1(10 92 ???,)1(20 92 ?? xx
例 5,a r c s in22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy ???
解 )a r c s in2()2(
2
22 ??????
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
??????
.22 xa ??
)0( ?a
例 6,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 ???????? xxxy )2(3
1
12 ???? xx
x
例 7,1s i n 的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
三、小结
反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链
导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常
数与基本初等函数的和、差、积、商,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu ? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu ?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf ?在 处不可导,0?u
取 xxgu s i n)( ?? 在 处可导,0?x
|s i n|)]([ xxgf ?在 处不可导,0?x ?)1(
取 4)( xxgu ?? 在 处可导,0?x
44 ||)]([ xxxgf ??在 处可导,0?x ?)2(
一,填空题：
1, 设
4
)52( ?? xy,则 y ? = ___ __ ___ __ _.
2, 设 xy
2
s i n?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
3, 设 )a r c ta n (
2
xy ?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
4, 设
xy c o sln?
,则
y ?
= ___ __ ___ __ __.
5, 设
xx
y
2t a n
10?,则 y
?
= _ ___ __ ___ __ _.
6, 设
)( xf
可导，且 )(
2
xfy ?,
则
dx
dy
= ___ __ ___ __ _.
7, 设
x
k
exf
t a n
)( ?,则
)( xf ?
= ___ __ ___ __,
若
ef ??
?
?
?
?
?
?
4
?
，则
?k
___ ___ __ ___,
练 习 题
二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a r c c o s? ； 2,
x
x
y
2s i n
? ；
3, )l n (
22
xaxy ??? ； 4, )c o tl n ( csc xxy ?? ；
5,
2
)
2
(a r c s i n
x
y ? ； 6,
x
ey
a r c ta n
?；
7,
x
x
y
a r c c o s
a r c s i n
? ； 8,
x
x
y
?
?
?
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
?? xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy ??
的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0( ?f, 0)0( ??f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明 ? ?)( xfF 在 0?x 处
也可导,
一,1,
3
)52(8 ?x ； 2, x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x
?；
4, xt a n? ； 5, )2s e c22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx
? ；
6, )(2
2
xfx ? ； 7, xxke
kx
k
21t a n
s e cta n ??
?
,
2
1
.
二,1,
1
22
?xx
x； 2,
2
2s i n2c o s2
x
xxx ?；
3,
22
1
xa ?； 4, xc s c ；
5,
2
4
2
a r c s i n2
x
x
?； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x
?；
练习题答案
7,
22
)( a r c c o s12 xx?
?； 8,
)1(2)1(
1
xxx ??
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
?
???
.
第四节
初等函数的求导问题
双曲函数与反双曲函数的导数
一、初等函数的求导问题
二、双曲函数与反双曲函数的导数
三、小结
一、初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
???
???
???
??
???
?
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 ) ( ),( x v v x u u ? ? 可导，则
（ 1 ） v u v u ? ? ? ? ) (,（ 2 ） u c cu ? ? ? ) (
（ 3 ） v u v u uv ? ? ? ? ? ) (,（ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? ? ? v v v u v u v u,
( 是常数 ) C? ?
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
例 1,的导数求函数 xxxy ???
解 )(2 1 ??????? xxxxxxy
))(2 11(2 1 ??????? xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx ??????
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
????
????
例 2,)]( s i n[ 的导数求函数 nnn xfy ??
解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy ?????? ?
)( s i n)( s i n1 nnn xxn ? ???? ? 1co s ??? n nxx
).( s i n)]( s i n[)( s i n
)]( s i n[co s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
? ??????
?????
?
??
二、双曲函数与反双曲函数的导数
xx co s h)( s i n h ?? xx s i n h)( co s h ??
x
xx
co s h
s i nhta nh ??
x
xxx
2
22
c o s h
s i n hc o s h)( ta n h ????
即 xx 2c o s h
1)( t an h ??
同理
)11(11 22 xxxx ????? 21 1 x??
1
1
2 ?? x
21
1
x??
)1l n (s i n h 2xxx ???? ar
2
2
1
)1()s i n h(
xx
xxx
??
??????
ar
ar )c o s h( ?x
ar )ta n h( ?x
例 3,)ha r c t a n ( t a n 的导数求函数 xy ?
解 )(t a n hta nh1 1 2 ????? xxy
xx 22 c o s h
1
t a n h1
1 ?
??
x
x
x 2
2
2 c o s h
1
c o s h
s i n h
1
1
?
?
?
xx 22 s i n hc o s h
1
??,s i n h21
1
2 x??
三、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初
等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键, 正确分解初等函数的复合结构,
思考题
幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf ? ),( ?????x
在 处不可导,0?x ?)1(
2)( xxf ? ),( ?????
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题：
1, 设
n
x
x
y
ln
?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
2, 设
x
y
1
c o sln?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
3, 设
xxy ??
，则 y
?
= _ ___ __ ___ _.
4, 设
tt
tt
ee
ee
y
?
?
?
?
?,则 y ? = _ ___ __ ___,
5, 设
)9 9 9()2)(1()( ???? xxxxxf ??
则
)0(f ?
= __ __ __ ___ _.
二,求下列函数的导数：
1, )1t a n h ( 2xy ?? ；
2, ?y s i n har )1( 2 ?x ；
练 习 题
3, ?y c o s har )(
2 x
e ；
4,
x
xey
c o s h
s i n h? ；
5,
2
)
2
( a r c t a n
x
y ? ；
6,
x
ey
1
s i n
2
?
? ；
7,
2
1
2
a r c s i n
t
t
y
?
?,
一,1,
1
ln1
?
?
n
x
xn； 2,
xx
1
ta n
1
2； 3,
xxx
x
?
?
4
12；
4,
t
2
c o s h
1； 5, -99 9!.
二,1,
)1(c o s h
2
22
x
x
?； 2,
22
2
24
?? xx
x；
3,
1
2
4
2
?
x
x
e
e； 4, )s i n h(c o s h
2c o s h
xxe
x
? ；
5,
2
a r c t a n
4
4
2
x
x?； 6,
x
e
xx
1
s i n
2
2
2
s i n
1 ?
? ；
练习题答案
7,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
1,
1
2
1,
1
2
2
2
2
2
t
t
t
t
y,
第五节 高阶导数
一、高阶导数的定义
二,高阶导数求法举例
三、小结
一、高阶导数的定义
问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
二,高阶导数求法举例
例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy ?????? 求设
解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
022 )1(
2)0(
??
?????
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
??
?????
xx
xf;0?,2??
1.直接法, 由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
例 3,),1l n ( )( nyxy 求设 ??
解
注意,
xy ??? 1
1
2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 4,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设 ?
解 bxbebxaey axax c o ss i n ???
)c o ss i n( bxbbxae ax ??
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax ???????
)]co s ()s i n ([22 ?????????? bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 ??????? bxbaeba ax
??
)s i n ()( 222)( ????? nbxebay axnn )a rct a n( ab??
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7,,11 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
例 8,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设 ??
解 3232 )( c o s)( s i n xxy ??
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx ????
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n ???
x2s i n431 2?? 2 4co s1431 x????
x4co s8385 ??
).24co s (483)( ??????? nxy nn
三、小结
高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题
设 连续，且, )(xg? )()()( 2 xgaxxf ??
求, )(af ??
思考题解答
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf ???????
)( xg ??? 不一定存在 故用定义求 )(af ??
)(af ?? ax afxfax ? ???? ? )()(lim 0)( ?? af
ax
xf
ax ?
??
?
)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax ???? ? )(2 ag?
一,填空题：
1, 设
t
e
t
y
s i n
? 则 y ?? =__ __ __ ___,
2, 设
xy t an?
,则 y
??
= ___ __ ___ _.
3, 设 xxy a r c ta n)1(
2
??,则 y
??
= _ ___ __ __.
4, 设
2
x
xey ?,则
y ??
= ___ __ ___ _.
5, 设 )(
2
xfy ?,
)( xf ??
存在，则
y ??
= __ ___ __ __,
6, 设
6
)10()( ?? xxf,则
)2(f ???
=___ __ ___ _.
7, 设
nn
nnn
axaxaxax ?????
?
??
1
2
2
1
1
?
( n
aaa,,,
21
?
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf ???? ?
,
则 )(
)1(
xf
n ?
= ___ __ ___ __ __,
练 习 题
二,求下列函数的二阶导数,
1,
x
xx
y
42
3
??
? ；
2, xxy lnc o s
2
? ；
3, )1l n (
2
xxy ???,
三,试从
ydy
dx
?
?
1
，导出,
1,
32
2
)( y
y
dy
xd
?
??
?? ；
2,
5
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd
?
???????
?,
四、验证函数 xx ececy ?? ??? 21 ( ?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 ???? yy ?,
五,下列函数的 n 阶导数,
1, xey
x
c o s? ；
2,
x
x
y
?
?
?
1
1；
3,
23
2
3
??
?
xx
x
y ;
4, xxxy 3si n2si nsi n?,
一,1, te
t
c o s2
?
? ； 2, xx t a ns e c2
2；
3,
2
1
2
a r c t a n2
x
x
x
?
? ； 4, )23(2
2
2
xxe
x
? ；
5, )(4)(2
222
xfxxf ???? ； 6, 20 736 0 ；
7, !n ； 8, )!1( ?n,
二,1,
3
2
5
8
4
3
4
?
?
?? xx ；
2,
2
2
c o s2s i n2
ln2c o s2
x
x
x
x
xx ???? ；
3,
2
3
2
)1( x
x
?
.
练习题答案
五, 1, )
4
c o s ()2(
?
nxe
xn
? ；
2,
1
)1(
!2
)1(
?
?
?
?
n
n
x
n；
3, )2(],
)1(
1
)2(
8
![)1(
11
?
?
?
?
?
??
n
xx
n
nn
n；
4, )
2
2s i n (2[
4
1 ?
?
n
x
n
+ )]
2
6s i n (6)
2
4s i n (4
?
??
?
?
n
x
n
x
nn
,
第六节
隐函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
一、隐函数的导数
二、对数求导法
三、由参数方程所确定的函数的导数
四、相关变化率
五、小结
一、隐函数的导数
定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
例 1
.,
0
0?
???
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解,求导方程两边对 x
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
?
??,0,0 ?? yx由原方程知
0
00
?
?? ?
???
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点
在该点的法并证明曲线的切线方程点
上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC ??
解,求导方程两边对 x yxyyyx ????? 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
?
????
.1??
所求切线方程为 )23(23 ???? xy,03 ??? yx即
2
3
2
3 ??? xy法线方程为,xy ?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx ?????
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 ?????? yyyxyx
得代入 1,0 ?? yx ;4110 ?? ??yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 ??????????? yyyyyxyx
得41
1
0 ??
?
?
y
xy,1,0 ?? yx代入,16
1
1
0 ????
?
?
y
xy
二、对数求导法
观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy ?
?
???
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导
方法求出导数,
--------对数求导法
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
??????? ????? xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy ??????? )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 ???????? xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x ?? ??? 求设
例 5
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
一般地
)0)(()()( )( ?? xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd ???又
)(ln)()( xfdxdxfxf ????
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv ???????
)(ln)()(ln xuxvxf ???
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
例如
??
?
?
?
,
,2
2ty
tx
2
xt ?
22 )
2(
xty ???
4
2x
? xy 21???
消去参数
问题, 消参困难或无法消参如何求导?
t
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ???? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?即
,)( )( 中在方程
??
?
?
?
ty
tx
?
?
,)( )( 二阶可导若函数
??
?
??
??
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????即
例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
c o s1
s i n
?? taa
ta
co s
s i n
??
2
co s1
2
s i n
2
?
?
?
?? ?
?tdx
dy
.1?
.方程
处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n( ??
??
?
??
?? t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt ???? ?? 时当
所求切线方程为
)12( ???? ?axay
)22( ???? axy即
例 7
解
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,c o s
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻
的运动方向炮弹在时刻求
其运动方程为发射炮弹
发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映
时刻的切线方向轨迹在
时刻的运动方向即在
t
t
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
??
???
?
tv
gttv
dx
dy
?
?
c o s
s i n
0
0
v
gtv ??
.co ss i n
0
00
0 ?
????
? v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
?? ???? ?co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
?? ????? 00 s i n gtv ?? ?
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv ?? 2020020 s i n2 tggtvv ??? ?
例 8
解
.
s i n
c o s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
?
?
?
?
?
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
)s i n(co s3
co ss i n3
2
2
tta
tta
?? tta n??
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
)co s(
)t a n(
3 ?
???
ta
t
tta
t
s inc o s3
s e c
2
2
?
??
ta
t
s i n3
s e c 4?
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx ??
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例 9
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
?
ht
5 0 0ta n
h??
求导得上式两边对 t dtdhdtd ??? 5 0 01s ec 2 ??
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2 ?? ?米时当 h
)/(14.0 分弧度?? dtd ? 仰角增加率
?
米500
米500
例 10
解
,20
,1 2 0,4 0 0 0
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时
问水深的水槽顶角为米形状是长为
水库秒的体流量流入水库中米河水以
则水库内水量为
水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV ?
求导得上式两边对 t dtdhhdtdV ?? 38000
,/2 8 8 0 0 3 小时米?dtdV?
小时米 /1 0 4.0?dtdh 水面上升之速率
060
,20 米时当 ?? h
五、小结
隐函数求导法则, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 解法, 通过建立两者之间的关系,用链
式求导法求解,
思考题
设
?
?
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
，由
)(
)(
t
t
y
x
?
?
?
?
?? )0)(( ?? t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
?
?
??
??
???,对吗？
思考题解答
不对,
? ?xx ydxdy ???? dxdtdtyd x ??? )(1)( )( ttt
t ??
?
??
??
?
??
?
?
?
??
一,填空题：
1, 设 01552
223
????? yxyyxx 确定了 y 是x 的函
数，则
)1,1(
dx
dy
=_______ _, ?
2
2
dx
yd
______ __.
2, 曲线 7
33
??? xyyx 在点 （ 1, 2 ）处的切线方程
是 ________ ___.
3, 曲线
?
?
?
?
?
tty
ttx
s i n
c o s
在
2
?
?t
处的法线方程 ______ __.
4, 已知
?
?
?
?
?
tey
tex
t
t
s i n
c o s
,则
dx
dy
=______ ；
3
?
?t
dx
dy
=______,
5, 设
yx
exy
?
?
,则
dx
dy
=____ ____,
练 习 题
二,求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
y
xey ?? 1 ；
2, )t a n ( yxy ?? ；
3,
y
x
xy ? )00( ?? yx,,
三,用对数求导法则求下列函数的导数：
1,
2
x
xy ? ；
2,
5
4
)1(
)3(2
?
??
?
x
xx
y ；
3,
x
exxy ?? 1s i n,
四,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
?
?
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s；
2,
?
?
?
???
??
)()(
)(
tftfty
tfx
设 )( tf
??
存在且不为零,
五,求由参数方程
?
?
?
??
??
tty
tx
a r c ta n
)1l n (
2
所确定的函数的
三阶导数
3
3
dx
yd
,
六、设
)( xf
满足
xx
fxf
3
)
1
(2)( ??
，求
)( xf ?
,
七,在中午十二点正甲船的 6 公里 / 小时的速率向
东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里 / 小
时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速
率为多少？
八,水注入深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，
其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其
表面上升的速率为多少？
一,1,
3
4
,
5210
)(1020846
2
2
??
???????
xxy
yxyyyxxyx；
2,
02311 ??? yx
3, 0
22
???
??
yx ；
4, 32,
s i nc o s
c o ss i n
??
?
?
tt
tt； 5,
yx
yx
ex
ye
?
?
?
?
.
二,1,
3
2
)2(
)3(
y
ye
y
?
?；
2, - )(ta n)(c s c2
32
yxcyx ?? ；
3,
3
22
)1(l n
)1(l n)1(l n
?
???
yxy
xxyy
.
练习题答案
三,1, )1ln2(
1
2
?
?
xx
x；
2, ]
1
5
3
4
)2(2
1
[
)1(
)3(2
5
4
?
?
?
?
??
??
xxxx
xx；
3, ]
)1(2
c o t
1
[1s i n
2
1
x
x
x
e
e
x
x
exx
?
???,
四,1,
ta
b
32
s i n； 2,
)(
1
tf ??
.
五、
3
4
8
1
t
t ?
,六、
2
1
2
x
?,
七,-2.8( 公里 / 小时 ).
八,204.0
25
16
?
?
( 米 / 分 ).
第七节 函数的微分
一、问题的提出
二、微分的定义
三、可微的条件
四、微分的几何意义
五、微分的求法
六、微分形式的不变性
七、小结
一、问题的提出
实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到设边长由
,20xA ?正方形面积?
2020 )( xxxA ??????
.)(2 20 xxx ????? )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax ??
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
??
?
求函数的改变量时为
处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy ?????
.)()(33 32020 xxxxx ???????? )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy ?????
),()2( xox ?? 的高阶无穷小是
既容易计算又是较好的近似值
问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy ?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy ?????;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA ??
dy
y??
xA
xo
??
??? )(1 ).0(1 ??? x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx ???
三、可微的条件
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
???
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
??
?
即记作
称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ??? ).( xfdxdy ??
".",微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
四、微分的几何意义
)(xfy ?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
五、微分的求法
dxxfdy )(??
求法, 计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
六、微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论,
的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设 ??
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax ????? ??
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s ??????? ??
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax ?? ?
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
例 5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd ???
,co s)( s in)1( td ttd ?????
)( s i n1co s tdt d t ?????
.co s)s i n1( t d tCtd ??????
);s i n1( td ???
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22 ??
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd ??
七、小结
微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题
函数的增量问题 微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫
做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导 ?
★
★
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
000
00
它是无穷小实际上的定义域是
它的线性函数是而微分
处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxxfdy
xfxxf
????
?
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx ??? ???,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量线方程在点
处的切在点是曲线
而微分处切线的斜率点
在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
??
??
??
★
思考题 因为一元函数 )( xfy ? 在
0x 的可微性与
可导性是等价的，所以有人说,微分就是导
数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答
说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引
出线性主部而得到的，导数是从函数变化
率问题归纳出函数增量与自变量增量之比
的极限，它们是完全不同的概念,
一,填空题,
1, 已知函数
2
)( xxf ? 在点 x 处的自变量的增量 为
0.2,对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8,那么
自变量 x 的始值为 __________,
2, 微分的几何意义是 __________,
3, 若
)( xfy ?
是可微函数，则当 0?? x 时,
dyy ??
是关于 x? 的 ________ 无穷小,
4,
x d xd ?si n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
5,
dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
6,
x d xd 3s e c___ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2
?
,
7,
x
exy
22
?
,
____________
22
dxdedy
x
??
,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
(a r c ta n
2
?
x
e
d dxde
x
_ _ _ _ _ _ _ _?
,
练 习 题
二,求下列函数的微分,
1,
1
2
?
?
x
x
y ；
2,
2
)]1[l n ( xy ?? ；
3,
2
1a r c s i n xy ?? ；
4,
2
2
1
1
a r c ta n
x
x
y
?
?
? ；
5,
xey
x
3c o s
3??
?
，求
3
?
?x
dy ；
6,求由方程
22
)c o s ( yxxy ? 所确定的 y 微分,
一,1, - 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4, Cx ??
?
c o s
1；
5, Ce
x
?
? 2
2
1； 6, Cx ?3t a n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
x
x
e
e
e
e
4
2
4
2
22
,
2
22
??
,
二,1, dxx
2
3
2
)1(
?
? ；
2,
dx
x
x
1
)1l n (2
?
?；
练习题答案
3,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4, dx
x
x
4
1
2
?；
5, dx3 ；
6, dx
x
y
.
第八节
微分在近似计算中的应用
一、计算函数增量的近似值
二、计算函数的近似值
三、误差估计
四、小结
一、计算函数增量的近似值
,
,0)()( 00
很小时
且处的导数在点若
x
xfxxfy
?
???
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米
半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径
解,2rA ??设,05.0,10 厘米厘米 ??? rr
rrdAA ?????? ?2 05.0102 ???? ).( 2厘米??
.)( 0 xxf ???? 00 xxxx dyy ?? ??
二、计算函数的近似值;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf ?
)()( 00 xfxxfy ?????,)( 0 xxf ????
.)()()( 000 xxfxfxxf ??????? )( 很小时x?
例 1,0360c o s o 的近似值计算 ?
解,c o s)( xxf ?设 )(,s i n)( 为弧度xxxf ????
,3 6 0,30 ????? xx?
.2 3)3(,21)3( ??????? ff
)3603co s (0360co s o ?????? 3603si n3c os ??????
3602
3
2
1 ????,4 9 2 4.0?;0)(.2 附近的近似值在点求 ?xxf
.)0()0()( xffxf ?????
,)()()( 000 xxfxfxxf ????????
.,00 xxx ???令
常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(si n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
??
???
????
为弧度
为弧度
证明,1)()1( n xxf ??设,)1(1)(
11 ???? nx
nxf
.1)0(,1)0( nff ???
xffxf )0()0()( ????,1 nx??
例 2,计算下列各数的近似值
解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03 ?e
33 5.110005.998)1( ??
3 )
10 00
5.11(10 00 ?? 3 0015.0110 ??
)00 15.0311(10 ???,995.9?
03.01)2( 03.0 ???e,97.0?
三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法
等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，
而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误
差，我们把它叫做 间接测量误差,
定义,
.,
,
的绝对误差叫做那末为
它的近似值如果某个量的精度值为
aaAa
A
?
.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa aAa ?
问题,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法,将误差确定在某一个范围内,
.
,
,
,
,,
的相对误差限
叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末
即又知道它的误差不超过
测得它的近似值是如果某个量的精度值是
A
a
A
aA
aA
A
A
A
A
?
?
???
?
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误
差 与 相对误差,
例 3
.
,,005.041.2
误差并估计绝对误差与相对
求出它的面积米正方形边长为 ?
解 则面积为设正方形边长为,,yx.2xy ?
,41.2 时当 ?x ).(80 81.5)41.2( 22 my ??
41.241.2 2 ?? ?? xx xy,82.4?
,005.0?x?边长的绝对误差为?
005.082.4 ??? y?面积的绝对误差为 ).(02 41.0 2m?
y
y?面积的相对误差为?
8081.5
0241.0? %.4.0?
四、小结
近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf ????
00 xxxx dyy ?? ??,)( 0 xxf ???
),()()()( 000 xxxfxfxf ?????
,很小时当 x?
,0时当 ?x
一,填空题,
1, 利用公式 ))(()()(
000
xxxfxfxf ???? 计算 )( xf
时，要求 ______ 很小,
2, 当 0?x 时, 由 公 式 dyy ?? 可 近 似 计 算
_ _ _ _ _ _ _)1l n ( ?? x ； _ _ _ _ _ _ _ _t a n ?x,由此得
_ _ _ _ _ _ _45t a n ?? ； _ _ _ _ _ _ _ _002.1ln ?,
二,利用微分计算当 x 由 ?45 变到 0145 ??,时，函数
xy c o s? 的增量的近似值 ( 017453.01 ?? 弧度 ).
三,已知单摆的振动周期
g
l
T ?? 2, 其中 9 8 0?g 厘
米 / 秒
2
,l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20
厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多
少？
练 习 题
四,求近似值：
1, ?1 3 6ta n ； 2, 5 0 0 2.0a r c s i n ； 3, 3 9 9 6,
五、设 0?A,且
n
AB ??,证明
1?
???
n
n n
nA
B
ABA,并计算
10
1 0 0 0 的近似值,
六、已知测量球的直径 D 有 1% 的相对误差，问用公式
3
6
DV
?
? 计算球的体积时，相对误差有多大？
七、某厂生产 （教材 2-1 8 图）所示的扇形板，半径 R = 2 0 0
毫米，要求中心角 ? 为 ?55 产品检验时，一般用测量
弦长 L 的办法来间接测量中心角 ?,如果测量弦长 L
时的误差 L? = 0,1 毫米，问由此而引起的中心角测量
误差 ?? 是多少？
一,1,
0
xx ? ； 2, 0 0 2.0,0 1 3 0 9.0,,xx,
二,0021.0
2160
2
???,
三、约需加长 2.23 厘米,
四,1, - 0.96509 ； 2, 7430
o
? ； 3, 9.9867,
五,1.9953,
六,3%,
七、
0 0 0 5 6.0?
?
?
( 弧度 )=
551 ???
,
练习题答案
第二章 导数与微分
一、问题的提出
二、导数的定义
三、由定义求导数
四、导数的几何意义与物理意义
五、可导与连续的关系
六、小结
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
0t t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
?
??平均速度
0
0
tt
ss
?
?? ).(
2 0 tt
g ??
,0时当 tt ? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
??
?
g
tt
瞬时速度,0gt?
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置
播放
? ?
T
0x xo x
y )( xfy ?
C
N
M
如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 ??? N M TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???,)()(
0
0
xx
xfxf
?
??
,,0xxMN C ???? ?? 沿曲线
的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx ?
????
?
二、导数的定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
?
??
?
???
??????
??
?
?
记为处的导数在点数
并称这个极限为函处可导在点
则称函数时的极限存在之比当
与如果得增量
取相应地函数时仍在该邻域内
点处取得增量在当自变量有定义
的某个邻域内在点设函数
定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
????
?其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
?? 或
即
.
,0
慢程度
而变化的快因变量随自变量的变化反映了
它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导
内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy ?
★
★
关于导数的说明,
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作
的导函数这个函数叫做原来函数导数值
的一个确定的都对应着对于任一
??
?
x
xfxxfy
x ?
?????
??
)()(lim
0
即
.)()(lim)(
0 h
xfhxfxf
h
????
?
或
注意,,)()(.1
00 xxxfxf ????
★
播放
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼近
函数,
★
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????函数 )( xf 在点 0x 处可导 ? 左导数 )( 0xf ?? 和右
导数 )( 0xf ?? 都存在且相等,★
如果 )( xf 在开区间 ? ?ba,内可导，且 )( af ?? 及
)( bf ?? 都存在，就说 )( xf 在闭区间 ? ?ba,上可导,
★
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性
的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??,)(
0 存在xf ???
★
则 )( xf 在点 0x 可导，
,)( 0 存在xf ???
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??
,)()( 00 axfxf ???? ??且
.)( 0 axf ??且
三、由定义求导数
步骤, );()()1( xfxxfy ?????求增量;)()()2( x xfxxfxy ? ??????算比值
.lim)3( 0 xyy x ???? ??求极限
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf ?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?h
CC
h
?
? 0l i m
.0?
.0)( ??C即
例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
????? xxxxxf 及求设函数
解 h xhxx h s in)s in (li m)( s in 0 ???? ?
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
???
?,cos x?
.c o s)( s i n xx ??即
44
co s)( s i n ?
???
???
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n ????
?
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 ???? ????? nnnh hhxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx即
更一般地 )(.)( 1 Rxx ????? ???
)( ?x例如,12
1
2
1 ?? x,
2
1
x?
)( 1 ??x 11)1( ???? x,12x??
例 4,)1,0()( 的导数求函数 ??? aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x ???
?
? 0lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
??
?
.ln aa x?
.ln)( aaa xx ??即,)( xx ee ??
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 ??? aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0 ???? ?
.l o g1)( l o g exx aa ??即,
1)(ln
xx ??
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
?
?
?
?
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0 ?? ?,lo g
1 e
x a?
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
四、导数的几何意义与物理意义
o x
y )(xfy ?
?
T
0x
M
1.几何意义
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角
即切线的斜率
处的在点
表示曲线
????
??
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为
法线方程为
).)(( 000 xxxfyy ????
).()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率
处的切线的在点求等边双曲线
x
y ?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1??? xyk
2
1)
1(
?
??
xx 212
1
?
??
xx
.4??
所求切线方程为
法线方程为
),21(42 ???? xy
),21(412 ??? xy
.044 ??? yx即
.01582 ??? yx即
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率,
变速直线运动,路程对时间的导数为物体的
瞬时速度,
.lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
????
??
交流电路,电量对时间的导数为电流强度,
.lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
????
??
非均匀的物体,质量对长度 (面积,体积 )的导
数为物体的线 (面,体 )密度,
五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 ??? x?
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数
则称点若连续函数
xf
xxfxfxf ?? ???
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
?
?
?
?
??
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx ??
注意, 该定理的逆定理不成立,
★
3 1?? xy
x
y
0 1
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数
但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
??
?
???
?
?
?
????
例如,
,1)( 3 ?? xxf
.1 处不可导在 ?x
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定
不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
??
?
?
?
?
??
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在 ?x
0
1
1/π － 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点
的尖点为函数则称点符号相反
的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf ???
x
y
o x
y
0xo
)(xfy ? )(xfy ?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在
讨论函数
?
??
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nl i m 0 ?? ? xxx
.0)( 处连续在 ?? xxf
处有但在 0?x x
x
x
x
y
?
?
??
??
?
?
? 00
1s i n)0(
x??
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 ????? xyx
.0)( 处不可导在 ?? xxf
0)(lim)0( 0 ?? ? xff x?
六、小结
1,导数的实质, 增量比的极限 ;
2, axf ?? )( 0 ? ??? )( 0xf ;)( 0 axf ???
3,导数的几何意义, 切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法, 由定义求导数,
6,判断可导性
不连续,一定不可导,
连续
直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
思考题
函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf ?
与导函数 )( xf ? 有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知,)(
0
xf ? 是一个具体的
数值,)( xf ? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一
点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix ??,有唯一值 )( xf ? 与之对应，所以两
者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两
者的 联系 是：在某点 0x 处的导数 )( 0xf
?
即是导
函数 )( xf ? 在 0x 处的函数值．
一,填空题：
1, 设 )( xf 在
0
xx ? 处可导，即 )(
0
xf ? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
2, 已知物体的运动规律为
2
ts ?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3, 设
3 2
1
)( xxy ?,
2
2
1
)(
x
xy ?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy ?,则
它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练习题
4, 设 2)( xxf ?,则 ? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5, 曲线 xey ? 在点 )1,0( 处的切线方程为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf ? 存在，按照导数的定
义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1, A
xx
xfxf
xx
?
?
?
?
0
0
)()(
l i m
0；
2, A
h
hf
h
?
?
)(
l i m
0
，其中 )0(0)0( ff
?? 且
存在；
3, A
h
hxfhxf
h
?
???
?
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若 )( xf 为偶函数且
)0(f ?
存在，则
0)0( ??f
.
四,设函数
?
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条
件，
)( xf
在 0?x 处 (1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
?
?
?
??
?
?
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在
1?x
处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
?
?
?
?
?
?
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf
,求
)( xf
.
七,证明：双曲线
2
axy ? 上任一点处的切线与两
坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2 a
.
八,设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点
的坐标为 x,于是分布在区间 ]1,0[ 上细棒的质
量 m 是 x 的函数 )( xmm ?,应怎样确定细棒在点
0
x 处的线密度 （对于均匀细棒来说，单位长度细棒
的质量叫作这细棒的线密度）？
一,1, )(
0
xf ? ； 2, )(
0
xf ?? ；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2 ??
? x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5, 01 ??? yx,
二,1, )(
0
xf ? ； 2, )0(f ? ； 3, )(2
0
xf ?,
四,(1) 当
0?k
时,)( xf 在
0?x
处连续；
(2) 当
1?k
时,)( xf 在
0?x
处可导,且
0)0( ??f；
(3 ) 当
2?k
及
0?x
时,
)( xf ?
在
0?x
处连续,
五,1,2 ??? ba,
六,
?
?
?
?
?
?
0,1
0,c o s
)(
x
xx
xf, 八、
0
xx
dx
dm
?
.
练习题答案
第二节 函数的和、差、积、商
的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
二、例题分析
三、小结
一、和、差、积、商的求导法则
定理
并且可导
处也在点分母不为零们的和、差、积、商
则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
?
???
??
??????
??????
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
证 (3) ),0)((,)( )()( ?? xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0 ?
????
?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
?
?
?
?
?
证 (1),(2)略,
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0 ?
??????
?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h ?
???????
?
?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu ????
.)( 处可导在 xxf?
推论;)(])([)1(
11
??
??
???
n
i
i
n
i
i xfxf
);(])([)2( xfCxCf ??? ;)()(
)()()(
)()()(])([)3(
1 1
21
21
1
? ? ??
???
?
???
?
?
?
?
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
??
?
二、例题分析
例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy ???
解 23 xy ?? x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx ??
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
.s e c)( t a n 2 xx ??即
.c s c)( c o t 2 xx ???同理可得
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx ???同理可得
例 5,s i n h 的导数求 xy ?
解 ])(21[)( s i n h ?????? ? xx eexy )(21 xx ee ???,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h ?? xx 2c o s h
1)( t a nh ??
例 6 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf ?
??
?
??
?? 求设
解,1)( ?? xf,0时当 ?x
,0时当 ?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
??????
?
)11l n (1lim 0 xhhh ??? ?
,1 1 x??
,0时当 ?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
?????
???,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
??????
???,1?
.1)0( ??? f
.0,
1
1
0,1
)(
??
???
??
?
??? x
x
x
xf
三、小结
注意, );()(])()([ xvxuxvxu ??????
.)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
思考题
求曲线 上与 轴平行
的切线方程,
32 xxy ?? x
思考题解答
232 xy ??? 令 0??y 032 2 ??? x
3
2
1 ?x 3
2
2 ??x
切点为 ?
?
??
?
?
9
64,
3
2 ?
?
??
?
? ??
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64??y和
一,填空题：
1, 设 xxy s i n??,则 y ? = __ __ _ __ _ __,
2, 设
x
eay
xx
2
3 ???, 则
dx
dy
=_ __ __ __ _ __,
3, 设 )13(
2
??? xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= __ _ __ __ __ _,
4, 设
1se ct a n2 ??? xxy
,则
y ?
= __ _ __ __ __,
5, 设
55
3
)(
2
x
x
xfy ?
?
??,则 )0(f
?
= __ _ __ __ _.
6, 曲线 xy s i n
2
?
?
? 在
0?x
处的切线
轴与 x
正向的
夹角为 __ __ __ __ _,
练 习 题
二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
??
? ； 2,
110
110
?
?
?
x
x
y ；
3,
2
1
c s c2
x
x
y
?
? ； 4,
t
t
xf
?
?
?
1
1
)(,求 )4(f
?；
5, )0,0( ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy ???
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
?? 与
x
轴交点处的切线方程,
一,1, )c o s
2
s i n
( x
x
x
x ? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
?? ；
3,
2?； 4,
)t a nse c2(se c xxx ?； 5,
25
3； 6,
4
?
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
??
?； 2,
2
)110(
10ln210
?
?
x
x；
3,
22
2
)1(
]2c o t)1[(c s c2
x
xxxx
?
??； 4,
18
1；
5, )(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
?
?,
三、
)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b ?
??
.
四、
022 ??? yx
和
022 ??? yx
.
练习题答案
第三节 反函数与复合函数
的求 导法则
一、反函数的导数
二、复合函数的求导法则
三、小结
一、反函数的导数
定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
y
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
?
?
?
?
??
???
?
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
证,xIx ?任取 x?以增量给
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续xf?
),0(0 ????? xy 0)( ?? y?又知
x
yxf
x ?
????
?? 0l i m)(
y
xy
?
?? ??
1lim
0
)(
1
y???
.)(1)( yxf ? ???即
),0( xIxxx ?????
例 1,a r c s i n 的导数求函数 xy ?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 ????? yIyx?
,0c o s)( s in ??? yy且 内有在 )11( ??? xI
)( s in
1)( a r c s in
??? yx ycos
1?
y2s i n1
1
??
.1 1 2x??
.1 1)( a r c c o s 2xx ????同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx ???
)rcs in ?x
.1 1)co t( 2xx ????arc
例 2,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( ??? aaa yy且,),0( 内有在 ???? xI
)(
1)( l o g
??? ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 ?????? yy Iax?
特别地,1)( ln xx ??
二、复合函数的求导法则
定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
? ????
????
???
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
证,)( 0 可导在点由 uufy ? )(l i m 00 ufuyu ????? ??
)0lim()( 00 ?????? ?? ?? uufuy故
uuufy ?????? ?)( 0则
x
y
x ?
??
?? 0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
?? ?
x
u
x
uuf
xxx ?
???
?
???
?????? 0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf ? ???
推广 ),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 3,s inln 的导数求函数 xy ?
解,s in,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ??? x
u co s
1 ??
x
x
sin
cos? xcot?
例 4,)1( 102 的导数求函数 ?? xy
解 )1()1(10 292 ????? xxdxdy
xx 2)1(10 92 ???,)1(20 92 ?? xx
例 5,a r c s in22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy ???
解 )a r c s in2()2(
2
22 ??????
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
??????
.22 xa ??
)0( ?a
例 6,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 ???????? xxxy )2(3
1
12 ???? xx
x
例 7,1s i n 的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
三、小结
反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链
导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常
数与基本初等函数的和、差、积、商,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu ? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu ?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf ?在 处不可导,0?u
取 xxgu s i n)( ?? 在 处可导,0?x
|s i n|)]([ xxgf ?在 处不可导,0?x ?)1(
取 4)( xxgu ?? 在 处可导,0?x
44 ||)]([ xxxgf ??在 处可导,0?x ?)2(
一,填空题：
1, 设
4
)52( ?? xy,则 y ? = ___ __ ___ __ _.
2, 设 xy
2
s i n?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
3, 设 )a r c ta n (
2
xy ?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
4, 设
xy c o sln?
,则
y ?
= ___ __ ___ __ __.
5, 设
xx
y
2t a n
10?,则 y
?
= _ ___ __ ___ __ _.
6, 设
)( xf
可导，且 )(
2
xfy ?,
则
dx
dy
= ___ __ ___ __ _.
7, 设
x
k
exf
t a n
)( ?,则
)( xf ?
= ___ __ ___ __,
若
ef ??
?
?
?
?
?
?
4
?
，则
?k
___ ___ __ ___,
练 习 题
二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a r c c o s? ； 2,
x
x
y
2s i n
? ；
3, )l n (
22
xaxy ??? ； 4, )c o tl n ( csc xxy ?? ；
5,
2
)
2
(a r c s i n
x
y ? ； 6,
x
ey
a r c ta n
?；
7,
x
x
y
a r c c o s
a r c s i n
? ； 8,
x
x
y
?
?
?
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
?? xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy ??
的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0( ?f, 0)0( ??f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明 ? ?)( xfF 在 0?x 处
也可导,
一,1,
3
)52(8 ?x ； 2, x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x
?；
4, xt a n? ； 5, )2s e c22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx
? ；
6, )(2
2
xfx ? ； 7, xxke
kx
k
21t a n
s e cta n ??
?
,
2
1
.
二,1,
1
22
?xx
x； 2,
2
2s i n2c o s2
x
xxx ?；
3,
22
1
xa ?； 4, xc s c ；
5,
2
4
2
a r c s i n2
x
x
?； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x
?；
练习题答案
7,
22
)( a r c c o s12 xx?
?； 8,
)1(2)1(
1
xxx ??
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
?
???
.
第四节
初等函数的求导问题
双曲函数与反双曲函数的导数
一、初等函数的求导问题
二、双曲函数与反双曲函数的导数
三、小结
一、初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
???
???
???
??
???
?
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 ) ( ),( x v v x u u ? ? 可导，则
（ 1 ） v u v u ? ? ? ? ) (,（ 2 ） u c cu ? ? ? ) (
（ 3 ） v u v u uv ? ? ? ? ? ) (,（ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? ? ? v v v u v u v u,
( 是常数 ) C? ?
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
例 1,的导数求函数 xxxy ???
解 )(2 1 ??????? xxxxxxy
))(2 11(2 1 ??????? xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx ??????
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
????
????
例 2,)]( s i n[ 的导数求函数 nnn xfy ??
解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy ?????? ?
)( s i n)( s i n1 nnn xxn ? ???? ? 1co s ??? n nxx
).( s i n)]( s i n[)( s i n
)]( s i n[co s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
? ??????
?????
?
??
二、双曲函数与反双曲函数的导数
xx co s h)( s i n h ?? xx s i n h)( co s h ??
x
xx
co s h
s i nhta nh ??
x
xxx
2
22
c o s h
s i n hc o s h)( ta n h ????
即 xx 2c o s h
1)( t an h ??
同理
)11(11 22 xxxx ????? 21 1 x??
1
1
2 ?? x
21
1
x??
)1l n (s i n h 2xxx ???? ar
2
2
1
)1()s i n h(
xx
xxx
??
??????
ar
ar )c o s h( ?x
ar )ta n h( ?x
例 3,)ha r c t a n ( t a n 的导数求函数 xy ?
解 )(t a n hta nh1 1 2 ????? xxy
xx 22 c o s h
1
t a n h1
1 ?
??
x
x
x 2
2
2 c o s h
1
c o s h
s i n h
1
1
?
?
?
xx 22 s i n hc o s h
1
??,s i n h21
1
2 x??
三、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初
等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键, 正确分解初等函数的复合结构,
思考题
幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf ? ),( ?????x
在 处不可导,0?x ?)1(
2)( xxf ? ),( ?????
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题：
1, 设
n
x
x
y
ln
?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
2, 设
x
y
1
c o sln?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
3, 设
xxy ??
，则 y
?
= _ ___ __ ___ _.
4, 设
tt
tt
ee
ee
y
?
?
?
?
?,则 y ? = _ ___ __ ___,
5, 设
)9 9 9()2)(1()( ???? xxxxxf ??
则
)0(f ?
= __ __ __ ___ _.
二,求下列函数的导数：
1, )1t a n h ( 2xy ?? ；
2, ?y s i n har )1( 2 ?x ；
练 习 题
3, ?y c o s har )(
2 x
e ；
4,
x
xey
c o s h
s i n h? ；
5,
2
)
2
( a r c t a n
x
y ? ；
6,
x
ey
1
s i n
2
?
? ；
7,
2
1
2
a r c s i n
t
t
y
?
?,
一,1,
1
ln1
?
?
n
x
xn； 2,
xx
1
ta n
1
2； 3,
xxx
x
?
?
4
12；
4,
t
2
c o s h
1； 5, -99 9!.
二,1,
)1(c o s h
2
22
x
x
?； 2,
22
2
24
?? xx
x；
3,
1
2
4
2
?
x
x
e
e； 4, )s i n h(c o s h
2c o s h
xxe
x
? ；
5,
2
a r c t a n
4
4
2
x
x?； 6,
x
e
xx
1
s i n
2
2
2
s i n
1 ?
? ；
练习题答案
7,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
1,
1
2
1,
1
2
2
2
2
2
t
t
t
t
y,
第五节 高阶导数
一、高阶导数的定义
二,高阶导数求法举例
三、小结
一、高阶导数的定义
问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
二,高阶导数求法举例
例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy ?????? 求设
解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
022 )1(
2)0(
??
?????
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
??
?????
xx
xf;0?,2??
1.直接法, 由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
例 3,),1l n ( )( nyxy 求设 ??
解
注意,
xy ??? 1
1
2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 4,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设 ?
解 bxbebxaey axax c o ss i n ???
)c o ss i n( bxbbxae ax ??
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax ???????
)]co s ()s i n ([22 ?????????? bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 ??????? bxbaeba ax
??
)s i n ()( 222)( ????? nbxebay axnn )a rct a n( ab??
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7,,11 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
例 8,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设 ??
解 3232 )( c o s)( s i n xxy ??
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx ????
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n ???
x2s i n431 2?? 2 4co s1431 x????
x4co s8385 ??
).24co s (483)( ??????? nxy nn
三、小结
高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题
设 连续，且, )(xg? )()()( 2 xgaxxf ??
求, )(af ??
思考题解答
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf ???????
)( xg ??? 不一定存在 故用定义求 )(af ??
)(af ?? ax afxfax ? ???? ? )()(lim 0)( ?? af
ax
xf
ax ?
??
?
)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax ???? ? )(2 ag?
一,填空题：
1, 设
t
e
t
y
s i n
? 则 y ?? =__ __ __ ___,
2, 设
xy t an?
,则 y
??
= ___ __ ___ _.
3, 设 xxy a r c ta n)1(
2
??,则 y
??
= _ ___ __ __.
4, 设
2
x
xey ?,则
y ??
= ___ __ ___ _.
5, 设 )(
2
xfy ?,
)( xf ??
存在，则
y ??
= __ ___ __ __,
6, 设
6
)10()( ?? xxf,则
)2(f ???
=___ __ ___ _.
7, 设
nn
nnn
axaxaxax ?????
?
??
1
2
2
1
1
?
( n
aaa,,,
21
?
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf ???? ?
,
则 )(
)1(
xf
n ?
= ___ __ ___ __ __,
练 习 题
二,求下列函数的二阶导数,
1,
x
xx
y
42
3
??
? ；
2, xxy lnc o s
2
? ；
3, )1l n (
2
xxy ???,
三,试从
ydy
dx
?
?
1
，导出,
1,
32
2
)( y
y
dy
xd
?
??
?? ；
2,
5
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd
?
???????
?,
四、验证函数 xx ececy ?? ??? 21 ( ?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 ???? yy ?,
五,下列函数的 n 阶导数,
1, xey
x
c o s? ；
2,
x
x
y
?
?
?
1
1；
3,
23
2
3
??
?
xx
x
y ;
4, xxxy 3si n2si nsi n?,
一,1, te
t
c o s2
?
? ； 2, xx t a ns e c2
2；
3,
2
1
2
a r c t a n2
x
x
x
?
? ； 4, )23(2
2
2
xxe
x
? ；
5, )(4)(2
222
xfxxf ???? ； 6, 20 736 0 ；
7, !n ； 8, )!1( ?n,
二,1,
3
2
5
8
4
3
4
?
?
?? xx ；
2,
2
2
c o s2s i n2
ln2c o s2
x
x
x
x
xx ???? ；
3,
2
3
2
)1( x
x
?
.
练习题答案
五, 1, )
4
c o s ()2(
?
nxe
xn
? ；
2,
1
)1(
!2
)1(
?
?
?
?
n
n
x
n；
3, )2(],
)1(
1
)2(
8
![)1(
11
?
?
?
?
?
??
n
xx
n
nn
n；
4, )
2
2s i n (2[
4
1 ?
?
n
x
n
+ )]
2
6s i n (6)
2
4s i n (4
?
??
?
?
n
x
n
x
nn
,
第六节
隐函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
一、隐函数的导数
二、对数求导法
三、由参数方程所确定的函数的导数
四、相关变化率
五、小结
一、隐函数的导数
定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
例 1
.,
0
0?
???
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解,求导方程两边对 x
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
?
??,0,0 ?? yx由原方程知
0
00
?
?? ?
???
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点
在该点的法并证明曲线的切线方程点
上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC ??
解,求导方程两边对 x yxyyyx ????? 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
?
????
.1??
所求切线方程为 )23(23 ???? xy,03 ??? yx即
2
3
2
3 ??? xy法线方程为,xy ?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx ?????
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 ?????? yyyxyx
得代入 1,0 ?? yx ;4110 ?? ??yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 ??????????? yyyyyxyx
得41
1
0 ??
?
?
y
xy,1,0 ?? yx代入,16
1
1
0 ????
?
?
y
xy
二、对数求导法
观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy ?
?
???
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导
方法求出导数,
--------对数求导法
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
??????? ????? xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy ??????? )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 ???????? xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x ?? ??? 求设
例 5
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
一般地
)0)(()()( )( ?? xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd ???又
)(ln)()( xfdxdxfxf ????
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv ???????
)(ln)()(ln xuxvxf ???
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
例如
??
?
?
?
,
,2
2ty
tx
2
xt ?
22 )
2(
xty ???
4
2x
? xy 21???
消去参数
问题, 消参困难或无法消参如何求导?
t
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ???? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?即
,)( )( 中在方程
??
?
?
?
ty
tx
?
?
,)( )( 二阶可导若函数
??
?
??
??
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????即
例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
c o s1
s i n
?? taa
ta
co s
s i n
??
2
co s1
2
s i n
2
?
?
?
?? ?
?tdx
dy
.1?
.方程
处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n( ??
??
?
??
?? t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt ???? ?? 时当
所求切线方程为
)12( ???? ?axay
)22( ???? axy即
例 7
解
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,c o s
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻
的运动方向炮弹在时刻求
其运动方程为发射炮弹
发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映
时刻的切线方向轨迹在
时刻的运动方向即在
t
t
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
??
???
?
tv
gttv
dx
dy
?
?
c o s
s i n
0
0
v
gtv ??
.co ss i n
0
00
0 ?
????
? v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
?? ???? ?co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
?? ????? 00 s i n gtv ?? ?
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv ?? 2020020 s i n2 tggtvv ??? ?
例 8
解
.
s i n
c o s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
?
?
?
?
?
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
)s i n(co s3
co ss i n3
2
2
tta
tta
?? tta n??
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
)co s(
)t a n(
3 ?
???
ta
t
tta
t
s inc o s3
s e c
2
2
?
??
ta
t
s i n3
s e c 4?
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx ??
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例 9
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
?
ht
5 0 0ta n
h??
求导得上式两边对 t dtdhdtd ??? 5 0 01s ec 2 ??
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2 ?? ?米时当 h
)/(14.0 分弧度?? dtd ? 仰角增加率
?
米500
米500
例 10
解
,20
,1 2 0,4 0 0 0
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时
问水深的水槽顶角为米形状是长为
水库秒的体流量流入水库中米河水以
则水库内水量为
水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV ?
求导得上式两边对 t dtdhhdtdV ?? 38000
,/2 8 8 0 0 3 小时米?dtdV?
小时米 /1 0 4.0?dtdh 水面上升之速率
060
,20 米时当 ?? h
五、小结
隐函数求导法则, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 解法, 通过建立两者之间的关系,用链
式求导法求解,
思考题
设
?
?
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
，由
)(
)(
t
t
y
x
?
?
?
?
?? )0)(( ?? t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
?
?
??
??
???,对吗？
思考题解答
不对,
? ?xx ydxdy ???? dxdtdtyd x ??? )(1)( )( ttt
t ??
?
??
??
?
??
?
?
?
??
一,填空题：
1, 设 01552
223
????? yxyyxx 确定了 y 是x 的函
数，则
)1,1(
dx
dy
=_______ _, ?
2
2
dx
yd
______ __.
2, 曲线 7
33
??? xyyx 在点 （ 1, 2 ）处的切线方程
是 ________ ___.
3, 曲线
?
?
?
?
?
tty
ttx
s i n
c o s
在
2
?
?t
处的法线方程 ______ __.
4, 已知
?
?
?
?
?
tey
tex
t
t
s i n
c o s
,则
dx
dy
=______ ；
3
?
?t
dx
dy
=______,
5, 设
yx
exy
?
?
,则
dx
dy
=____ ____,
练 习 题
二,求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
y
xey ?? 1 ；
2, )t a n ( yxy ?? ；
3,
y
x
xy ? )00( ?? yx,,
三,用对数求导法则求下列函数的导数：
1,
2
x
xy ? ；
2,
5
4
)1(
)3(2
?
??
?
x
xx
y ；
3,
x
exxy ?? 1s i n,
四,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
?
?
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s；
2,
?
?
?
???
??
)()(
)(
tftfty
tfx
设 )( tf
??
存在且不为零,
五,求由参数方程
?
?
?
??
??
tty
tx
a r c ta n
)1l n (
2
所确定的函数的
三阶导数
3
3
dx
yd
,
六、设
)( xf
满足
xx
fxf
3
)
1
(2)( ??
，求
)( xf ?
,
七,在中午十二点正甲船的 6 公里 / 小时的速率向
东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里 / 小
时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速
率为多少？
八,水注入深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，
其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其
表面上升的速率为多少？
一,1,
3
4
,
5210
)(1020846
2
2
??
???????
xxy
yxyyyxxyx；
2,
02311 ??? yx
3, 0
22
???
??
yx ；
4, 32,
s i nc o s
c o ss i n
??
?
?
tt
tt； 5,
yx
yx
ex
ye
?
?
?
?
.
二,1,
3
2
)2(
)3(
y
ye
y
?
?；
2, - )(ta n)(c s c2
32
yxcyx ?? ；
3,
3
22
)1(l n
)1(l n)1(l n
?
???
yxy
xxyy
.
练习题答案
三,1, )1ln2(
1
2
?
?
xx
x；
2, ]
1
5
3
4
)2(2
1
[
)1(
)3(2
5
4
?
?
?
?
??
??
xxxx
xx；
3, ]
)1(2
c o t
1
[1s i n
2
1
x
x
x
e
e
x
x
exx
?
???,
四,1,
ta
b
32
s i n； 2,
)(
1
tf ??
.
五、
3
4
8
1
t
t ?
,六、
2
1
2
x
?,
七,-2.8( 公里 / 小时 ).
八,204.0
25
16
?
?
( 米 / 分 ).
第七节 函数的微分
一、问题的提出
二、微分的定义
三、可微的条件
四、微分的几何意义
五、微分的求法
六、微分形式的不变性
七、小结
一、问题的提出
实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到设边长由
,20xA ?正方形面积?
2020 )( xxxA ??????
.)(2 20 xxx ????? )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax ??
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
??
?
求函数的改变量时为
处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy ?????
.)()(33 32020 xxxxx ???????? )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy ?????
),()2( xox ?? 的高阶无穷小是
既容易计算又是较好的近似值
问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy ?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy ?????;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA ??
dy
y??
xA
xo
??
??? )(1 ).0(1 ??? x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx ???
三、可微的条件
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
???
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
??
?
即记作
称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ??? ).( xfdxdy ??
".",微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
四、微分的几何意义
)(xfy ?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
五、微分的求法
dxxfdy )(??
求法, 计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
六、微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论,
的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设 ??
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax ????? ??
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s ??????? ??
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax ?? ?
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
例 5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd ???
,co s)( s in)1( td ttd ?????
)( s i n1co s tdt d t ?????
.co s)s i n1( t d tCtd ??????
);s i n1( td ???
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22 ??
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd ??
七、小结
微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题
函数的增量问题 微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫
做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导 ?
★
★
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
000
00
它是无穷小实际上的定义域是
它的线性函数是而微分
处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxxfdy
xfxxf
????
?
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx ??? ???,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量线方程在点
处的切在点是曲线
而微分处切线的斜率点
在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
??
??
??
★
思考题 因为一元函数 )( xfy ? 在
0x 的可微性与
可导性是等价的，所以有人说,微分就是导
数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答
说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引
出线性主部而得到的，导数是从函数变化
率问题归纳出函数增量与自变量增量之比
的极限，它们是完全不同的概念,
一,填空题,
1, 已知函数
2
)( xxf ? 在点 x 处的自变量的增量 为
0.2,对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8,那么
自变量 x 的始值为 __________,
2, 微分的几何意义是 __________,
3, 若
)( xfy ?
是可微函数，则当 0?? x 时,
dyy ??
是关于 x? 的 ________ 无穷小,
4,
x d xd ?si n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
5,
dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
6,
x d xd 3s e c___ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2
?
,
7,
x
exy
22
?
,
____________
22
dxdedy
x
??
,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
(a r c ta n
2
?
x
e
d dxde
x
_ _ _ _ _ _ _ _?
,
练 习 题
二,求下列函数的微分,
1,
1
2
?
?
x
x
y ；
2,
2
)]1[l n ( xy ?? ；
3,
2
1a r c s i n xy ?? ；
4,
2
2
1
1
a r c ta n
x
x
y
?
?
? ；
5,
xey
x
3c o s
3??
?
，求
3
?
?x
dy ；
6,求由方程
22
)c o s ( yxxy ? 所确定的 y 微分,
一,1, - 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4, Cx ??
?
c o s
1；
5, Ce
x
?
? 2
2
1； 6, Cx ?3t a n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
x
x
e
e
e
e
4
2
4
2
22
,
2
22
??
,
二,1, dxx
2
3
2
)1(
?
? ；
2,
dx
x
x
1
)1l n (2
?
?；
练习题答案
3,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4, dx
x
x
4
1
2
?；
5, dx3 ；
6, dx
x
y
.
第八节
微分在近似计算中的应用
一、计算函数增量的近似值
二、计算函数的近似值
三、误差估计
四、小结
一、计算函数增量的近似值
,
,0)()( 00
很小时
且处的导数在点若
x
xfxxfy
?
???
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米
半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径
解,2rA ??设,05.0,10 厘米厘米 ??? rr
rrdAA ?????? ?2 05.0102 ???? ).( 2厘米??
.)( 0 xxf ???? 00 xxxx dyy ?? ??
二、计算函数的近似值;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf ?
)()( 00 xfxxfy ?????,)( 0 xxf ????
.)()()( 000 xxfxfxxf ??????? )( 很小时x?
例 1,0360c o s o 的近似值计算 ?
解,c o s)( xxf ?设 )(,s i n)( 为弧度xxxf ????
,3 6 0,30 ????? xx?
.2 3)3(,21)3( ??????? ff
)3603co s (0360co s o ?????? 3603si n3c os ??????
3602
3
2
1 ????,4 9 2 4.0?;0)(.2 附近的近似值在点求 ?xxf
.)0()0()( xffxf ?????
,)()()( 000 xxfxfxxf ????????
.,00 xxx ???令
常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(si n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
??
???
????
为弧度
为弧度
证明,1)()1( n xxf ??设,)1(1)(
11 ???? nx
nxf
.1)0(,1)0( nff ???
xffxf )0()0()( ????,1 nx??
例 2,计算下列各数的近似值
解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03 ?e
33 5.110005.998)1( ??
3 )
10 00
5.11(10 00 ?? 3 0015.0110 ??
)00 15.0311(10 ???,995.9?
03.01)2( 03.0 ???e,97.0?
三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法
等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，
而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误
差，我们把它叫做 间接测量误差,
定义,
.,
,
的绝对误差叫做那末为
它的近似值如果某个量的精度值为
aaAa
A
?
.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa aAa ?
问题,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法,将误差确定在某一个范围内,
.
,
,
,
,,
的相对误差限
叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末
即又知道它的误差不超过
测得它的近似值是如果某个量的精度值是
A
a
A
aA
aA
A
A
A
A
?
?
???
?
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误
差 与 相对误差,
例 3
.
,,005.041.2
误差并估计绝对误差与相对
求出它的面积米正方形边长为 ?
解 则面积为设正方形边长为,,yx.2xy ?
,41.2 时当 ?x ).(80 81.5)41.2( 22 my ??
41.241.2 2 ?? ?? xx xy,82.4?
,005.0?x?边长的绝对误差为?
005.082.4 ??? y?面积的绝对误差为 ).(02 41.0 2m?
y
y?面积的相对误差为?
8081.5
0241.0? %.4.0?
四、小结
近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf ????
00 xxxx dyy ?? ??,)( 0 xxf ???
),()()()( 000 xxxfxfxf ?????
,很小时当 x?
,0时当 ?x
一,填空题,
1, 利用公式 ))(()()(
000
xxxfxfxf ???? 计算 )( xf
时，要求 ______ 很小,
2, 当 0?x 时, 由 公 式 dyy ?? 可 近 似 计 算
_ _ _ _ _ _ _)1l n ( ?? x ； _ _ _ _ _ _ _ _t a n ?x,由此得
_ _ _ _ _ _ _45t a n ?? ； _ _ _ _ _ _ _ _002.1ln ?,
二,利用微分计算当 x 由 ?45 变到 0145 ??,时，函数
xy c o s? 的增量的近似值 ( 017453.01 ?? 弧度 ).
三,已知单摆的振动周期
g
l
T ?? 2, 其中 9 8 0?g 厘
米 / 秒
2
,l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20
厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多
少？
练 习 题
四,求近似值：
1, ?1 3 6ta n ； 2, 5 0 0 2.0a r c s i n ； 3, 3 9 9 6,
五、设 0?A,且
n
AB ??,证明
1?
???
n
n n
nA
B
ABA,并计算
10
1 0 0 0 的近似值,
六、已知测量球的直径 D 有 1% 的相对误差，问用公式
3
6
DV
?
? 计算球的体积时，相对误差有多大？
七、某厂生产 （教材 2-1 8 图）所示的扇形板，半径 R = 2 0 0
毫米，要求中心角 ? 为 ?55 产品检验时，一般用测量
弦长 L 的办法来间接测量中心角 ?,如果测量弦长 L
时的误差 L? = 0,1 毫米，问由此而引起的中心角测量
误差 ?? 是多少？
一,1,
0
xx ? ； 2, 0 0 2.0,0 1 3 0 9.0,,xx,
二,0021.0
2160
2
???,
三、约需加长 2.23 厘米,
四,1, - 0.96509 ； 2, 7430
o
? ； 3, 9.9867,
五,1.9953,
六,3%,
七、
0 0 0 5 6.0?
?
?
( 弧度 )=
551 ???
,
练习题答案
