习题课
中值定理与导数
的应用
洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理
常用的
泰勒公式
型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型??
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF ?)(
)()( bfaf ?
0?n
gfgf 1?? fg
fggf 11 11 ???? 取对数
令 gfy ?
一、主要内容
例 1,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x ????
求极限
解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx ????
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx ???????
)(21 22 xoxx ????
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x ?????
?
?
原式,21??
二、典型例题
.)21(lim)3(;)a r c t a n2(lim)2(
1
0
ln
1
x
xxx
x
x
x n
nx ?????
????
x
x
xe ln
)a r c t a n
2
l n (
l i m
)2(
??
????原式解
x
xx
xe /1
1
1
)a r c t a n
2
(
1
l i m
2?
?
?
?
?
????
)a r c t a n
2
(
1l im 2
x
x
x
x
e
?
?
?
???
?
?
2
22
2
1
1
1
1
l i m
x
x
x
x
e ?
?
?
?
?
???
?
）（
.1
2
2
1
1l i m
e
e x
x
x ?? ?
?
??? ）（
x
xxx
x n
n 1
0
)21(l i m)3( ???
?
)
1
l n(
1
lim
0
)3(
n
n
x
xx
xe
??
??
?
原式
解
])l n()1[l n()( 1lim
0
?????
??
nnx xx
xe
?
xx
xxx
x n
nn
e ?
?
?
???
?? 1
ln2ln21ln1
1
1lim
0
nn
n
ne !
!ln
??
22
lim
ax
axax
ax ?
???
??,0?a ；
3
1
0
)
si n1
t a n1
(lim x
x x
x
?
?
?
a2
1 ； 21e,
.)2l n (
2
t a nlim;lns i nlim;)( l nlim
10
x
x
xx
xx
xx
x
x
??
?
?
?
???
?
???
0； 0； 2/?,
例 2 讨论函数在点 x=0处的连续性。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.0,
0,]
)1(
[
)(
2/1
/1
/1
xe
x
e
x
xf
x
x
2
)1ln(]1)1ln(1[1)(ln,0:
x
xxx
xxxfx
??????? 时解
2
1
)1(2
lim
2
1)1/(1
lim
)1l n (
lim
0
020
??
?
?
?
??
?
??
??
????
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
?
)(l im)(l im 02/10 xfexf xx ????? ??? ∴ 函数在点 x=0连续。
例 3
.
0),0(
0,/)(
)(
,0)0()()1
有一阶连续导数
求证具有二阶连续导数且设
?
?
?
??
?
??
?
xf
xxxf
x
fxf
.0)(0)(
),(),(,0)()(
,0)()(,],[)()2
??????
?????????
??
ff
bababfaf
bfafbaxf
及
使和求证
且上具有二阶导数在设
x
x
x
)0()(lim)0(
0
??? ???
?证,200
)0()(l i m)0(
)(
l i m
x
fxxf
x
f
x
xf
xx
??????
??
x
fxf
x 2
)0()(l i m
0
????
? 2
)(lim
0
xf
x
???
?,2
0(f ???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
???
0,
2
)0(
0,
)()(
)(
2
x
f
x
x
xfxfx
x?
200
)()(l i m)(l i m
x
xfxfxx
xx
?????
?? ? x
xfxfxfx
x 2
)()()(lim
0
???????
?
).0(2 )0(2 )(l i m 0 ? ???????? ? fxfx 有一阶连续导数。)( x??
证明 用反证法 0)(),( ??? ?? fba 使
0)(0)(),( ?? xfxfba 或上则在
设 f(x)>0
0)()(l i m)( ????? ?? ax afxfaf ax
0)()(lim)( ????? ?? bx bfxfbf bx
矛盾）(0)()( ???? bfaf
0)(),( ???? ?? fba 使 0)()()( ??? bffaf ?则
0)(),( 11 ???? ??? fa 使因此 0)()( 22 ???? ??? fb 使，
0)()( 21 ???? ?? ff又 ),(21 ba???? ），（ ??? 0)( ??? ?f使
? ?,
)(
)(
)(
)(
,)2(;0)(),1,0)()()()(
,0)(],[)(),(4
???
???
?
?
?
??
?????
???
g
f
g
f
ba
xgbabgagbfaf
xgbaxgxf
使存在
内）在（证明（
上存在二阶导数，且在设例
0)(),()1( ??? cgbac 使若证,)()()( bgcgag ??则
0)()(),(),,( 2121 ???????? ???? ggbcca 使
定理，上满足，在又 Rxg ][)( 21 ??? )(0)(),( 矛盾使 ?????? ?gba
.0)( ?? xg
)()()()()(2 xgxfxgxfxF ????设）（
0)()( ?? bFaF? ? ? 定理，上满足在 RbaxF ],[?
0)(),( ????? ?? Fba 使
0)]()()()([)( ?????????? ??xxgxfxgxfF
例 5
.
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
??
?
?
?
??
??
?? 使内存在不同的在
对任意给定的正数试证
且内可导在上连续在设
证,均为正数与 ba? 10 ???? ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af ???使得 ),1,0(??存在
有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)( ??xf
),0(),()0()0()( ????? ????? fff
)1,(),()1()()1( ????? ????? fff
(1)
(2)
,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由 ?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
?????? ??
)(?f
ba
a
?
??
(3) (4) )( )(11 ? ?? f f???? )(?f ba
b
?
??
(3)+(4)得,
)(
)(
?
??
f
f
??
.)()( baf bf a ?????? ??
例 6 ])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
??????
?
xxfxff
fxf
证明
且上二阶可微在若函数
证 ],1,0[0 ?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf ???????? ?
则有令,1,0 ?? xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff ???????
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff ???????? ?
(1)
(2)
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf ???????? ??
((2)–(1))
),1()0( ff ?注意到 则有
,1)( ??? xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf ?????
4
1)
2
1( 2
0 ??? x
,]1,0[0 知又由 ?x,21210 ??x 21)( 0 ?? xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
.1)11l n (11 nnn ????三、证明
定理条件。上满足在证：设 Lnnxfxxf ]1,[)(,ln)( ??
)1)(()()1( nnfnfnf ??????? ?
??
1)()11l n ()l n ()1l n ( ???????? f
nnn
1??? nn ?又 nn 1111 ???? ?
nnn
1)11l n (
1
1 ???
??
补充
,s i n3s i n2s i ns i n)( 321 nxaxaxaxaxf n????? ?四、设
，为实常数且 naaaxxf ?21,,s i n)( ?,12 21 ???? nnaaa ?求证：
xffxf )()0()( ????证
xnnaaa n )c o s2c o s2c o s( 21 ??? ????
xxnnaaaxf n s i nc o s2c o s2c o s)( 21 ???? ??? ?
11s i nc o s2c o s2c o s 21 ???? xxnnaaa n ??? ?
.000 ??? ?? xx 之间，与是介于
12c o s2c o s2c o sl i m 21210 ??????? ? nnx naaannaaa ?? ???
x
nxaxaxaxa
x
xf n
xx
s i n3s i n2s i ns i nl i m)(l i m2 321
00
?????
??
?）证（
nnaaa ??? ?21 2
nnaaa ???? 21 2
?? ? xxfx )(lim 0
x
x
x
xf s in)( ?又 1?
1)(lim 0 ?? ? x xfx,12 21 ???? nnaaa ?即
五、设 )( xf,g ( x ) 在 [ a,b] 上连续，在 ( a,b ) 内可导，
且 f ( a )= f ( b ) = 0,g ( x ) ? 0,g ? ( x ) ? 0,试证：存在 ? ? ( a,b),
使 f ? ( ? ) g ( ? ) = g ? ( ? ) f ( ? ) 。
六,f ( x ) 在 [ 0,1] 上满足 0 < f ( x )< ? /4,在 ( 0,1) 内
f ? ( x ) ? 1 / ( 1 + x
2
),求证在 ( 0,1) 内有且仅有一个 x,使
f ( x )= a r ct g x 。
解,)()( ar c t g xxfxF ??
,04)1()1(,0)0()0( ?????? fFfF
.)1,0()( 内至少有一个根在xF?
!,0
1
1
)()(),,(
,,,)1,0()(
221
21
矛盾使
又罗尔定理知内有两个根在若
?
??
????????? fFxx
xxxF
).()(),,()2;0)(),,()1
,0)()(,0)(],[)(
????????
?????
ffbaxfbax
bfafxfbaxf
存在对于证明
上二次可导，且在七、设
0)(),(1 ??? cfbac 使）若证（ )()()( bfcfaf ??则
0)()(),(),,( 2121 ???????? ???? ffbcca 使
定理，上满足，在又 Rxf ][)( 21 ??? )(0)(),( 矛盾使 ?????? ?? fba
.0)( ?? xf
)]()()[()()2( xfxfxxF ????? )()( xfexF x??
定理的条件。满足 RxFbFaF )(,0)()( ???
0)(),( ????? ?? Fba 使
,0))]()(([)( ??????? ??? xx xfxfeF
).()(,???? ff即
.1)(),(
2
s i n
)(
lim0)()0)(,()(
2
0
?
?
?
?
????
?
xfba
xx
exf
xfabbaxf
x
x
内证明在
且内在八、设
，证,2si n)(lim
2
0
?? ?
? xx
exf x
x
?
,0)(,0si n 2 ????? xexfxx由,1)0(1)( ???? fxf
，又 2c o s1 2)(l i msi n)(l i m
22
00
?? ???? ?
?? x
xexf
xx
exf x
x
x
x
,02)(,0c o s1 2 ?????? xxexfx由,0)0(0)( ?????? fxf
由一阶泰勒展式得：? !2 )()0()0()(
2xf
xffxf ???????
.1)0()0()( ????? xffxf
).()()(,
,10,0,0)(
2211221121
2121
xfxfxxfxx
xf
???????
???????????
均有
试证对任何且九、
公式证明：由 T a y l o r
2
))(())(()()( 20
000
xxfxxxfxfxf ?????????
))(()()( 000 xxxfxfxf ?????
,22110 xxx ????设 ? ? ? ? ))(( 01001 xxxfxfxf ????
? ? ? ? ))(( 02002 xxxfxfxf ????
? ? ? ? ))(( 01010111 xxxfxfxf ???? ???
? ? ? ? ))(( 02020222 xxxfxfxf ???? ???
).()()( 22112211 xfxfxxf ???? ????
导数的应用
习题课
典型例题
.)0(ln 有几个实根方程 ?? aaxx例 1
./1,1)();,0(ln)( axaxxfxaxxxf ????????? 驻点：，设
x )/1,0( a ),/1( ??aa/1
)(xf?
)(xf
? ?
?
0
?
最
大
值
.,
1
,01ln,0)
1
(;,
1
0,01ln,0)
1
(;,
1
,01ln,0)
1
(
原方程无根时
原方程有两个根时
原方程有唯一根时
e
aa
a
f
e
aa
a
f
e
aa
a
f
?????
??????
?????
例 2,),0()11( 上的单调性在判断 ???? x
xy
xxy
y
xxy ????
???
1
1)11ln(),11ln(ln 两边求导?解,
).1,(,01 11]1 1ln)1[ ln ( xxxxxxyy ??????????????则
.),0()11( 上单调增加在 ????? xxy
??单调递减则设或 )(,0)(,1 1)11ln()(,xgxgxxxg ??????
例 3 )1(.0),1(ln /1 成立等号仅在证明 ???? xxxnx n
.23,2 3 ??? xxx 时证明
)1(1)(),1(ln)(,/1/1 nn xxxfxnxxf ??????设证
.0)1(;0)(,1;0)(,1 是最大值时时 ???????? fxfxxfx
.,0)1(ln)( /1 命题成立????? nxnxxf
例 4 ).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx ???
?
???
证明不等式
证 ),0(ln)( ?? ttttf令
,1ln)( ??? ttf则,01)( ???? ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf ???于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即
.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即
例 5
.)(,;)(,:
.0)(,0)()()(
,1)(
00
0
)(
0
)1(
00
0
不是极值为奇数时是极值为偶数时证明
且阶的导数的邻域内有直到在设
xfnxfn
xfxfxfxf
nxxf
nn ????????
?
??
??
?
?
??????????
?? 1
00
)1(
2
00000
))((
)!1(
1
))((
!2
1
))(()()(
nn xxxf
n
xxxfxxxfxfxf ??
( ? 在 0x 与 x 之间 ),,))((!1)()( 0)(0 nn xxfnxfxf ?????
证明
.
).()(,0)(,
,0)(,0)(,)(
0
0
)(
0
0
)(
0
)()(
是极值点
则邻域时的某个位于当
设且连续
x
xfxffxx
xfxfxf
n
nnn
?
?????
???
nn xx
n
f )(
!
)(
0
)(
??
.)(,0 是拐点为奇数时当 xfn
,))(()!2( 1)()( 20)(0 ?????????? nn xxfnxfxf由
?
?
?
??
??
??
?
?
????
??
?
.,0
,0
))((
)!2(
1
,0)(,
,0)(,0)(,)(
0
02
0
)(
)(
0
0
)(
0
)()(
xx
xx
xxf
n
fxx
xfxfxf
nn
n
nnn
邻域时的某个位于当
设且连续?
.
,)(
0
0
是拐点
改变符号经点函数
x
xxf
?
??
例 6
.
,
,)1,
2
(s i n
2
程两曲线的公共曲率圆方
点处并写出向点具有相同的曲率和凹在
使抛物线与正弦曲线一抛物线
求作处上点过正弦曲线
MM
cbxaxy
Mxy
???
?
?
解
为曲率圆的圆心坐标分别
曲率半径和处的曲率在点曲线,),()( yxxfy ?
,
])(1[ 2
3
2y
yk
??
???
,1k??
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
???
??
y
y
yy
y
yy
xx
2
0
2
0
)(1
])(1[
,s i n)( xxfy ??对于曲线
,1)2( ??f有 ???? )2(f,1?
,2 cbxaxy ???对于曲线
?? )2(f有,24
2
cba ???? ??? )2(f,ba?? ???? )2(f,2a
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导
数和二阶导数,于是有
,124
2
????? cba,0??? ba,12 ??a
??? )2(f,0
解此方程组得,21??a,2??b,
81
2?
??c
故所求作抛物线的方程为
.81221
2
2 ??????? xxy
),0,2(?
,1??曲率半径
曲率圆的方程为,1)2( 22 ???? yx
两曲线在点处的曲率圆的圆心为
例 7
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
解,)1( 定义域,1??x ),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得
y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???
x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表,
x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图
1,一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥
体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
2,若 0?x,试证 xx
x
x
???
?
)1l n (
1
.
3,设 dcxbxaxxf ????
23
)( 有拐点 （ 1, 2 ），
并在该点有水平切线,)( xf 交 x 轴于点 （ 3, 0 ），
求
)( xf
.
练 习 一
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf ???? 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax ?
时，
0)( ?? xf
，又
0)( ?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
6, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是
最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
练 习 二
.]1,0[)12(.1 3/1 上的最值的极值及在求 ?? xxy
.c o s 2c o s;:.2 /1 x xyey x ?? ?作函数的图形
.
,,
,)4,1(.3
直线
求这条且它们的和最小为正两个坐标轴上的截距都
要使它在引一条直线平面上通过一个已知点 P
通过原点
使曲线的拐点处的法线的值中试决定,)3(.4 22 kxky ??
一, 填空 (24分 )
的单调区间是曲线
则若
则可导若
则设
连续在则补充定义设
34
0
/1
0
2.6
,)l n ()s i n (.5
,)(),
1
(.4
)1(),1s i n (12()(.3
.0)(,)0(,0,)( c o s)(.2
)
31
( s i nl i m.1
2
xxy
dx
dy
xxyxy
dyxf
x
fy
fxxxf
xxffxxxf
t g xx
x
x
x
x
??
????
??
??????
????
??
?
?
3
e-1/2
2
1
x>3/2
dx
xx
f )1)(1( 2??
阶段练习
二, 计算题 (42分 )
.,
1
1
1
1
.6
.,,)(,
)()(
)(
.5
.,
23
1
.4
.),1l n ()3( a r c s i n.3
)
2
(lim.2
)
s i n
1
(lim.1
2
2
)(
2
22
ln
1
22
0
并判断间断点类型的间断点求函数
求存在且不为零
求
求已知
xx
y
dx
yd
dx
dy
tf
tftfty
tfx
y
xx
y
yeexy
a r c t g x
xx
n
xx
x
x
x
?
?
?
??
?
?
?
???
??
??
?
?????
??
?
?
?
???
?
1/3
e-1 x
x
e
e
x
xy
22 191
3a r c s i n6
?
?
?
??
11
)(
)1(
!)1(
)2(
!)1(
?? ?
??
?
??
n
n
n
nn
x
n
x
ny
x=0,1是可去间断点 ;
x=1/2是无穷间断点,
三, 综合题 (34分 )
.0)(,),1(
,3)1(,2)1(,0)(),1[)(.6
.7231.5
).()2;0)(,)1
,1)0(,)(,
0
0
c o s)(
)(.4
.l i m)2;)1,
1
1,1.3
.
1
)1(2
ln,1.2
.
)(
l i m,10
13
]
2
)(
1l n [
l i m.1
10
2
00
有唯一的实根方程内证明在
且上处处有在设函数
课本
求点连续在使确定
且二阶导数连续其中已知
求极限存在证明数列已知
时当证明
求设
???
?????????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
??
?
??
xf
ffxfxf
P
xfxxfa
gxg
xa
x
x
xxg
xf
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xfxa r c t g
xf
n
n
n
n
n
n
x
x
x
难题解答
2,1),(),,(,,:
..1
??? nnmnm
n
mee
e
是正整数则是有理数设若不然证
是无理数证明
,
)1(!
!
!))!1((
,
)!1(!
1
1,
)!1(!
1
1,1
,
)!1(!
1
1
11
1
1
?
?????
?
???
?
????
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
n
e
k
n
nnm
n
e
kn
m
n
e
k
ex
x
n
e
k
x
e
n
k
n
k
n
k
n
xn
k
k
x
即时
?
.,31,矛盾不是整数右边左边是整数 ?? ?e
).(
)()(
,,),(
,0)(,),(,),()(.2
12
12
21 ????
?
?????
f
xx
xfxf
xxba
fbabaxf
使内可找到两个值求证在
是一定点上二次可导在设
.)(,0)(
.,0)()1.
的严格极小点是则不仿设
命题正确时先在证明
xff
f
?????
???
.0)(
)()(
,),()(
),(,),()(
),()(),()(),,(
12
12
21
1
????
?
?
????????
?????????????
?????????????????
f
xx
xfxf
xfxf
xff
ffff
就有令使
由介值定理知若
使的一个小邻域取
).(
)()(
,0)(
)()(
),(,,)1
,0)(,0)()(,)()()(
.0)()2
12
12
12
12
2121
???
?
?
?
????
?
?
??
???????????????
???
f
xx
xfxf
g
xx
xgxg
xxxx
gfgxfxfxg
f
使知由
且则令
的情况再证
中值定理与导数
的应用
洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理
常用的
泰勒公式
型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型??
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF ?)(
)()( bfaf ?
0?n
gfgf 1?? fg
fggf 11 11 ???? 取对数
令 gfy ?
一、主要内容
例 1,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x ????
求极限
解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx ????
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx ???????
)(21 22 xoxx ????
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x ?????
?
?
原式,21??
二、典型例题
.)21(lim)3(;)a r c t a n2(lim)2(
1
0
ln
1
x
xxx
x
x
x n
nx ?????
????
x
x
xe ln
)a r c t a n
2
l n (
l i m
)2(
??
????原式解
x
xx
xe /1
1
1
)a r c t a n
2
(
1
l i m
2?
?
?
?
?
????
)a r c t a n
2
(
1l im 2
x
x
x
x
e
?
?
?
???
?
?
2
22
2
1
1
1
1
l i m
x
x
x
x
e ?
?
?
?
?
???
?
）（
.1
2
2
1
1l i m
e
e x
x
x ?? ?
?
??? ）（
x
xxx
x n
n 1
0
)21(l i m)3( ???
?
)
1
l n(
1
lim
0
)3(
n
n
x
xx
xe
??
??
?
原式
解
])l n()1[l n()( 1lim
0
?????
??
nnx xx
xe
?
xx
xxx
x n
nn
e ?
?
?
???
?? 1
ln2ln21ln1
1
1lim
0
nn
n
ne !
!ln
??
22
lim
ax
axax
ax ?
???
??,0?a ；
3
1
0
)
si n1
t a n1
(lim x
x x
x
?
?
?
a2
1 ； 21e,
.)2l n (
2
t a nlim;lns i nlim;)( l nlim
10
x
x
xx
xx
xx
x
x
??
?
?
?
???
?
???
0； 0； 2/?,
例 2 讨论函数在点 x=0处的连续性。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.0,
0,]
)1(
[
)(
2/1
/1
/1
xe
x
e
x
xf
x
x
2
)1ln(]1)1ln(1[1)(ln,0:
x
xxx
xxxfx
??????? 时解
2
1
)1(2
lim
2
1)1/(1
lim
)1l n (
lim
0
020
??
?
?
?
??
?
??
??
????
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
?
)(l im)(l im 02/10 xfexf xx ????? ??? ∴ 函数在点 x=0连续。
例 3
.
0),0(
0,/)(
)(
,0)0()()1
有一阶连续导数
求证具有二阶连续导数且设
?
?
?
??
?
??
?
xf
xxxf
x
fxf
.0)(0)(
),(),(,0)()(
,0)()(,],[)()2
??????
?????????
??
ff
bababfaf
bfafbaxf
及
使和求证
且上具有二阶导数在设
x
x
x
)0()(lim)0(
0
??? ???
?证,200
)0()(l i m)0(
)(
l i m
x
fxxf
x
f
x
xf
xx
??????
??
x
fxf
x 2
)0()(l i m
0
????
? 2
)(lim
0
xf
x
???
?,2
0(f ???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
???
0,
2
)0(
0,
)()(
)(
2
x
f
x
x
xfxfx
x?
200
)()(l i m)(l i m
x
xfxfxx
xx
?????
?? ? x
xfxfxfx
x 2
)()()(lim
0
???????
?
).0(2 )0(2 )(l i m 0 ? ???????? ? fxfx 有一阶连续导数。)( x??
证明 用反证法 0)(),( ??? ?? fba 使
0)(0)(),( ?? xfxfba 或上则在
设 f(x)>0
0)()(l i m)( ????? ?? ax afxfaf ax
0)()(lim)( ????? ?? bx bfxfbf bx
矛盾）(0)()( ???? bfaf
0)(),( ???? ?? fba 使 0)()()( ??? bffaf ?则
0)(),( 11 ???? ??? fa 使因此 0)()( 22 ???? ??? fb 使，
0)()( 21 ???? ?? ff又 ),(21 ba???? ），（ ??? 0)( ??? ?f使
? ?,
)(
)(
)(
)(
,)2(;0)(),1,0)()()()(
,0)(],[)(),(4
???
???
?
?
?
??
?????
???
g
f
g
f
ba
xgbabgagbfaf
xgbaxgxf
使存在
内）在（证明（
上存在二阶导数，且在设例
0)(),()1( ??? cgbac 使若证,)()()( bgcgag ??则
0)()(),(),,( 2121 ???????? ???? ggbcca 使
定理，上满足，在又 Rxg ][)( 21 ??? )(0)(),( 矛盾使 ?????? ?gba
.0)( ?? xg
)()()()()(2 xgxfxgxfxF ????设）（
0)()( ?? bFaF? ? ? 定理，上满足在 RbaxF ],[?
0)(),( ????? ?? Fba 使
0)]()()()([)( ?????????? ??xxgxfxgxfF
例 5
.
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
??
?
?
?
??
??
?? 使内存在不同的在
对任意给定的正数试证
且内可导在上连续在设
证,均为正数与 ba? 10 ???? ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af ???使得 ),1,0(??存在
有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)( ??xf
),0(),()0()0()( ????? ????? fff
)1,(),()1()()1( ????? ????? fff
(1)
(2)
,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由 ?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
?????? ??
)(?f
ba
a
?
??
(3) (4) )( )(11 ? ?? f f???? )(?f ba
b
?
??
(3)+(4)得,
)(
)(
?
??
f
f
??
.)()( baf bf a ?????? ??
例 6 ])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
??????
?
xxfxff
fxf
证明
且上二阶可微在若函数
证 ],1,0[0 ?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf ???????? ?
则有令,1,0 ?? xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff ???????
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff ???????? ?
(1)
(2)
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf ???????? ??
((2)–(1))
),1()0( ff ?注意到 则有
,1)( ??? xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf ?????
4
1)
2
1( 2
0 ??? x
,]1,0[0 知又由 ?x,21210 ??x 21)( 0 ?? xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
.1)11l n (11 nnn ????三、证明
定理条件。上满足在证：设 Lnnxfxxf ]1,[)(,ln)( ??
)1)(()()1( nnfnfnf ??????? ?
??
1)()11l n ()l n ()1l n ( ???????? f
nnn
1??? nn ?又 nn 1111 ???? ?
nnn
1)11l n (
1
1 ???
??
补充
,s i n3s i n2s i ns i n)( 321 nxaxaxaxaxf n????? ?四、设
，为实常数且 naaaxxf ?21,,s i n)( ?,12 21 ???? nnaaa ?求证：
xffxf )()0()( ????证
xnnaaa n )c o s2c o s2c o s( 21 ??? ????
xxnnaaaxf n s i nc o s2c o s2c o s)( 21 ???? ??? ?
11s i nc o s2c o s2c o s 21 ???? xxnnaaa n ??? ?
.000 ??? ?? xx 之间，与是介于
12c o s2c o s2c o sl i m 21210 ??????? ? nnx naaannaaa ?? ???
x
nxaxaxaxa
x
xf n
xx
s i n3s i n2s i ns i nl i m)(l i m2 321
00
?????
??
?）证（
nnaaa ??? ?21 2
nnaaa ???? 21 2
?? ? xxfx )(lim 0
x
x
x
xf s in)( ?又 1?
1)(lim 0 ?? ? x xfx,12 21 ???? nnaaa ?即
五、设 )( xf,g ( x ) 在 [ a,b] 上连续，在 ( a,b ) 内可导，
且 f ( a )= f ( b ) = 0,g ( x ) ? 0,g ? ( x ) ? 0,试证：存在 ? ? ( a,b),
使 f ? ( ? ) g ( ? ) = g ? ( ? ) f ( ? ) 。
六,f ( x ) 在 [ 0,1] 上满足 0 < f ( x )< ? /4,在 ( 0,1) 内
f ? ( x ) ? 1 / ( 1 + x
2
),求证在 ( 0,1) 内有且仅有一个 x,使
f ( x )= a r ct g x 。
解,)()( ar c t g xxfxF ??
,04)1()1(,0)0()0( ?????? fFfF
.)1,0()( 内至少有一个根在xF?
!,0
1
1
)()(),,(
,,,)1,0()(
221
21
矛盾使
又罗尔定理知内有两个根在若
?
??
????????? fFxx
xxxF
).()(),,()2;0)(),,()1
,0)()(,0)(],[)(
????????
?????
ffbaxfbax
bfafxfbaxf
存在对于证明
上二次可导，且在七、设
0)(),(1 ??? cfbac 使）若证（ )()()( bfcfaf ??则
0)()(),(),,( 2121 ???????? ???? ffbcca 使
定理，上满足，在又 Rxf ][)( 21 ??? )(0)(),( 矛盾使 ?????? ?? fba
.0)( ?? xf
)]()()[()()2( xfxfxxF ????? )()( xfexF x??
定理的条件。满足 RxFbFaF )(,0)()( ???
0)(),( ????? ?? Fba 使
,0))]()(([)( ??????? ??? xx xfxfeF
).()(,???? ff即
.1)(),(
2
s i n
)(
lim0)()0)(,()(
2
0
?
?
?
?
????
?
xfba
xx
exf
xfabbaxf
x
x
内证明在
且内在八、设
，证,2si n)(lim
2
0
?? ?
? xx
exf x
x
?
,0)(,0si n 2 ????? xexfxx由,1)0(1)( ???? fxf
，又 2c o s1 2)(l i msi n)(l i m
22
00
?? ???? ?
?? x
xexf
xx
exf x
x
x
x
,02)(,0c o s1 2 ?????? xxexfx由,0)0(0)( ?????? fxf
由一阶泰勒展式得：? !2 )()0()0()(
2xf
xffxf ???????
.1)0()0()( ????? xffxf
).()()(,
,10,0,0)(
2211221121
2121
xfxfxxfxx
xf
???????
???????????
均有
试证对任何且九、
公式证明：由 T a y l o r
2
))(())(()()( 20
000
xxfxxxfxfxf ?????????
))(()()( 000 xxxfxfxf ?????
,22110 xxx ????设 ? ? ? ? ))(( 01001 xxxfxfxf ????
? ? ? ? ))(( 02002 xxxfxfxf ????
? ? ? ? ))(( 01010111 xxxfxfxf ???? ???
? ? ? ? ))(( 02020222 xxxfxfxf ???? ???
).()()( 22112211 xfxfxxf ???? ????
导数的应用
习题课
典型例题
.)0(ln 有几个实根方程 ?? aaxx例 1
./1,1)();,0(ln)( axaxxfxaxxxf ????????? 驻点：，设
x )/1,0( a ),/1( ??aa/1
)(xf?
)(xf
? ?
?
0
?
最
大
值
.,
1
,01ln,0)
1
(;,
1
0,01ln,0)
1
(;,
1
,01ln,0)
1
(
原方程无根时
原方程有两个根时
原方程有唯一根时
e
aa
a
f
e
aa
a
f
e
aa
a
f
?????
??????
?????
例 2,),0()11( 上的单调性在判断 ???? x
xy
xxy
y
xxy ????
???
1
1)11ln(),11ln(ln 两边求导?解,
).1,(,01 11]1 1ln)1[ ln ( xxxxxxyy ??????????????则
.),0()11( 上单调增加在 ????? xxy
??单调递减则设或 )(,0)(,1 1)11ln()(,xgxgxxxg ??????
例 3 )1(.0),1(ln /1 成立等号仅在证明 ???? xxxnx n
.23,2 3 ??? xxx 时证明
)1(1)(),1(ln)(,/1/1 nn xxxfxnxxf ??????设证
.0)1(;0)(,1;0)(,1 是最大值时时 ???????? fxfxxfx
.,0)1(ln)( /1 命题成立????? nxnxxf
例 4 ).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx ???
?
???
证明不等式
证 ),0(ln)( ?? ttttf令
,1ln)( ??? ttf则,01)( ???? ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf ???于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即
.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即
例 5
.)(,;)(,:
.0)(,0)()()(
,1)(
00
0
)(
0
)1(
00
0
不是极值为奇数时是极值为偶数时证明
且阶的导数的邻域内有直到在设
xfnxfn
xfxfxfxf
nxxf
nn ????????
?
??
??
?
?
??????????
?? 1
00
)1(
2
00000
))((
)!1(
1
))((
!2
1
))(()()(
nn xxxf
n
xxxfxxxfxfxf ??
( ? 在 0x 与 x 之间 ),,))((!1)()( 0)(0 nn xxfnxfxf ?????
证明
.
).()(,0)(,
,0)(,0)(,)(
0
0
)(
0
0
)(
0
)()(
是极值点
则邻域时的某个位于当
设且连续
x
xfxffxx
xfxfxf
n
nnn
?
?????
???
nn xx
n
f )(
!
)(
0
)(
??
.)(,0 是拐点为奇数时当 xfn
,))(()!2( 1)()( 20)(0 ?????????? nn xxfnxfxf由
?
?
?
??
??
??
?
?
????
??
?
.,0
,0
))((
)!2(
1
,0)(,
,0)(,0)(,)(
0
02
0
)(
)(
0
0
)(
0
)()(
xx
xx
xxf
n
fxx
xfxfxf
nn
n
nnn
邻域时的某个位于当
设且连续?
.
,)(
0
0
是拐点
改变符号经点函数
x
xxf
?
??
例 6
.
,
,)1,
2
(s i n
2
程两曲线的公共曲率圆方
点处并写出向点具有相同的曲率和凹在
使抛物线与正弦曲线一抛物线
求作处上点过正弦曲线
MM
cbxaxy
Mxy
???
?
?
解
为曲率圆的圆心坐标分别
曲率半径和处的曲率在点曲线,),()( yxxfy ?
,
])(1[ 2
3
2y
yk
??
???
,1k??
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
???
??
y
y
yy
y
yy
xx
2
0
2
0
)(1
])(1[
,s i n)( xxfy ??对于曲线
,1)2( ??f有 ???? )2(f,1?
,2 cbxaxy ???对于曲线
?? )2(f有,24
2
cba ???? ??? )2(f,ba?? ???? )2(f,2a
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导
数和二阶导数,于是有
,124
2
????? cba,0??? ba,12 ??a
??? )2(f,0
解此方程组得,21??a,2??b,
81
2?
??c
故所求作抛物线的方程为
.81221
2
2 ??????? xxy
),0,2(?
,1??曲率半径
曲率圆的方程为,1)2( 22 ???? yx
两曲线在点处的曲率圆的圆心为
例 7
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
解,)1( 定义域,1??x ),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得
y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???
x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表,
x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图
1,一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥
体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
2,若 0?x,试证 xx
x
x
???
?
)1l n (
1
.
3,设 dcxbxaxxf ????
23
)( 有拐点 （ 1, 2 ），
并在该点有水平切线,)( xf 交 x 轴于点 （ 3, 0 ），
求
)( xf
.
练 习 一
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf ???? 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax ?
时，
0)( ?? xf
，又
0)( ?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
6, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是
最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
练 习 二
.]1,0[)12(.1 3/1 上的最值的极值及在求 ?? xxy
.c o s 2c o s;:.2 /1 x xyey x ?? ?作函数的图形
.
,,
,)4,1(.3
直线
求这条且它们的和最小为正两个坐标轴上的截距都
要使它在引一条直线平面上通过一个已知点 P
通过原点
使曲线的拐点处的法线的值中试决定,)3(.4 22 kxky ??
一, 填空 (24分 )
的单调区间是曲线
则若
则可导若
则设
连续在则补充定义设
34
0
/1
0
2.6
,)l n ()s i n (.5
,)(),
1
(.4
)1(),1s i n (12()(.3
.0)(,)0(,0,)( c o s)(.2
)
31
( s i nl i m.1
2
xxy
dx
dy
xxyxy
dyxf
x
fy
fxxxf
xxffxxxf
t g xx
x
x
x
x
??
????
??
??????
????
??
?
?
3
e-1/2
2
1
x>3/2
dx
xx
f )1)(1( 2??
阶段练习
二, 计算题 (42分 )
.,
1
1
1
1
.6
.,,)(,
)()(
)(
.5
.,
23
1
.4
.),1l n ()3( a r c s i n.3
)
2
(lim.2
)
s i n
1
(lim.1
2
2
)(
2
22
ln
1
22
0
并判断间断点类型的间断点求函数
求存在且不为零
求
求已知
xx
y
dx
yd
dx
dy
tf
tftfty
tfx
y
xx
y
yeexy
a r c t g x
xx
n
xx
x
x
x
?
?
?
??
?
?
?
???
??
??
?
?????
??
?
?
?
???
?
1/3
e-1 x
x
e
e
x
xy
22 191
3a r c s i n6
?
?
?
??
11
)(
)1(
!)1(
)2(
!)1(
?? ?
??
?
??
n
n
n
nn
x
n
x
ny
x=0,1是可去间断点 ;
x=1/2是无穷间断点,
三, 综合题 (34分 )
.0)(,),1(
,3)1(,2)1(,0)(),1[)(.6
.7231.5
).()2;0)(,)1
,1)0(,)(,
0
0
c o s)(
)(.4
.l i m)2;)1,
1
1,1.3
.
1
)1(2
ln,1.2
.
)(
l i m,10
13
]
2
)(
1l n [
l i m.1
10
2
00
有唯一的实根方程内证明在
且上处处有在设函数
课本
求点连续在使确定
且二阶导数连续其中已知
求极限存在证明数列已知
时当证明
求设
???
?????????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
??
?
??
xf
ffxfxf
P
xfxxfa
gxg
xa
x
x
xxg
xf
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xfxa r c t g
xf
n
n
n
n
n
n
x
x
x
难题解答
2,1),(),,(,,:
..1
??? nnmnm
n
mee
e
是正整数则是有理数设若不然证
是无理数证明
,
)1(!
!
!))!1((
,
)!1(!
1
1,
)!1(!
1
1,1
,
)!1(!
1
1
11
1
1
?
?????
?
???
?
????
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
n
e
k
n
nnm
n
e
kn
m
n
e
k
ex
x
n
e
k
x
e
n
k
n
k
n
k
n
xn
k
k
x
即时
?
.,31,矛盾不是整数右边左边是整数 ?? ?e
).(
)()(
,,),(
,0)(,),(,),()(.2
12
12
21 ????
?
?????
f
xx
xfxf
xxba
fbabaxf
使内可找到两个值求证在
是一定点上二次可导在设
.)(,0)(
.,0)()1.
的严格极小点是则不仿设
命题正确时先在证明
xff
f
?????
???
.0)(
)()(
,),()(
),(,),()(
),()(),()(),,(
12
12
21
1
????
?
?
????????
?????????????
?????????????????
f
xx
xfxf
xfxf
xff
ffff
就有令使
由介值定理知若
使的一个小邻域取
).(
)()(
,0)(
)()(
),(,,)1
,0)(,0)()(,)()()(
.0)()2
12
12
12
12
2121
???
?
?
?
????
?
?
??
???????????????
???
f
xx
xfxf
g
xx
xgxg
xxxx
gfgxfxfxg
f
使知由
且则令
的情况再证
