微分方程
习题课 (一 )
典型例题
.)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy ???
求通解
例 1
解 原方程可化为
),
c o ss in
s inc o s
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
?
?
?
,xyu ?令,,uxuyuxy ????? 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu ?????
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu ??
分离变量
两边积分
,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ?? ?,co s 2xCu ??
,co s 2xCxyxy ?? 所求通解为,co s Cxyxy ?
.32 343 yxyyx ???求通解例 2
解 原式可化为,32 3
4
2 yxy
xy ???
,32 23
1
3
4
xyxyy ??? ??即
,31?? yz令 原式变为,323 2xzxz ????
,3 2 2xzxz ????即
方程的通解为
一阶线性非齐方程
伯努利方程
.73 3
2
3
7
3
1
Cxxy ???
?
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
??
???
?
CdxexQe
zy
dxxPdxxP ??
?
?
.032 4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x求通解
例 3
解 )2( 3y xyyP ??????,6 4yx??
)3( 4
22
y
xy
xx
Q ?
?
??
?
?,6
4y
x?? )0( ?y
,xQyP ?????? 方程为全微分方程,
(1) 利用原函数法求解,
,2),,( 3y xxuyxu ???则设原函数为
),(),( 3
2
yyxyxu ????,求导两边对 y
),(331 4
2
4
2
2 yy
x
y
x
yy
u ? ??????
?
?,1)(
2yy ???解得
,1)( yy ??? ?
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(2) 利用分项组合法求解,
原方程重新组合为
,0)1()( 3
2
??? ydyxd即得
,01)32( 24
2
3 ??? dyydyy
xdx
y
x
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(3) 利用曲线积分求解,
,32 4
22),(
)1,0( 3
Cdyy xydxy xyx ?????
,312
1 4
22
0 3
Cdyy xydxx yx ??? ??即
.1 13
2
1
2 C
y
x
yx
yy ????
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
.0)2()2( 2222 ?????? dyxyxdxyyx
求通解
例 4
解,22 ????? yyP?,22 ???? xxQ,xQyP ?????
非全微分方程, 利用积分因子法, 原方程重新组合为
),(2))(( 22 x d yy d xdydxyx ????
.022 2222 ?????? xdydyydyxyd xdxydxx
222 yx
x d yyd xdydx
?
???,
)(1
)(
2
2
x
y
x
y
d
?
?,ln
1
1
ln C
x
y
x
y
yx ?
?
?
???
故方程的通解为,yx yxCe yx ????
一,选择题,
1, 一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy ??? 的通
解是 ( ).
(A)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
?
??
?
?
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
?
?
? dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx ????
22
是 ( ).
(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程,
练 习 题
C
A
3, 2)1(,0
22
??? y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
?? yx ； (B) 3
11
??
??
yx ；
(C) 1
33
?? yx ； (D) 1
33
33
??
yx
.
二,求下列一阶微分方程的通解,
1, )1( l nln ???? xaxyxyx ；
2, 0
33
??? yxxy
dx
dy；
3, 0
22
?
?
?
??
yx
xdyy d x
y d yxdx,
4,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
0)(2 223 ??? dyxyxdxy,11 ?? yx 时,；0)ln21( ??? yyx
x
c
axy
ln
??
1
2
1
2
2
???
?
xeCy
x
C
x
y
yx ??? a rc t a n2
22
B
三、已知某曲线经过点 )1,1(,它的切线在纵轴上的截
距等于切点的横坐标,求它的方程,
四、设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
??? ? xt d ttxx
x
??,求 )( x?,
五,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中
始终对准敌舰, 设敌舰以
0
v常数 沿正北方向直线行驶,已
知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,
并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?
xxxy ln??
xxx s i nco s)( ???
)10(32)1(31)1( 2
3
2
1
???????? xxxy
微分方程习题课 --- 一阶微分方程
一、求通解
1,y ? =1 -x+ y
2
-x y
2
,
ar ctgy = -1/ 2 (x- 1 )
2
+c,
2,x y ? + y= y ( ln y +l nx),
y = e
c x
/x
3,[ co s (x+y
2
)+3 y] dx+ [ 2 y co s (x+ y
2
) +3x ]d y =0
si n (x+ y
2
) +3x y =c
4,(2y-3x y
2
)dx-xd y = 0,
x
3
-x
2
/ y=c,
5,3 y ? - y s ec x= y
4
tgx,
y
-3
= [- s inx-1+co sx ( x+c) ]/ (1+s inx).
二,求初值问题的解
1, ( x- s in y ) dy + t g y d x =0,x ?
y= ? /2
= 1,
2, y ( xy + 1 ) dx + x (1 + xy + x
2
y
2
) dy = 0,
y ?
x =1
= 1, ( 令 t = 1 / xy )
2 x sin y -s in
2
y =1 ; 2 ( x y )
2
l n y -2x y -1= -3( x y )
2
三、
1,设 y =f(x) 可微，求方程 f (x) = e
x
+e
x
?
x
dxxf
0
2
))(( 的通解。
y =2e
x
/ ( 2c- e
2x
)
2,已知线积分
dy
x
xf
dxxxyx
c
? ??
)(
)s i n(
与路径无关，
其中 f( x ) 可微，
0)
2
( ?
?
f
,求 f ( x).
应用问题
1,有连接两点 A (0,1), B ( 1,0) 的一条曲线。设 P ( x,y ) 是曲线
上任一点，曲线位于弦 AP 的上方，且曲线与弦 AP 之
间的面积为 x
3
，求曲线的方程。
2,在第一象限，有一曲线过 (4,1) 点，且在曲线上任一点 P ( x,y )
向 x, y 轴作垂线有垂足 Q, R,又 P 点处的切线交 x 轴
于 T 点，若使长方形 O Q P R 和三角形 P Q T 有相同面积，
求曲线方程。
P(x,y)
A
B O
1）解, 设曲线方程 y=y(x),p(x,y)是曲线上的任一点
AP弦的方程
11),0(011 ???????? XxyYXxyY 即
由题意
22,)1
1(
0
3
00
3 xxyy d xxdXX
x
yy d xx xxx ??????? ??? 即
两边对 x求导,
x
xy
xy
2611 ??
????
解之
2
1
2
615
50,61
xxy
cyxcxy x
????
?????? ?
所求曲线
梯形面积可不用定积分
2）解：设曲线方程 y=f(x)，由题意 ?PQ?=y,?OQ?=x (x,y>0),
P(x,y) R
Q O
?
T
yyPQQTy ???????????? /)t a n (/,2/,0 时当
yyPQQTy ????????? /t a n/,2/,0 时当
yySxySyyQT P Q RO Q R P ?????? ? /21,,/ 2
故得微分方程,
1,/21 42 ??? ?xyyyxy
解之
.2,0;21,0 xyyxyy ????
4,一汽艇以 10 千米 / 小时的速度在静水上停止了发动机，
经 t = 20 秒后，艇的速度减至 v
1
=6 千米 / 小时，确定发动机
停止 2 分钟后艇的速度。
5,设一物体质量为 m,以初速 v
0
从斜面推下。若斜面的倾
角为 ?,摩擦系数为 ?,试求物体在斜面上移动的距离和时
间的关系。
6,为使人造卫星能摆脱地球的引力，象地球一样绕太阳运
行，人造卫星离开地球时必需达到怎样的初始速度？
4）解：设艇速 v=v(t)，阻力 R= - kv 艇的质量为 m
则 tmkCevkv
dt
dvm ????,tmk
t evv
?
? ??? 10100?
3
5ln1 8 0,6106 3 6 0 020
3 6 0 0
20 ????
?
m
kev mk?
小时千米时当 /()
5
3
(1010,
30
1
,10
63
5
ln6
3
5
ln1 8 0
???
??
?
?
evt
ev
t
）
6）解：设卫星的质量 m，由牛顿第二定律、万有引力定律
22
2
2,,,x
Mk
dt
xdxm
x
mMkmaF ??????? 即
并满足初始条件,)(,
000 待定vvRx tt ?? ??
解得,
)2(2
2
0
2
R
Mkv
x
Mkv ???
只有当人造卫星的速度始终大于零，才能脱离地球引力。
R
kmv
R
Mkvv 2,0
2,02 0
2
0
2
???? 只要故，要使
∴ 发射人造卫星的最小速度,v0
∵ x=R时，万有引力 =卫星的重力，即 2
R
k m Mmg ?
∴ 秒米 /1012.11106381.922 35
0 ??????? Rgv
第二宇宙速度
微分方程
习题课 (二 )
.21
2
y
yy ?????求通解
例 1
解,x方程不显含
,,dydPPyPy ?????令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP ??
,1 12 yCP ??解得，
,11 ???? yCP,11 ??? yCdxdy即
故方程的通解为,12 21
1
CxyCC ????
典型例题
.1)1()1(,2 ?????????? yyexeyyy xx
求特解
例 2
解 特征方程,0122 ??? rr
特征根,121 ?? rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY ??
设原方程的特解为,)(* 2 xebaxxy ??
,]2)3([)*( 23 xebxxbaaxy ?????则
,]2)46()6([)*( 23 xebxbaxbaaxy ????????
代入原方程比较系数得将 )*(,)*(*,??? yyy
,21,61 ??? ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy ??
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy ????
,1)1( ?y?,1)31( 21 ???? eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy ??????
,1)1( ??y?,1)652( 21 ???? eCC
,31121 ??? eCC
,6512 21 ??? eCC
由 解得 ?
?
?
?
?
??
??
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey ??????
).2c o s(212 xxyyy ???????求解方程例 3
解 特征方程,042 ??r
特征根,22,1 ir ??
对应的齐方的通解为,2s in2c o s 21 xCxCY ??
设原方程的特解为,*2*1* yyy ??
,)1( *1 baxy ??设,)( *1 ay ??则,0)( *1 ???y
，得代入 xyy 214 ????,xbax 2144 ??
由
，04 ?b
，214 ?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy ??
),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy ??设
,2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy ?????则
,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy ??????
，得代入 xyy 2co s214 ????
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy ????
,2co s212s i n42co s4 xxcxd ??
由
，04 ?? c
，214 ?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy ??
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy ?????
例 4
解 （１） 由题设可得,
??
?
?
?
???
??
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxxp ???
（２） 原方程为,31 3xyxy ?????
，的两个线性无关的特解
程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy ??
是原方程的一个特解，又 xy 1* ?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy ???
.ln53 22 xxyyxyx ??????求解方程
解
例 5
这是一个欧拉方程,
,ln xt ?令
dx
dt
dt
dyy ???则,1
tyx ??
dx
dty
xyxy tt ????????
11
2 ),(
1
2 tt yyx ?????
代入原方程得,54 2 ttt teyyy ?????? (1)
,tex ?
和 (1)对应的齐次方程为
,054 ?????? yyy tt (2)
(2)的特征方程为,0542 ??? rr
特征根为,1,5 21 ??? rr
(2)的通解为,251 tt eCeCY ???
设 (1)的特解为,)( 2* tebaty ??
),22()( 2*1 baatey t ????则
),444()( 2* baatey t ?????
代入原方程比较系数得将 )*(,)*(*,??? yyy
,99 tbat ???,0,91 ???? ba
,91 2* ttey ??
得 (1)的通解为,
9
1 2
2
5
1
ttt teeCeCy ??? ?
故原方程的通解为
.ln91 2251 xxxCxCy ???
间．链条滑过钉子需多少时下垂１０米，试问整个
边的一边下垂８米，另一上，运动开始时，链条
一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在
解
例 6
o
x
m8 m10,,
,
米链条下滑了经过时间
设链条的线密度为
xt
?
则由牛顿第二定律得
,)8()10(2
2
gxgxdt xdm ?? ????
.0)0(,0)0(,99 ???????? xxgxgx即
解此方程得
,1)(21)( 3
1
3
1
??? ? tgtg eetx
,8,?x即整个链条滑过钉子
代入上式得
)().809l n (3 秒?? gt
P
Q
O
R
? ?? x dttfxfs 0 )]()([解,??? x dxxfxxf 0 )()(
?t a n2121 xx ???? yx ??? 241
yxyxyx ?????? 24121 022 ????? yxyx
0)(3)( ????? tyty teccty 321)( ??
321)( xccxf ??
求曲线方程。
面积的一半，的面积总是三角形曲边三角形
点。已知轴于点作曲线的切线交，过垂足为
轴垂线点作为曲线上任意点，从
且时，当设曲线例
P Q RO P R
QOYPR
OYPyxPf
fxfxxfy
),(,0)0(
,0)0(0)(0),(7
??
??????
课堂练习
1) 求以 xxxee xx 2s i n3,2c o s,2,为解的常系数线性齐次方程,
并求出它的通解,
2) 已知 )( xfqyypy ?????? 的三个解,
)1(2),1(3),1( 232221 ?????????? xexyxeyxxy xx
求满足初始条件 0,0
00 ??? ?? xx yy
的特解,
一,
二、写出下列方程的特解形式
xxeyyy
xxeyyy
exyyyxyy
x
x
x
2s i n2)4
2
3
s i n)3
)13(2510)2,)1
2/1
52
???????
??????
????????????
?
?
练习 设 )( x?函数 连续,且满足
?? ???
xxx
dttxdtttex
00
)()()( ???,
)( x?求,
)()()()( 0 xxdttxxex xx ???? ????? ?
)()( xex x ?? ???? xexx ???? )()( ??
012 ??r ir ???
xcxcy s inc o s 21 ??
xAey ?? xe
2
1? 1)0(,1)0( ??? ??
)s i n( co s21)( xexxx ????
三、求解下列方程
)0,()1 ?????? baeyby ax 常数
))3c o s( c o s21(2c o sc o s)2 xxxxyy ???????
.211)0(,3)0(,415164)3 2
3
?????????? ? yyeyyy x
.1)1()1(,ln)4 2 ????????? yyxxyyxyx
四、求解下列方程
)1l n ()1()1 xyyx ???????
.2)0(,1)0(),(2)2 2 ????????? yyyyyy
.0)1(,1)1(,01)3 3 ??????? yyyy
.1)0(,0)0(,1)4 2 ???????? yyyy,0)5 2 ??????? yyyxyxy
五、应用问题
1）水平抛射的运动方程
以质量为 m的物体，从高度为 h处以水平速度抛射，空气阻力与
速度成正比，求抛射体的运动方程 x=x(t),y=y(t),
v
fy
mg
fx
vo
解：将物体的运动分解为水平与垂直方向
在 t时刻，空气阻力 fx=-kx?(t)和 fy=-ky?(t)
由牛顿第二定律
??
?
?
?
???
???
.0)0(,)0(
2
2
yhy
mg
dt
dyk
dt
ydm
??
?
?
?
???
??
.)0(,0)0(
2
2
voxx
dt
dxk
dt
xdm
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
)1()(
)1()(
0
2
2
t
m
k
t
m
k
ev
k
m
tx
e
k
gm
t
k
mg
hty
例, 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初
始速度 00 ?v,物体便离开平衡位置,并在平衡位置
附近作上下振动, 试确定物体的振动规律 )( txx ?,
解 受力分析;.1 cxf ??恢复力 ;.2 dtdxR ???阻力
x
x
o
2）弹簧振动问题
,maF ??,2
2
dt
dxcx
dt
xdm ?????
02 22
2
??? xkdtdxndt xd 物体自由振动的微分方程
,maF ??,2
2
dt
dxcx
dt
xdm ?????
02 22
2
??? xkdtdxndt xd 物体自由振动的微分方程
,s in ptHF ?若受到铅直干扰力
pthxkdtdxndt xd s i n2 22
2
???强迫振动的方程
tLCEudtdudt udLc mccc ??? s i n2 202
2
???
串联电路的振荡方程
3) 追逐线方程
我舰向正东处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终
对准敌舰,设敌舰以沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是
敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行
多远时,将被鱼雷击中?
解,鱼雷的航行曲线 y=f(x)，在 t时刻鱼雷
位于点 (x,y)，敌舰位于 (0,Y)处，则
dx
dyxtvytvY
x
Yy
dx
dy ??????
00,
(x,y)
(0,Y)
V1=2v0
v0
(1)
(1)式两边对 x求导,
2
2
0 dx
ydx
dx
dy
dx
dtv
dx
dy ??? (2)
因为
2222
01 )()()()(2 dt
dx
dt
dx
dx
dy
dt
dx
dt
dyvv ????? （ 3）
b
（ 3）代入（ 2）
dx
dp
dx
ydp
dx
dy
dx
dy
v
v
dx
ydx ?????
2
2
2
1
0
2
2
,)(1 令
2/1
1
2
2 12
1
1
???????
?
xcppxdx
p
dp
2/1
10 0,
?
?
? ???? bcdx
dybx
bx
t?
c
b
x
bxdx
b
x
x
b
y
dx
b
x
x
b
dy
b
x
x
b
p
b
x
pp
x
b
pp
?????
????
????????
?
3
2/12/1
2/12/12/12/1
2/122/12
3
1
])()[(
2
1
])()[(
2
1
,)()(2
)(1,)(1
一、
1,方程 0?????? yy 的通解是 ( ),
(A )
1
c o ssi n Cxxy ??? ；
(B )
321
c o ss i n CxCxCy ??? ；
(C )
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(D ) 1si n Cxy ??,
2,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( ?????? yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy ??
( 其中 21
,CC
为任意常数 ) ( )
(A ) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解；
(C ) 是该方程的特解； ( D) 不一定是该方程的解,
3,求方程 0)(
2
???? yyy 的通解时,可令 ( ).
(A ) PyPy ?????? 则,；
(B )
dy
dP
PyPy ????? 则,；
(C )
dx
dP
PyPy ????? 则,；
(D )
dy
dP
PyPy ?????? 则,.
4,已知方程 0
2
?????? yyxyx 的一个特解为 xy ?,于
是方程的通解为 ( ),
( A )
2
21
xCxCy ?? ； ( B )
x
CxCy
1
21
?? ；
( C )
x
eCxCy
21
?? ； ( D )
x
eCxCy
?
??
21,
5,已知方程 0)()( ?????? yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A ) ?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1； (B) ?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C ) ?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1； (D) ?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
6,方程 xeyyy
x
2c o s23 ?????? 的一个特解形式是
( ).
(A ) xeAy
x
2c o s
1
? ；
(B ) xxeBxxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
(C ) xeBxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
(D ) xexBxexAy
xx
2s i n2c o s
2
1
2
1
??,
二,求下列高阶微分方程的通解,
1, 01
2
?????? yyy ；
2, )4(2 ??????????
x
exyyy,
三、求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0)(2
223
??? dyxyxdxy,11 ?? yx 时,；
2,
xyyy c o s2 ??????
,
2
3
,00 ???? yyx 时,.
四、已知某曲线经过点 )1,1(,它的切线在纵轴上的截
距等于切点的横坐标,求它的方程,
五、设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
???
?
xt d ttxx
x
??,求 )( x?,
六、求一曲线，使曲线上每一点处的切线截割坐标轴
做成的直角三角形的面积均等于 2 。
七,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在
航行中始终对准敌舰, 设敌舰以 0v常数 沿正北方向直线行
驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方
程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?
测验题答案
一,1, B ； 2, B ； 3, B ； 4, B ； 5, A ； 6, C.
二,1, )c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ?? ；
2, xxexxeCeCCy
xxx
???????
? 222
321
)
9
4
6
1
(,
三,1, 0)ln21(
2
??? yyx ；
2, xxey
x
s i n
2
1
??
?
.
四,xxxy ln??,
五,xxx si nc o s)( ???,
七,)10(
3
2
)1(
3
1
)1(
2
3
2
1
???????? xxxy,
习题课 (一 )
典型例题
.)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy ???
求通解
例 1
解 原方程可化为
),
c o ss in
s inc o s
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
?
?
?
,xyu ?令,,uxuyuxy ????? 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu ?????
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu ??
分离变量
两边积分
,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ?? ?,co s 2xCu ??
,co s 2xCxyxy ?? 所求通解为,co s Cxyxy ?
.32 343 yxyyx ???求通解例 2
解 原式可化为,32 3
4
2 yxy
xy ???
,32 23
1
3
4
xyxyy ??? ??即
,31?? yz令 原式变为,323 2xzxz ????
,3 2 2xzxz ????即
方程的通解为
一阶线性非齐方程
伯努利方程
.73 3
2
3
7
3
1
Cxxy ???
?
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
??
???
?
CdxexQe
zy
dxxPdxxP ??
?
?
.032 4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x求通解
例 3
解 )2( 3y xyyP ??????,6 4yx??
)3( 4
22
y
xy
xx
Q ?
?
??
?
?,6
4y
x?? )0( ?y
,xQyP ?????? 方程为全微分方程,
(1) 利用原函数法求解,
,2),,( 3y xxuyxu ???则设原函数为
),(),( 3
2
yyxyxu ????,求导两边对 y
),(331 4
2
4
2
2 yy
x
y
x
yy
u ? ??????
?
?,1)(
2yy ???解得
,1)( yy ??? ?
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(2) 利用分项组合法求解,
原方程重新组合为
,0)1()( 3
2
??? ydyxd即得
,01)32( 24
2
3 ??? dyydyy
xdx
y
x
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(3) 利用曲线积分求解,
,32 4
22),(
)1,0( 3
Cdyy xydxy xyx ?????
,312
1 4
22
0 3
Cdyy xydxx yx ??? ??即
.1 13
2
1
2 C
y
x
yx
yy ????
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
.0)2()2( 2222 ?????? dyxyxdxyyx
求通解
例 4
解,22 ????? yyP?,22 ???? xxQ,xQyP ?????
非全微分方程, 利用积分因子法, 原方程重新组合为
),(2))(( 22 x d yy d xdydxyx ????
.022 2222 ?????? xdydyydyxyd xdxydxx
222 yx
x d yyd xdydx
?
???,
)(1
)(
2
2
x
y
x
y
d
?
?,ln
1
1
ln C
x
y
x
y
yx ?
?
?
???
故方程的通解为,yx yxCe yx ????
一,选择题,
1, 一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy ??? 的通
解是 ( ).
(A)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
?
??
?
?
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
?
?
? dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx ????
22
是 ( ).
(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程,
练 习 题
C
A
3, 2)1(,0
22
??? y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
?? yx ； (B) 3
11
??
??
yx ；
(C) 1
33
?? yx ； (D) 1
33
33
??
yx
.
二,求下列一阶微分方程的通解,
1, )1( l nln ???? xaxyxyx ；
2, 0
33
??? yxxy
dx
dy；
3, 0
22
?
?
?
??
yx
xdyy d x
y d yxdx,
4,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
0)(2 223 ??? dyxyxdxy,11 ?? yx 时,；0)ln21( ??? yyx
x
c
axy
ln
??
1
2
1
2
2
???
?
xeCy
x
C
x
y
yx ??? a rc t a n2
22
B
三、已知某曲线经过点 )1,1(,它的切线在纵轴上的截
距等于切点的横坐标,求它的方程,
四、设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
??? ? xt d ttxx
x
??,求 )( x?,
五,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中
始终对准敌舰, 设敌舰以
0
v常数 沿正北方向直线行驶,已
知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,
并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?
xxxy ln??
xxx s i nco s)( ???
)10(32)1(31)1( 2
3
2
1
???????? xxxy
微分方程习题课 --- 一阶微分方程
一、求通解
1,y ? =1 -x+ y
2
-x y
2
,
ar ctgy = -1/ 2 (x- 1 )
2
+c,
2,x y ? + y= y ( ln y +l nx),
y = e
c x
/x
3,[ co s (x+y
2
)+3 y] dx+ [ 2 y co s (x+ y
2
) +3x ]d y =0
si n (x+ y
2
) +3x y =c
4,(2y-3x y
2
)dx-xd y = 0,
x
3
-x
2
/ y=c,
5,3 y ? - y s ec x= y
4
tgx,
y
-3
= [- s inx-1+co sx ( x+c) ]/ (1+s inx).
二,求初值问题的解
1, ( x- s in y ) dy + t g y d x =0,x ?
y= ? /2
= 1,
2, y ( xy + 1 ) dx + x (1 + xy + x
2
y
2
) dy = 0,
y ?
x =1
= 1, ( 令 t = 1 / xy )
2 x sin y -s in
2
y =1 ; 2 ( x y )
2
l n y -2x y -1= -3( x y )
2
三、
1,设 y =f(x) 可微，求方程 f (x) = e
x
+e
x
?
x
dxxf
0
2
))(( 的通解。
y =2e
x
/ ( 2c- e
2x
)
2,已知线积分
dy
x
xf
dxxxyx
c
? ??
)(
)s i n(
与路径无关，
其中 f( x ) 可微，
0)
2
( ?
?
f
,求 f ( x).
应用问题
1,有连接两点 A (0,1), B ( 1,0) 的一条曲线。设 P ( x,y ) 是曲线
上任一点，曲线位于弦 AP 的上方，且曲线与弦 AP 之
间的面积为 x
3
，求曲线的方程。
2,在第一象限，有一曲线过 (4,1) 点，且在曲线上任一点 P ( x,y )
向 x, y 轴作垂线有垂足 Q, R,又 P 点处的切线交 x 轴
于 T 点，若使长方形 O Q P R 和三角形 P Q T 有相同面积，
求曲线方程。
P(x,y)
A
B O
1）解, 设曲线方程 y=y(x),p(x,y)是曲线上的任一点
AP弦的方程
11),0(011 ???????? XxyYXxyY 即
由题意
22,)1
1(
0
3
00
3 xxyy d xxdXX
x
yy d xx xxx ??????? ??? 即
两边对 x求导,
x
xy
xy
2611 ??
????
解之
2
1
2
615
50,61
xxy
cyxcxy x
????
?????? ?
所求曲线
梯形面积可不用定积分
2）解：设曲线方程 y=f(x)，由题意 ?PQ?=y,?OQ?=x (x,y>0),
P(x,y) R
Q O
?
T
yyPQQTy ???????????? /)t a n (/,2/,0 时当
yyPQQTy ????????? /t a n/,2/,0 时当
yySxySyyQT P Q RO Q R P ?????? ? /21,,/ 2
故得微分方程,
1,/21 42 ??? ?xyyyxy
解之
.2,0;21,0 xyyxyy ????
4,一汽艇以 10 千米 / 小时的速度在静水上停止了发动机，
经 t = 20 秒后，艇的速度减至 v
1
=6 千米 / 小时，确定发动机
停止 2 分钟后艇的速度。
5,设一物体质量为 m,以初速 v
0
从斜面推下。若斜面的倾
角为 ?,摩擦系数为 ?,试求物体在斜面上移动的距离和时
间的关系。
6,为使人造卫星能摆脱地球的引力，象地球一样绕太阳运
行，人造卫星离开地球时必需达到怎样的初始速度？
4）解：设艇速 v=v(t)，阻力 R= - kv 艇的质量为 m
则 tmkCevkv
dt
dvm ????,tmk
t evv
?
? ??? 10100?
3
5ln1 8 0,6106 3 6 0 020
3 6 0 0
20 ????
?
m
kev mk?
小时千米时当 /()
5
3
(1010,
30
1
,10
63
5
ln6
3
5
ln1 8 0
???
??
?
?
evt
ev
t
）
6）解：设卫星的质量 m，由牛顿第二定律、万有引力定律
22
2
2,,,x
Mk
dt
xdxm
x
mMkmaF ??????? 即
并满足初始条件,)(,
000 待定vvRx tt ?? ??
解得,
)2(2
2
0
2
R
Mkv
x
Mkv ???
只有当人造卫星的速度始终大于零，才能脱离地球引力。
R
kmv
R
Mkvv 2,0
2,02 0
2
0
2
???? 只要故，要使
∴ 发射人造卫星的最小速度,v0
∵ x=R时，万有引力 =卫星的重力，即 2
R
k m Mmg ?
∴ 秒米 /1012.11106381.922 35
0 ??????? Rgv
第二宇宙速度
微分方程
习题课 (二 )
.21
2
y
yy ?????求通解
例 1
解,x方程不显含
,,dydPPyPy ?????令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP ??
,1 12 yCP ??解得，
,11 ???? yCP,11 ??? yCdxdy即
故方程的通解为,12 21
1
CxyCC ????
典型例题
.1)1()1(,2 ?????????? yyexeyyy xx
求特解
例 2
解 特征方程,0122 ??? rr
特征根,121 ?? rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY ??
设原方程的特解为,)(* 2 xebaxxy ??
,]2)3([)*( 23 xebxxbaaxy ?????则
,]2)46()6([)*( 23 xebxbaxbaaxy ????????
代入原方程比较系数得将 )*(,)*(*,??? yyy
,21,61 ??? ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy ??
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy ????
,1)1( ?y?,1)31( 21 ???? eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy ??????
,1)1( ??y?,1)652( 21 ???? eCC
,31121 ??? eCC
,6512 21 ??? eCC
由 解得 ?
?
?
?
?
??
??
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey ??????
).2c o s(212 xxyyy ???????求解方程例 3
解 特征方程,042 ??r
特征根,22,1 ir ??
对应的齐方的通解为,2s in2c o s 21 xCxCY ??
设原方程的特解为,*2*1* yyy ??
,)1( *1 baxy ??设,)( *1 ay ??则,0)( *1 ???y
，得代入 xyy 214 ????,xbax 2144 ??
由
，04 ?b
，214 ?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy ??
),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy ??设
,2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy ?????则
,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy ??????
，得代入 xyy 2co s214 ????
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy ????
,2co s212s i n42co s4 xxcxd ??
由
，04 ?? c
，214 ?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy ??
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy ?????
例 4
解 （１） 由题设可得,
??
?
?
?
???
??
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxxp ???
（２） 原方程为,31 3xyxy ?????
，的两个线性无关的特解
程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy ??
是原方程的一个特解，又 xy 1* ?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy ???
.ln53 22 xxyyxyx ??????求解方程
解
例 5
这是一个欧拉方程,
,ln xt ?令
dx
dt
dt
dyy ???则,1
tyx ??
dx
dty
xyxy tt ????????
11
2 ),(
1
2 tt yyx ?????
代入原方程得,54 2 ttt teyyy ?????? (1)
,tex ?
和 (1)对应的齐次方程为
,054 ?????? yyy tt (2)
(2)的特征方程为,0542 ??? rr
特征根为,1,5 21 ??? rr
(2)的通解为,251 tt eCeCY ???
设 (1)的特解为,)( 2* tebaty ??
),22()( 2*1 baatey t ????则
),444()( 2* baatey t ?????
代入原方程比较系数得将 )*(,)*(*,??? yyy
,99 tbat ???,0,91 ???? ba
,91 2* ttey ??
得 (1)的通解为,
9
1 2
2
5
1
ttt teeCeCy ??? ?
故原方程的通解为
.ln91 2251 xxxCxCy ???
间．链条滑过钉子需多少时下垂１０米，试问整个
边的一边下垂８米，另一上，运动开始时，链条
一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在
解
例 6
o
x
m8 m10,,
,
米链条下滑了经过时间
设链条的线密度为
xt
?
则由牛顿第二定律得
,)8()10(2
2
gxgxdt xdm ?? ????
.0)0(,0)0(,99 ???????? xxgxgx即
解此方程得
,1)(21)( 3
1
3
1
??? ? tgtg eetx
,8,?x即整个链条滑过钉子
代入上式得
)().809l n (3 秒?? gt
P
Q
O
R
? ?? x dttfxfs 0 )]()([解,??? x dxxfxxf 0 )()(
?t a n2121 xx ???? yx ??? 241
yxyxyx ?????? 24121 022 ????? yxyx
0)(3)( ????? tyty teccty 321)( ??
321)( xccxf ??
求曲线方程。
面积的一半，的面积总是三角形曲边三角形
点。已知轴于点作曲线的切线交，过垂足为
轴垂线点作为曲线上任意点，从
且时，当设曲线例
P Q RO P R
QOYPR
OYPyxPf
fxfxxfy
),(,0)0(
,0)0(0)(0),(7
??
??????
课堂练习
1) 求以 xxxee xx 2s i n3,2c o s,2,为解的常系数线性齐次方程,
并求出它的通解,
2) 已知 )( xfqyypy ?????? 的三个解,
)1(2),1(3),1( 232221 ?????????? xexyxeyxxy xx
求满足初始条件 0,0
00 ??? ?? xx yy
的特解,
一,
二、写出下列方程的特解形式
xxeyyy
xxeyyy
exyyyxyy
x
x
x
2s i n2)4
2
3
s i n)3
)13(2510)2,)1
2/1
52
???????
??????
????????????
?
?
练习 设 )( x?函数 连续,且满足
?? ???
xxx
dttxdtttex
00
)()()( ???,
)( x?求,
)()()()( 0 xxdttxxex xx ???? ????? ?
)()( xex x ?? ???? xexx ???? )()( ??
012 ??r ir ???
xcxcy s inc o s 21 ??
xAey ?? xe
2
1? 1)0(,1)0( ??? ??
)s i n( co s21)( xexxx ????
三、求解下列方程
)0,()1 ?????? baeyby ax 常数
))3c o s( c o s21(2c o sc o s)2 xxxxyy ???????
.211)0(,3)0(,415164)3 2
3
?????????? ? yyeyyy x
.1)1()1(,ln)4 2 ????????? yyxxyyxyx
四、求解下列方程
)1l n ()1()1 xyyx ???????
.2)0(,1)0(),(2)2 2 ????????? yyyyyy
.0)1(,1)1(,01)3 3 ??????? yyyy
.1)0(,0)0(,1)4 2 ???????? yyyy,0)5 2 ??????? yyyxyxy
五、应用问题
1）水平抛射的运动方程
以质量为 m的物体，从高度为 h处以水平速度抛射，空气阻力与
速度成正比，求抛射体的运动方程 x=x(t),y=y(t),
v
fy
mg
fx
vo
解：将物体的运动分解为水平与垂直方向
在 t时刻，空气阻力 fx=-kx?(t)和 fy=-ky?(t)
由牛顿第二定律
??
?
?
?
???
???
.0)0(,)0(
2
2
yhy
mg
dt
dyk
dt
ydm
??
?
?
?
???
??
.)0(,0)0(
2
2
voxx
dt
dxk
dt
xdm
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
)1()(
)1()(
0
2
2
t
m
k
t
m
k
ev
k
m
tx
e
k
gm
t
k
mg
hty
例, 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初
始速度 00 ?v,物体便离开平衡位置,并在平衡位置
附近作上下振动, 试确定物体的振动规律 )( txx ?,
解 受力分析;.1 cxf ??恢复力 ;.2 dtdxR ???阻力
x
x
o
2）弹簧振动问题
,maF ??,2
2
dt
dxcx
dt
xdm ?????
02 22
2
??? xkdtdxndt xd 物体自由振动的微分方程
,maF ??,2
2
dt
dxcx
dt
xdm ?????
02 22
2
??? xkdtdxndt xd 物体自由振动的微分方程
,s in ptHF ?若受到铅直干扰力
pthxkdtdxndt xd s i n2 22
2
???强迫振动的方程
tLCEudtdudt udLc mccc ??? s i n2 202
2
???
串联电路的振荡方程
3) 追逐线方程
我舰向正东处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终
对准敌舰,设敌舰以沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是
敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行
多远时,将被鱼雷击中?
解,鱼雷的航行曲线 y=f(x)，在 t时刻鱼雷
位于点 (x,y)，敌舰位于 (0,Y)处，则
dx
dyxtvytvY
x
Yy
dx
dy ??????
00,
(x,y)
(0,Y)
V1=2v0
v0
(1)
(1)式两边对 x求导,
2
2
0 dx
ydx
dx
dy
dx
dtv
dx
dy ??? (2)
因为
2222
01 )()()()(2 dt
dx
dt
dx
dx
dy
dt
dx
dt
dyvv ????? （ 3）
b
（ 3）代入（ 2）
dx
dp
dx
ydp
dx
dy
dx
dy
v
v
dx
ydx ?????
2
2
2
1
0
2
2
,)(1 令
2/1
1
2
2 12
1
1
???????
?
xcppxdx
p
dp
2/1
10 0,
?
?
? ???? bcdx
dybx
bx
t?
c
b
x
bxdx
b
x
x
b
y
dx
b
x
x
b
dy
b
x
x
b
p
b
x
pp
x
b
pp
?????
????
????????
?
3
2/12/1
2/12/12/12/1
2/122/12
3
1
])()[(
2
1
])()[(
2
1
,)()(2
)(1,)(1
一、
1,方程 0?????? yy 的通解是 ( ),
(A )
1
c o ssi n Cxxy ??? ；
(B )
321
c o ss i n CxCxCy ??? ；
(C )
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(D ) 1si n Cxy ??,
2,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( ?????? yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy ??
( 其中 21
,CC
为任意常数 ) ( )
(A ) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解；
(C ) 是该方程的特解； ( D) 不一定是该方程的解,
3,求方程 0)(
2
???? yyy 的通解时,可令 ( ).
(A ) PyPy ?????? 则,；
(B )
dy
dP
PyPy ????? 则,；
(C )
dx
dP
PyPy ????? 则,；
(D )
dy
dP
PyPy ?????? 则,.
4,已知方程 0
2
?????? yyxyx 的一个特解为 xy ?,于
是方程的通解为 ( ),
( A )
2
21
xCxCy ?? ； ( B )
x
CxCy
1
21
?? ；
( C )
x
eCxCy
21
?? ； ( D )
x
eCxCy
?
??
21,
5,已知方程 0)()( ?????? yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A ) ?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1； (B) ?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C ) ?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1； (D) ?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
6,方程 xeyyy
x
2c o s23 ?????? 的一个特解形式是
( ).
(A ) xeAy
x
2c o s
1
? ；
(B ) xxeBxxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
(C ) xeBxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
(D ) xexBxexAy
xx
2s i n2c o s
2
1
2
1
??,
二,求下列高阶微分方程的通解,
1, 01
2
?????? yyy ；
2, )4(2 ??????????
x
exyyy,
三、求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0)(2
223
??? dyxyxdxy,11 ?? yx 时,；
2,
xyyy c o s2 ??????
,
2
3
,00 ???? yyx 时,.
四、已知某曲线经过点 )1,1(,它的切线在纵轴上的截
距等于切点的横坐标,求它的方程,
五、设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
???
?
xt d ttxx
x
??,求 )( x?,
六、求一曲线，使曲线上每一点处的切线截割坐标轴
做成的直角三角形的面积均等于 2 。
七,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在
航行中始终对准敌舰, 设敌舰以 0v常数 沿正北方向直线行
驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方
程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?
测验题答案
一,1, B ； 2, B ； 3, B ； 4, B ； 5, A ； 6, C.
二,1, )c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ?? ；
2, xxexxeCeCCy
xxx
???????
? 222
321
)
9
4
6
1
(,
三,1, 0)ln21(
2
??? yyx ；
2, xxey
x
s i n
2
1
??
?
.
四,xxxy ln??,
五,xxx si nc o s)( ???,
七,)10(
3
2
)1(
3
1
)1(
2
3
2
1
???????? xxxy,
