定积分
习题课
典型例题
例 1,计算
解, 设 x=asint,则 dx=acostdt,且
当 x=0时,t=0；当 x=a时,t=π/2,
2 2 2 2 22
00 c o sa x d x a t d t
?
????
2
2
0 ( 1 c o s 2 )2
a t d t????
2 1
1 si n 2 2
22 0
a t
?
????
????
2
4
a??
例 2,计算
1
0
xe dx?
解, 设,且当 x=0时,t=0；当 x=1时,t=1,
由前面的换元公式得,
11
00 2
xte d x t e d t???
再用分部积分公式计算上式的右端的积分。
设 u=t,dv=etdt,则 du=dt,v=et,于是,
11
00
1
0
t t tt e d t t e e d t????????
1 ( 1 ) 1
0
te e e e??? ? ? ? ? ???
1
0 2
xe d x ??故
例 3 求
22 c o s1
1c o s
200l i m l i m 2
x t
t
x
xx
d e d t
e d t dx
xx
??
??
?
?
??
21
c os
20lim
t
x
x
e dt
x
?
?
?
解,
2c o s
0
s i nlim
2
tx
x
xe
x
?
?
???
这是一个
0
0 型未定式。
可看成以 u = cos x 为中间变量的复合函数。 21
co s
t
x e dt
??
1
2e?
dxxx? ?40 2s i n42c o s? ? ?
2
1 ln1
e
xx
dx
1
24
0
1 ( 4 s in 2 ) ( 4 s in 2 )
2
x d x? ??? ?
3
24 018( 4 s in 2 ) | 333x
?? ? ? ? ?
td tdxx 21 ?
13(2]2[231 31 ???? txtx t d t
例 4 计算下列积分
,
解,1? 原式 =
2? 此题用 第二换元法 (换元换限不换回 )。
令,则 1+ln x = t 2,
,
故 原式 = )
t x ? ? ln 1
1,2,
例 5 若 f (x) 在 [0,1] 上连续，证明
? ??20 20,)( c o s)( s i n? ? dxxfdxxf
证明：设,则 dx = –dt,且
2xt
???
2
??t
2
??x当 x = 0 时,； 时,t = 0,于是
02
0 2( s i n ) ( s i n ( ) )2f x d x f t d t
?
?
?? ? ???
22
00
(c o s ) (c o s ),f t d t f x d x
??
????
注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。