不定积分
习题课
积分法
原 函 数
选
择
u
有
效
方
法
基
本
积
分
表 第一换元法 第二换元法
直接
积分法
分部
积分法
不 定 积 分
几种特殊类型
函数的积分
一、主要内容
基本积分表
? ?? kCkxk d x ()1( 是常数 ) )1(
1)2(
1
?????
??
??
?
? Cxdxx
? ?? Cxxdx ln)3(
??? dxx 21 1)4( Cx ?a r c ta n
??? dxx 21 1)5( Cx ?a r c s in
? ?xdxc o s)6( Cx ?sin
? ?x d xs i n)7( Cx ?? c o s
? ?x d xx t a ns ec)10( Cx ?sec
? ?x d xx co tcs c)11( Cx ?? csc
?? dxe x)12( Cex ?
?? xdx2c o s)8( ? ?xdx2s e c Cx ?tan
?? xdx2si n)9( ? ?xdx2c s c Cx ?? cot
?? dxa x)13( Caa
x ?
ln
? ??? Cxx d x co slnt a n)16(
? ?? Cxx d x s i nlnco t)17(
? ??? Cxxxdx )t a nl n ( s ecs ec)18(
? ??? Cxxx d x )co tl n ( cs ccs c)19(
Caxadxxa ???? a r ct a n11)20( 22
Cxa xaadxxa ?????? ln2 11)22( 22
Caxdxxa ???? a r c s i n1)23( 22
Caxx
dx
ax
????
??
)l n (
1)24(
22
22
Cax axadxax ?????? ln2 11)21( 22Cx??sh)14( ?xdx ch
?xdx Cx?? ch)15( sh
四种类型分式的不定积分;ln.1 CaxAaxA dx ????? ;))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn ????? ??;
4/
2/
a r c t a n
4/
2/
ln
2
.3
22
2
2
C
pq
px
pq
MpN
qpxx
M
dx
qpxx
NMx
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??? ?????? ???? ? dxqpxx MpNqpxx dxpxMdxqpxx NMx nnn )( 2/)( )2(2)(.4 222
此两积分都可积,后者有递推公式
二、典型例题
例 1 ?
?
? dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式
解
.49 32? ? dxxx
xx
求 ?
?
?
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
? ? 1
2
3ln
1
2t
dt
? ???? dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt ????? 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
?????
tx ?)23(令
例 2
解
.c o s1 )s i n1(? ? ? dxx xe
x
求 ?
?
? dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
? ?? dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[(? ?? xx dexxde?? )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x ??
例 3
解
.1122? ?? dxxx x求
,1tx ?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
?
?
?
? ?原式
dttt? ???? 211
?? ?????? 222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt ????? 21a r c s i n
.1a r c s i n1
2
Cxxx ????
(倒代换 )
例 4
解
.
1 632
?
???
xxx
eee
dx求
,6 te x ?令,ln6 tx ?,6 dttdx ?
dttttt 61 1 23 ????? ?原式 dtttt? ??? )1)(1( 6 2
22 11)1)(1(
6
t
DCt
t
B
t
A
ttt ?
??
?????设
)1()()1()1)(1(6 22 ???????? ttDCttBtttA
解得,3,3,3,6 ??????? DCBA
dttttt )1 331 36( 2?????? ?原式
Ctttt ??????? ar c t an3)1l n (23)1l n (3ln6 2
.a r c t a n3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
???????
例 5
解
.)1l n(ar c t an 2? ? dxxxx求
dxxx )1l n ( 2? ?? )1()1l n (21 22 xdx ??? ?
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx ?????
]21)1l n ()1(`21[ar c t an 222 xxxxd ???? ?原式
xxxx ar c t an])1l n ()1[ ( `21 222 ????
dxxxx ]1)1[ l n (21 2
2
2
???? ?
例 6
解
.)2( 10? ? xx dx求
? ?? )2( 1010
9
xx
dxx原式 ?
?? )2(
)(
10
1
1010
10
xx
xd
Cxx ???? )]2l n ([ l n201 1010
.)2l n (201ln21 10 Cxx ????
.
2
)1ln (
2
]3)1ln ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
????
?????
例 7
解
.c o s1 s i n? ?? dxxxx求
dx
x
xx
x
?
?
?
2
c os2
2
c os
2
si n2
2
原式
dxxdxxx ?? ??
2
t a n
2
c o s2 2
dxxdxxxx ?? ??? 2t an2t an2t an
.2t an Cxx ??
例 8
解 ? ?
????? dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
? ? ???? dxxf xfxfxf xf求
? ? ??????? dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 22
? ??? ])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf ???
例 9
解
.},1m a x {? dxx求
},,1m a x {)( xxf ?设
,
1,
11,1
1,
)(
?
?
?
?
?
?
???
???
?
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在 ????xf? ).( xF则必存在原函数,
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
?
xCx
xCx
xCx
xF
须处处连续，有又 )( xF?
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
???? ??
????
,211 12 CC ?????即
)(l i m)21(l i m 2
13
2
1
CxCx
xx
???
?? ??
,121 23 CC ???即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
????
??
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ??? ＋可得,1C ?联立并令
).(,0)0(1 101)( l n10 xffxx xxf 求及设例 ?
?
?
?
????
????
??
?
?
?
?????????
???????
??
tee
te
tf
tt
t
01
0101
)(解
??
?
?
?
?????
?????
?
tCe
tCt
tf t
0
0
)(
2
1
220 1lim CCe tt ????? ）（ 110lim CCtt ??? ??
0)0( 1 ?? Cf 12 ??? C
??
?
?????
?????
xe
xxxf
x 01
0)(
? ??,)(,s i n)( dxxfxxxf 求的原函数为一、设
? ? ???? )()( xfxddxxfx解 ? ???? dxxfxfx )()(
Cxfxfx ???? )()(
2
1
c o s212 1c o s)( si n)(
?
???? xxxxxxf
2
3
12 c o s
4
1)si n()
2
1()( ?? ???? xxxxxf
).(,c o s)( si n xfxxf 求二、设 ??
? ? ???? tdtfdxxfxf s i n)( s i n)()(解
t d tttd? ??? 2c o ss i nc o s dtt? ??
2
12c o s
Ctt ??? 24 2s in,a r c s i n2112 2 Cxxx ????
练习
? ??????,)(,ln)]([2ln)1( 2
22
dxxxxfx xxf 求且三、设
xxxxf
x
xxf ln
1)(
1)(ln)]([
11
11ln)1(
2
22
??? ?????
??
????解
,11)( ???? xxx则,1ln21 21)( Cxxdxxxdxx ????? ????? ?
.)(1,ar c s i n)( dxxfCxdxxxf? ??? 求四、设
21
1)(
x
xxf
?
?解
21
)(
1 xx
xf ???
)1(12 11)(1 222 xdxdxxxdxxf ?????? ???则
.)1(3 1 2
3
2 Cx ????
.
)(1
)()(,s i n)(
2 dxxf
xa r c t g fxfxxf ?
?
?? 求五、已知
)()(
)(1
)()(
2 xd a r c t g fxa r c t g fdxxf
xa r c t g fxf ?? ?
?
?
Cxa r c t g f ?? 2
3
)]([32,]s i n[
3
2 23 Cxa r c t g ??
? ?? )4( xx dx Cx ?2a r c s in2 )2 2a r c s i n( Cx ??或
[注 ] ? ?
? )4( xx
dx ? ?
? 2
1
)(4 x
dxx ? ?
? xdx 2)(4
2 Cx ?
2a r c s in2
或
? ?? )4( xx dx ? ??? 2)2(4 xdx ? ??? ? 2)2(4 )2( xxd Cx ??2 2a rc s in
Cxxxx ????? c o ts i nlnc o t
? ?????? x d xxxxxd 2c o ts i nlnc o tc o ts i nln
?? dxxx2s i ns i nln
?? dxxx2s ins inln
Cxxxxdxxxx ??????????? ? c o ts i nlnc o t)1c s c(s i nlnc o t 2
? ???? Cxadxxa c o t1s i n11 222? ? dxxbxa 2222 c o ss i n 1
?? dxxb 22 c o s11? ? dxxbxa 2222 c o ss i n
1
? ? dxxbxa 2222 c o ss i n 1 ? ?? )( t a nt a n
1
222 xdbxa
Cxbaab ?? )t a na r c t a n (1
当 a=0,b≠0时
Cxb ?? t a n12
当 a≠0,b=0时
计算 ? ?,c o ss i n 1 2222 dxxbxa 其中 a,b是不全为 0的非负常数
解 当 a≠0,b≠0时
计算
Cx xxx ????? |1|ln1ln
求 ?,s i n 2 xdxx
解 原式 = ? ? dxxx 2 2c o s1 ?? ?? xxdx d x 2s i n4121
???? xdxxxx 2s i n412s i n414 2
Cxxxx ???? 2c o s812s i n414 2
? ?,)1( ln 2 dxxx
??? ??????????? dxxxxxdxxxxxdxxx )11 1(1 ln11 11 ln)1( ln 2
求 ?
?,1 2
3
dxxx
解 原式 = ? ?? )1(12 222 xdxx )1()1 11(21 222 xdxx ????? ?
Cxx ????? 2123 )1()1(31 22
求 ? ?,1 dxexex
x
解 令,1?? xeu 则 ),1ln ( 2ux ??,1 2 2 duuudx ??
从而 ?
? dxe
xe
x
x
1 ? ??
??? du
u
u
u
uu
2
22
1
2)1l n ()1( duu )1(ln2 2?? ?
? ???? duuuuu 222 1 4)1l n (2 Ca r c t g uuuu ????? 44)1l n (2 2
Cea r c t geex xxx ??????? 141412
? ?,)1( 2 dxxxe
x
求 ?
? xx
dx
s i n2)2s i n (
? ? )1( coss in2 xdx解法 1 原式 =
Cxx ??? |2t a n|ln412t a n81 2?
?
? )
2
( t an
2
t an
2
t an1
4
1
2
xd
x
x
??
2
c os
2
t an
)
2
( t an
4
1
3 xx
xd
??
2
c os
2
s in
)
2
(
4
1
3 xx
x
d
解法 2 原式 = ?
? 2)2s in2( c os xx
dx
Cx ?
?
??
2t an1
2
dxx
x
?
?
?
2
2
)
2
t a n1(
2
s e c
dxx
xd
?
?
?
?
2)
2
t an1(
)
2
t an1(
2
ceeedxe e xxxx
x
?????? ])1(74)1([34.1 4/74/34
2
计算不定积分 dxxx x? ? )1(ar c ta n 22
解法 1 原式 = dxx xdxx x ?? ?? 22 1a r c t a na r c t a n
Cxxxx x ?????? 222 1ln21)( ar c t an21ar c t an
2
2 )( ar c t an2
1
)1(
ar c t an x
xx
dx
x
x ?
???? ?
解法 2 令,tan tx ?
原式 = dttt )1( c s c 2 ??
Ctttt ????? 221|s i n|lnc o t
? ??? 221s i nc o sc o t tdttttt
Cxxxx x ?????? 22 )( ar c t an211 ||lnar c t an
计算 ? ? dxxe x 22 )1( t a n
解 原式 = x d xex d xe xx t a n2s e c 222 ??
?? ??? x d xex d xexe xxx t a n2t a n2t a n 222
Cxe x ?? t a n2
? ?? dxxx x )9( )3( 2
2
Cxx ?? 3a r c t a n2ln
计算
? ?? dxxx xln1 ln1 Cxxx ??? 1lnlnln
? ? dxx xx 22 )1( ln Cx xxx ????? 2 22 1ln411 ln21
? ? dxxx 8
2
)1( ???? ??????? ?? dxxdxxdxxdxxx 8768
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
11
? ?? xdxx xx 22 22 s e c1s i n Cxa r cx ?? c o tt a n
? ?? dxxex x x )1( 1 Cxexe xx ??? )1l n ()l n (
? ?? 21 xx dx
? ? dxxa xx 2
Cxxx ???? )]1l n ([ a r c s i n21 2
)2(22a r cs i n3 2 xaxaaxa ?? Cxaxxa ???? )2(2
? ?? )2()3( 3 xx dx cxx ??? 122
? ? 2
22
x
dxxa
caxaxax ???? a r c s i n11 22 分部积分或三角代换
? dxxx2
3)(l n
?
?
dx
x
xe ar c t gx
2
3
2 )1(
Cxxxx ???? ]6ln6)( l n3)[ ( l n1 23
Cexx a r c t g x ??? 212 1
设 ? x d xnta n
21ta n
1
1
?
? ?
?
? nnn Ix
n
I,并求 ? x d x5ta n,
? ?? xxdxsin1 c o s1
? ? xxdx c o s)s i n45( ? dxxx56sinc o s
2t a n)]1l n (211 11[ l n4 2 xtcttt ???????
? xdx3s e c
求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
? ?
?
?
dx
x
x
3
1； 2,
?
?
?
dx
xx
x
s i n
c o s1；
3,
?
?
24
1 xx
dx； 4,
?
dx
x
x
3
2
c o s
s i n；
5,
?
?
dx
x
x
28
3
)1(； 6, dx
x
x
?
? s i n1
s i n；
7,
?
?
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
?
?
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9,
?
?? dxxx
22
)]1[l n ( ； 10,
?
? xdxx a r c s i n1
2；
11, dx
xx
xx
?
? c o ss i n
c o ss i n； 12, ?
?? ))(( xbax
dx
.
1, C
xx
?
?
?
? 1
1
)1(2
1
2；
2, Cxx ?? )si nl n ( ；
3, C
x
x
x
x
?
?
?
?
?
2
3
32
1
3
)1(；
4, Cxx
x
x
??? )ta nl n (s e c
2
1
c o s2
s i n
2；
5, Cx
x
x
??
?
4
8
4
a r c ta n
8
1
)1(8；
6, Cx
x
??
?
2
ta n1
2
,或
Cxxx ??? t a nse c；
答案
7, C
x
x
?
?
66
)1(
ln ；
8, Ce
e
xe
x
x
x
???
?
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
??????
??
2)1l n (12
)]1[l n
22
22；
10, xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
?? C
x
??
4
2；
11, C
x
x
xx ?
?
?
??
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s( s i n
2
1；
12, C
xb
ax
?
?
?
a r c t a n2,
一,选择题：
1, 设 )(,)(
21
xFxF 是区间 I 内连续函数 )( xf 的两个不
同的原函数，且 0)( ?xf,则在区间 I 内必有 （ ）
（ A ） CxFxF ?? )()( 21 ；
（ B ）
CxFxF ?? )()(
21 ；
（ C ）
)()(
21
xCFxF ?；
（ D ）
CxFxF ?? )()(
21,
2,若,)()(
'
xfxF ? 则
?
)( xdF = （ ）
（ A ）
)( xf； （ B ）
)( xF；
（ C ）
Cxf ?)(； （ D ）
CxF ?)(
.
测 验 题
3, )( xf 在某区间内具备了条件 （ ）就可保证它的
原函数一定存在
（ A ） 有极限存在； （ B ）连续；
（ B ） 有界； （ D ）有有限个间断点
4,下列结论正确的是 （ ）
（ A ） 初等函数必存在原函数；
（ B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
（ C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（ D ）
CBA,,
都不对,
5,函数
2
)()( xxxf ?? 的一个原函数 ?)( xF ( )
（ A ）
3
3
4
x ; （ B ）
2
3
4
xx ;
（ C) )(
3
2 2
2
xxx ? ; （ D ） )(
3
2
2
xxx ?,
6, 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 xy 2?
?
，
21 ?? yx 时且,这个函数是 （ ）
（ A ） ;
2
Cxy ??
（ B ） ;1
2
?? xy
（ C ）
C
x
y ??
2
2;
（ D ）
.1?? xy
7,下列积分能用初等函数表出的是 （ ）
（ A ）
?
?
dxe
x
2； （ B ）
?
?
3
1 x
dx；
（ C ）
?
dx
xln
1； （ D ）
?
dx
x
xln
.
8,
?
??,)()( CxFdxxf 且
,batx ??
则
? ?dttf )( （ ）
（ A ）
CxF ?)(；
（ B ）
CtF ?)(;
（ C ） CbatF
a
?? )(
1;
（ D ）
CbatF ?? )(
,
9,
?
?dx
x
x
2
ln
（ ）
（ A ） C
x
x
x
??
1
ln
1; （ B ） C
x
x
x
???
1
ln
1;
（ C ） C
x
x
x
??
1
ln
1； （ D ） C
x
x
x
???
1
ln
1
.
10, ? ?
?
10
)14( x
dx
（ ）
（ A ） C
x
?
?
9
)14(
1
9
1； （ B ） C
x
?
?
9
)14(
1
36
1；
（ C ） C
x
?
?
?
9
)14(
1
36
1； （ D ） C
x
?
?
?
11
)14(
1
36
1
.
二、求下列不定积分：
1,
?
dx
xx
1
c o s
1
2; 2,
?
?? 52
2
xx
dx;
3, ?
?
???
dx
x
xx
2
2
1
5)1l n (; 4,
?
?
dx
x
x
22
2
)1(;
5, ?
??
2
11 x
dx; 6, ?
?
?
dx
xx
x
1
1
22;
7, ?
? )1(
2 xx
ee
dx; 8, ? xdxx a r c c o s
2;
9, ?
?? 23
48
11
xx
dxx; 10, ?
?
dx
x
x
32
)1(
a r c c o s
.
三、设
?
?
?
???
??
?
?
0,)32(
0,)1l n (
)(
2
2
xexx
xxx
xf
x
，求
?
dxxf )(,
四、设 xbxaef
x
c o ss i n)(
'
??,( ba,为不同时为零的
常数 ),求 )( xf,
五,0?x设当 时,)(
'
xf 连续，求
?
??
dx
ex
xfxxxf
x2
'
)()1()(
.
一,1, D ； 2, D ； 3, B ； 4, D ； 5, D ；
6, B ； 7, D ； 8, B ； 9, D ； 1 0, C.
二,1, C
x
??
1
s i n ； 2, C
x
?
?
2
1
a r c ta n
2
1；
3, Cxx ????
3
2
2
]5)1[l n (
3
2；
4, xa r c ta n
2
1
C
x
x
?
?
?
2
12
1；
5, Cx
x
x
x
??
?
?? a r c s i n
11
2；
测验题答案
6, C
xx
x
??
? 1
a r c s i n
1
2；
7, Cee
xx
???
?
)a r c ta n ( ；
8, Cxxxx ?????
2
2
3
23
1
3
1
)1(
9
1
a r c c o s
3
1；
9,
4
1
4
4
?
x
Cxx ???? )2l n ()1l n (
44；
10, Cxx
x
x
???
?
2
2
1ln
2
1
a r c c o s
1
.
四,??? )s i n (l n)[(
2
)( xba
x
xf Cxab ?? )]c o s( l n)(,
五,C
xe
xf
x
?
)(
.
三、
?
?dxxf )(
?
?
?
?
?
??????
??????
?
0,1)14(
0,)]1l n ([
2
1
)1l n (
2
1
2
2222
xCexx
xCxxxx
x
.
习题课
积分法
原 函 数
选
择
u
有
效
方
法
基
本
积
分
表 第一换元法 第二换元法
直接
积分法
分部
积分法
不 定 积 分
几种特殊类型
函数的积分
一、主要内容
基本积分表
? ?? kCkxk d x ()1( 是常数 ) )1(
1)2(
1
?????
??
??
?
? Cxdxx
? ?? Cxxdx ln)3(
??? dxx 21 1)4( Cx ?a r c ta n
??? dxx 21 1)5( Cx ?a r c s in
? ?xdxc o s)6( Cx ?sin
? ?x d xs i n)7( Cx ?? c o s
? ?x d xx t a ns ec)10( Cx ?sec
? ?x d xx co tcs c)11( Cx ?? csc
?? dxe x)12( Cex ?
?? xdx2c o s)8( ? ?xdx2s e c Cx ?tan
?? xdx2si n)9( ? ?xdx2c s c Cx ?? cot
?? dxa x)13( Caa
x ?
ln
? ??? Cxx d x co slnt a n)16(
? ?? Cxx d x s i nlnco t)17(
? ??? Cxxxdx )t a nl n ( s ecs ec)18(
? ??? Cxxx d x )co tl n ( cs ccs c)19(
Caxadxxa ???? a r ct a n11)20( 22
Cxa xaadxxa ?????? ln2 11)22( 22
Caxdxxa ???? a r c s i n1)23( 22
Caxx
dx
ax
????
??
)l n (
1)24(
22
22
Cax axadxax ?????? ln2 11)21( 22Cx??sh)14( ?xdx ch
?xdx Cx?? ch)15( sh
四种类型分式的不定积分;ln.1 CaxAaxA dx ????? ;))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn ????? ??;
4/
2/
a r c t a n
4/
2/
ln
2
.3
22
2
2
C
pq
px
pq
MpN
qpxx
M
dx
qpxx
NMx
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??? ?????? ???? ? dxqpxx MpNqpxx dxpxMdxqpxx NMx nnn )( 2/)( )2(2)(.4 222
此两积分都可积,后者有递推公式
二、典型例题
例 1 ?
?
? dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式
解
.49 32? ? dxxx
xx
求 ?
?
?
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
? ? 1
2
3ln
1
2t
dt
? ???? dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt ????? 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
?????
tx ?)23(令
例 2
解
.c o s1 )s i n1(? ? ? dxx xe
x
求 ?
?
? dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
? ?? dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[(? ?? xx dexxde?? )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x ??
例 3
解
.1122? ?? dxxx x求
,1tx ?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
?
?
?
? ?原式
dttt? ???? 211
?? ?????? 222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt ????? 21a r c s i n
.1a r c s i n1
2
Cxxx ????
(倒代换 )
例 4
解
.
1 632
?
???
xxx
eee
dx求
,6 te x ?令,ln6 tx ?,6 dttdx ?
dttttt 61 1 23 ????? ?原式 dtttt? ??? )1)(1( 6 2
22 11)1)(1(
6
t
DCt
t
B
t
A
ttt ?
??
?????设
)1()()1()1)(1(6 22 ???????? ttDCttBtttA
解得,3,3,3,6 ??????? DCBA
dttttt )1 331 36( 2?????? ?原式
Ctttt ??????? ar c t an3)1l n (23)1l n (3ln6 2
.a r c t a n3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
???????
例 5
解
.)1l n(ar c t an 2? ? dxxxx求
dxxx )1l n ( 2? ?? )1()1l n (21 22 xdx ??? ?
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx ?????
]21)1l n ()1(`21[ar c t an 222 xxxxd ???? ?原式
xxxx ar c t an])1l n ()1[ ( `21 222 ????
dxxxx ]1)1[ l n (21 2
2
2
???? ?
例 6
解
.)2( 10? ? xx dx求
? ?? )2( 1010
9
xx
dxx原式 ?
?? )2(
)(
10
1
1010
10
xx
xd
Cxx ???? )]2l n ([ l n201 1010
.)2l n (201ln21 10 Cxx ????
.
2
)1ln (
2
]3)1ln ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
????
?????
例 7
解
.c o s1 s i n? ?? dxxxx求
dx
x
xx
x
?
?
?
2
c os2
2
c os
2
si n2
2
原式
dxxdxxx ?? ??
2
t a n
2
c o s2 2
dxxdxxxx ?? ??? 2t an2t an2t an
.2t an Cxx ??
例 8
解 ? ?
????? dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
? ? ???? dxxf xfxfxf xf求
? ? ??????? dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 22
? ??? ])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf ???
例 9
解
.},1m a x {? dxx求
},,1m a x {)( xxf ?设
,
1,
11,1
1,
)(
?
?
?
?
?
?
???
???
?
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在 ????xf? ).( xF则必存在原函数,
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
?
xCx
xCx
xCx
xF
须处处连续，有又 )( xF?
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
???? ??
????
,211 12 CC ?????即
)(l i m)21(l i m 2
13
2
1
CxCx
xx
???
?? ??
,121 23 CC ???即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
????
??
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ??? ＋可得,1C ?联立并令
).(,0)0(1 101)( l n10 xffxx xxf 求及设例 ?
?
?
?
????
????
??
?
?
?
?????????
???????
??
tee
te
tf
tt
t
01
0101
)(解
??
?
?
?
?????
?????
?
tCe
tCt
tf t
0
0
)(
2
1
220 1lim CCe tt ????? ）（ 110lim CCtt ??? ??
0)0( 1 ?? Cf 12 ??? C
??
?
?????
?????
xe
xxxf
x 01
0)(
? ??,)(,s i n)( dxxfxxxf 求的原函数为一、设
? ? ???? )()( xfxddxxfx解 ? ???? dxxfxfx )()(
Cxfxfx ???? )()(
2
1
c o s212 1c o s)( si n)(
?
???? xxxxxxf
2
3
12 c o s
4
1)si n()
2
1()( ?? ???? xxxxxf
).(,c o s)( si n xfxxf 求二、设 ??
? ? ???? tdtfdxxfxf s i n)( s i n)()(解
t d tttd? ??? 2c o ss i nc o s dtt? ??
2
12c o s
Ctt ??? 24 2s in,a r c s i n2112 2 Cxxx ????
练习
? ??????,)(,ln)]([2ln)1( 2
22
dxxxxfx xxf 求且三、设
xxxxf
x
xxf ln
1)(
1)(ln)]([
11
11ln)1(
2
22
??? ?????
??
????解
,11)( ???? xxx则,1ln21 21)( Cxxdxxxdxx ????? ????? ?
.)(1,ar c s i n)( dxxfCxdxxxf? ??? 求四、设
21
1)(
x
xxf
?
?解
21
)(
1 xx
xf ???
)1(12 11)(1 222 xdxdxxxdxxf ?????? ???则
.)1(3 1 2
3
2 Cx ????
.
)(1
)()(,s i n)(
2 dxxf
xa r c t g fxfxxf ?
?
?? 求五、已知
)()(
)(1
)()(
2 xd a r c t g fxa r c t g fdxxf
xa r c t g fxf ?? ?
?
?
Cxa r c t g f ?? 2
3
)]([32,]s i n[
3
2 23 Cxa r c t g ??
? ?? )4( xx dx Cx ?2a r c s in2 )2 2a r c s i n( Cx ??或
[注 ] ? ?
? )4( xx
dx ? ?
? 2
1
)(4 x
dxx ? ?
? xdx 2)(4
2 Cx ?
2a r c s in2
或
? ?? )4( xx dx ? ??? 2)2(4 xdx ? ??? ? 2)2(4 )2( xxd Cx ??2 2a rc s in
Cxxxx ????? c o ts i nlnc o t
? ?????? x d xxxxxd 2c o ts i nlnc o tc o ts i nln
?? dxxx2s i ns i nln
?? dxxx2s ins inln
Cxxxxdxxxx ??????????? ? c o ts i nlnc o t)1c s c(s i nlnc o t 2
? ???? Cxadxxa c o t1s i n11 222? ? dxxbxa 2222 c o ss i n 1
?? dxxb 22 c o s11? ? dxxbxa 2222 c o ss i n
1
? ? dxxbxa 2222 c o ss i n 1 ? ?? )( t a nt a n
1
222 xdbxa
Cxbaab ?? )t a na r c t a n (1
当 a=0,b≠0时
Cxb ?? t a n12
当 a≠0,b=0时
计算 ? ?,c o ss i n 1 2222 dxxbxa 其中 a,b是不全为 0的非负常数
解 当 a≠0,b≠0时
计算
Cx xxx ????? |1|ln1ln
求 ?,s i n 2 xdxx
解 原式 = ? ? dxxx 2 2c o s1 ?? ?? xxdx d x 2s i n4121
???? xdxxxx 2s i n412s i n414 2
Cxxxx ???? 2c o s812s i n414 2
? ?,)1( ln 2 dxxx
??? ??????????? dxxxxxdxxxxxdxxx )11 1(1 ln11 11 ln)1( ln 2
求 ?
?,1 2
3
dxxx
解 原式 = ? ?? )1(12 222 xdxx )1()1 11(21 222 xdxx ????? ?
Cxx ????? 2123 )1()1(31 22
求 ? ?,1 dxexex
x
解 令,1?? xeu 则 ),1ln ( 2ux ??,1 2 2 duuudx ??
从而 ?
? dxe
xe
x
x
1 ? ??
??? du
u
u
u
uu
2
22
1
2)1l n ()1( duu )1(ln2 2?? ?
? ???? duuuuu 222 1 4)1l n (2 Ca r c t g uuuu ????? 44)1l n (2 2
Cea r c t geex xxx ??????? 141412
? ?,)1( 2 dxxxe
x
求 ?
? xx
dx
s i n2)2s i n (
? ? )1( coss in2 xdx解法 1 原式 =
Cxx ??? |2t a n|ln412t a n81 2?
?
? )
2
( t an
2
t an
2
t an1
4
1
2
xd
x
x
??
2
c os
2
t an
)
2
( t an
4
1
3 xx
xd
??
2
c os
2
s in
)
2
(
4
1
3 xx
x
d
解法 2 原式 = ?
? 2)2s in2( c os xx
dx
Cx ?
?
??
2t an1
2
dxx
x
?
?
?
2
2
)
2
t a n1(
2
s e c
dxx
xd
?
?
?
?
2)
2
t an1(
)
2
t an1(
2
ceeedxe e xxxx
x
?????? ])1(74)1([34.1 4/74/34
2
计算不定积分 dxxx x? ? )1(ar c ta n 22
解法 1 原式 = dxx xdxx x ?? ?? 22 1a r c t a na r c t a n
Cxxxx x ?????? 222 1ln21)( ar c t an21ar c t an
2
2 )( ar c t an2
1
)1(
ar c t an x
xx
dx
x
x ?
???? ?
解法 2 令,tan tx ?
原式 = dttt )1( c s c 2 ??
Ctttt ????? 221|s i n|lnc o t
? ??? 221s i nc o sc o t tdttttt
Cxxxx x ?????? 22 )( ar c t an211 ||lnar c t an
计算 ? ? dxxe x 22 )1( t a n
解 原式 = x d xex d xe xx t a n2s e c 222 ??
?? ??? x d xex d xexe xxx t a n2t a n2t a n 222
Cxe x ?? t a n2
? ?? dxxx x )9( )3( 2
2
Cxx ?? 3a r c t a n2ln
计算
? ?? dxxx xln1 ln1 Cxxx ??? 1lnlnln
? ? dxx xx 22 )1( ln Cx xxx ????? 2 22 1ln411 ln21
? ? dxxx 8
2
)1( ???? ??????? ?? dxxdxxdxxdxxx 8768
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
11
? ?? xdxx xx 22 22 s e c1s i n Cxa r cx ?? c o tt a n
? ?? dxxex x x )1( 1 Cxexe xx ??? )1l n ()l n (
? ?? 21 xx dx
? ? dxxa xx 2
Cxxx ???? )]1l n ([ a r c s i n21 2
)2(22a r cs i n3 2 xaxaaxa ?? Cxaxxa ???? )2(2
? ?? )2()3( 3 xx dx cxx ??? 122
? ? 2
22
x
dxxa
caxaxax ???? a r c s i n11 22 分部积分或三角代换
? dxxx2
3)(l n
?
?
dx
x
xe ar c t gx
2
3
2 )1(
Cxxxx ???? ]6ln6)( l n3)[ ( l n1 23
Cexx a r c t g x ??? 212 1
设 ? x d xnta n
21ta n
1
1
?
? ?
?
? nnn Ix
n
I,并求 ? x d x5ta n,
? ?? xxdxsin1 c o s1
? ? xxdx c o s)s i n45( ? dxxx56sinc o s
2t a n)]1l n (211 11[ l n4 2 xtcttt ???????
? xdx3s e c
求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
? ?
?
?
dx
x
x
3
1； 2,
?
?
?
dx
xx
x
s i n
c o s1；
3,
?
?
24
1 xx
dx； 4,
?
dx
x
x
3
2
c o s
s i n；
5,
?
?
dx
x
x
28
3
)1(； 6, dx
x
x
?
? s i n1
s i n；
7,
?
?
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
?
?
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9,
?
?? dxxx
22
)]1[l n ( ； 10,
?
? xdxx a r c s i n1
2；
11, dx
xx
xx
?
? c o ss i n
c o ss i n； 12, ?
?? ))(( xbax
dx
.
1, C
xx
?
?
?
? 1
1
)1(2
1
2；
2, Cxx ?? )si nl n ( ；
3, C
x
x
x
x
?
?
?
?
?
2
3
32
1
3
)1(；
4, Cxx
x
x
??? )ta nl n (s e c
2
1
c o s2
s i n
2；
5, Cx
x
x
??
?
4
8
4
a r c ta n
8
1
)1(8；
6, Cx
x
??
?
2
ta n1
2
,或
Cxxx ??? t a nse c；
答案
7, C
x
x
?
?
66
)1(
ln ；
8, Ce
e
xe
x
x
x
???
?
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
??????
??
2)1l n (12
)]1[l n
22
22；
10, xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
?? C
x
??
4
2；
11, C
x
x
xx ?
?
?
??
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s( s i n
2
1；
12, C
xb
ax
?
?
?
a r c t a n2,
一,选择题：
1, 设 )(,)(
21
xFxF 是区间 I 内连续函数 )( xf 的两个不
同的原函数，且 0)( ?xf,则在区间 I 内必有 （ ）
（ A ） CxFxF ?? )()( 21 ；
（ B ）
CxFxF ?? )()(
21 ；
（ C ）
)()(
21
xCFxF ?；
（ D ）
CxFxF ?? )()(
21,
2,若,)()(
'
xfxF ? 则
?
)( xdF = （ ）
（ A ）
)( xf； （ B ）
)( xF；
（ C ）
Cxf ?)(； （ D ）
CxF ?)(
.
测 验 题
3, )( xf 在某区间内具备了条件 （ ）就可保证它的
原函数一定存在
（ A ） 有极限存在； （ B ）连续；
（ B ） 有界； （ D ）有有限个间断点
4,下列结论正确的是 （ ）
（ A ） 初等函数必存在原函数；
（ B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
（ C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（ D ）
CBA,,
都不对,
5,函数
2
)()( xxxf ?? 的一个原函数 ?)( xF ( )
（ A ）
3
3
4
x ; （ B ）
2
3
4
xx ;
（ C) )(
3
2 2
2
xxx ? ; （ D ） )(
3
2
2
xxx ?,
6, 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 xy 2?
?
，
21 ?? yx 时且,这个函数是 （ ）
（ A ） ;
2
Cxy ??
（ B ） ;1
2
?? xy
（ C ）
C
x
y ??
2
2;
（ D ）
.1?? xy
7,下列积分能用初等函数表出的是 （ ）
（ A ）
?
?
dxe
x
2； （ B ）
?
?
3
1 x
dx；
（ C ）
?
dx
xln
1； （ D ）
?
dx
x
xln
.
8,
?
??,)()( CxFdxxf 且
,batx ??
则
? ?dttf )( （ ）
（ A ）
CxF ?)(；
（ B ）
CtF ?)(;
（ C ） CbatF
a
?? )(
1;
（ D ）
CbatF ?? )(
,
9,
?
?dx
x
x
2
ln
（ ）
（ A ） C
x
x
x
??
1
ln
1; （ B ） C
x
x
x
???
1
ln
1;
（ C ） C
x
x
x
??
1
ln
1； （ D ） C
x
x
x
???
1
ln
1
.
10, ? ?
?
10
)14( x
dx
（ ）
（ A ） C
x
?
?
9
)14(
1
9
1； （ B ） C
x
?
?
9
)14(
1
36
1；
（ C ） C
x
?
?
?
9
)14(
1
36
1； （ D ） C
x
?
?
?
11
)14(
1
36
1
.
二、求下列不定积分：
1,
?
dx
xx
1
c o s
1
2; 2,
?
?? 52
2
xx
dx;
3, ?
?
???
dx
x
xx
2
2
1
5)1l n (; 4,
?
?
dx
x
x
22
2
)1(;
5, ?
??
2
11 x
dx; 6, ?
?
?
dx
xx
x
1
1
22;
7, ?
? )1(
2 xx
ee
dx; 8, ? xdxx a r c c o s
2;
9, ?
?? 23
48
11
xx
dxx; 10, ?
?
dx
x
x
32
)1(
a r c c o s
.
三、设
?
?
?
???
??
?
?
0,)32(
0,)1l n (
)(
2
2
xexx
xxx
xf
x
，求
?
dxxf )(,
四、设 xbxaef
x
c o ss i n)(
'
??,( ba,为不同时为零的
常数 ),求 )( xf,
五,0?x设当 时,)(
'
xf 连续，求
?
??
dx
ex
xfxxxf
x2
'
)()1()(
.
一,1, D ； 2, D ； 3, B ； 4, D ； 5, D ；
6, B ； 7, D ； 8, B ； 9, D ； 1 0, C.
二,1, C
x
??
1
s i n ； 2, C
x
?
?
2
1
a r c ta n
2
1；
3, Cxx ????
3
2
2
]5)1[l n (
3
2；
4, xa r c ta n
2
1
C
x
x
?
?
?
2
12
1；
5, Cx
x
x
x
??
?
?? a r c s i n
11
2；
测验题答案
6, C
xx
x
??
? 1
a r c s i n
1
2；
7, Cee
xx
???
?
)a r c ta n ( ；
8, Cxxxx ?????
2
2
3
23
1
3
1
)1(
9
1
a r c c o s
3
1；
9,
4
1
4
4
?
x
Cxx ???? )2l n ()1l n (
44；
10, Cxx
x
x
???
?
2
2
1ln
2
1
a r c c o s
1
.
四,??? )s i n (l n)[(
2
)( xba
x
xf Cxab ?? )]c o s( l n)(,
五,C
xe
xf
x
?
)(
.
三、
?
?dxxf )(
?
?
?
?
?
??????
??????
?
0,1)14(
0,)]1l n ([
2
1
)1l n (
2
1
2
2222
xCexx
xCxxxx
x
.
