多重积分
习题课
注意,
1、奇偶性
?????
DD
d x d yxyfd x d yyxf ),(),(
2,轮换性
dx dyyx
D
?? ?? )(s i n1 2 ?? ?? D dxdyyx )c o s(
?
?
））、（（ 3117.9147P
?
?
?
????
??
211
10
xyx
x
解：
?
?
?
?
?
??
?
??
1
s i nc o s
1
2
0
r
D
??
?
?
：
?? s i nc o s
11
????? ryx
??
???
?
????
1
s i nc o s
120 )s i n,c o s( r d rrrfdI
)1,1( ?s i n21)1( 22 ????? ryx
?c o s21)1( 22 ????? ryx
?? ?? ???? s i n204/0 )s i n,c o s( r d rrrfdI
?? ??? ???? c o s202/ 4/ )s i n,c o s( r d rrrfd
72.91 6 41 P例
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
?
?
?
??
?
?
?
??
?
? ?? si nc o s
y
f
x
f
?
??
?
??
rrf??? yyfxxf ??????
dr
r
r
fr
d? ??
???
?
?
?
?
??? 2
0
1
2
2
0
l i m
2
1左式
???????? ?? dff )]s i n,c o s()s i n,( c o s[l i m2 1 200 ??? ??
?????? ?? df )s i n,c o s(l i m2 1 200 ??? ??
)0,0()si n,c o s(l i m 000 ff ?? ? ?????
drrfd ?? ??
?? ?
??
?
?? 12
00lim2
1
例 2,)()(
1
1)()( 12
? ?? ???? ??
b
a
nx
a
nb
a dyyfybndyyfyxdx
证明
证 ??
??
?
?
??
?
b
y
n
b
a
x
a
n
b
a
dxyfyxdy
dyyfyxdx
)()(
)()(
2
2
? ???? ba bynyxndyyf ])(11[)( 1
.)()(11 1? ???? b
a
n dyyfyb
n
D
xy?
b
b
a
a
P150 9.26(1)
??
?
?
??
xv
yxu证：
??
?
??
??
uvy
vx
v
u
1?J
???? ???? ?? 2/ 2/02/2/0 )()( A AuAAu AA dvduufdvduufI
? ??? ?? ? AA duufuAduufAu 00 )()()()(
? ???? ???? ?? AAAA duuufduuufduuAfduuAf 0000 )()()()(
P150 9.26(1)
??
?
??
??
yxv
yxu证：
?
?
?
?
?
??
??
?
)(
2
1
)(
2
1
uvy
uvx
2
1?J
d u d vufI
D
???
1 2
1)(2
? ??? ?? ? AA duufuAduufAu 00 )()()()(
???? ??? ?? uAAAuA dvduufdvduuf 0000 )()(
u
v
x
y
例 2 计算三重积分 d x d y d zxy???
?
? 21,其中 ? 由曲
面 221 zxy ????, 122 ?? zx, 1?y 所围成,
将 ? 投影到 z ox 平面得
:xzD 122 ?? zx,
先对 y 积分，再求 xzD 上二重积分,
解 如图,
??? ?????
1
1
2
221 zx
D
dyd x d zxy
xz
原式
dzzxxdx x x 21
221
1
1
1
22
2
??? ? ?
?
?
?? dx
zzxx x
x
2
2
1
1
3
21
1
2 |)
3(1
?
??? ??? ?
?? ??? 1 1 42 )21(31 dxxx.4528?
例 3,)()(
2
1
]))(([
0
2
0 0 0 ?? ? ?
??
xx v u
dttftxdvdudttf
证明
证 思路：从改变积分次序入手,
? ?? ? ? v vtv u dutfdtdttfdu 00 0 )()(? ? ?? v dttftv0,)()(
? ?? ? ? ??? x vx v u dttftvdvdvdudttf 0 00 0 0 )()(]))(([
? ? ?? x xt dvtftvdt0 )()(,)()(21 0 2? ?? x dttftx
0 v u
t
D v
t
D
x
例 3
.)()(21]))(([ 0 20 0 0 ?? ? ? ?? xx v u dttftxdvdudttf证明
证
.)()(21 0 2? ?? x dttftx
?? u dttfuF 0 )()(令
duuFdudttf vv u ?? ? ? 00 0 )())((
? ??? vv duuFuuuF 00 )()]([ ??? v uufvvF 0 )()(
?? v duuufvG 0 )()(令
?? ? ?x v u dvdudttf0 0 0 ]))(([ ?? ? xx dvvGdvvvF 00 )()(
?? ?????? xxxx dvvGvvvGdvvFvvFv 000
2
0
2
)(])([)(2)](2[
?? ???? xx dvvfvxxGdvvfvxFx 0 20
22
)(])([)(2)](2[
)8(65.91 6 2P ? ?1 ),(x yx dzyxfdy
? ?? 1 1 ),(x z dyyxfdz
dyyxfdzdxI zx ???? 1110 ),(
dyyxfdxdz zz ???? 1010 ),(
x
z
D dxyxfdydz z
z ???? 0110 ),(
y
z
x 1
D
x
y
z
z
1
D
51.91 5 4P
drrrrrfddI ??? ?
?
??
?? ?????????
c o s2
c o s
1
24
0
2
2
s i n)c o s,s i ns i n,s i nc o s(
）、（ 3)1(48.9153P
??
?
??
??
?
??
si n0
0
rD,
dzzrrfr d rdI r??? ???? ?? 30sin00 ),s i n,c o s(0
y
??? ???? ? 212020 ),s i n,c o s()3( dzzrrfr d rdI
??? ???? ? 2
2
2
2
2
0 2 ),s i n,c o s(r dzzrrfr d rd
???? z rd rzrrfddz 202021 ),si n,c o s( ????
x
y
z
1
2
所围立体体积。与平面求曲面例 0,1 22 ????? xxzyxz
?
?
?
?
???
xz
yxz 221解：
dxdyxyxv
D
]1[ 22 ???? ??
x
y
221 yx ???
x
y
z
所围空间区域的体积。切平面与曲面
处的上点求曲面例
22
22 )3,1,1(15
yxz
Myxz
??
????
zyxzyxF ???? 1),,( 22解：
xzyxF x 2),,( ? yzyxF y 2),,( ?
1),,( ??zyxF z
0122,????? zyx切平面
?? ????? D dxdyyxyxv )122( 22则
??
?
??
????
22
0122
yxz
zyx
1)1()1(,22 ????? yxD xy
??
????
?????
12)1(2)1(
22 ])1()1(1[
yx
d x d yyx r d rrd )1(10 220 ? ??? ? ?
2
??
32.91 5 1P
a
hazzyx
a
hz
yx
2222
22 1 ???????锥面：
axyxD ?? 22：
?? ??
D
d x d ya haS
22
1 2 42
222 a
a
ha ???
2xaxy ?? 22
2
xax
xay
x ?
??
2
22
21 xax
ayy
zx ?????柱面：
dxdyxax aS
D 22
2 24 ?? ??
??
?
? a
xha
dzdx
xax
a
020 24 ahdxxa
haa 42
0 ??? ?
2
2 zh
ax ?
D2
x
y
z
融化需多少时间？
厘米的雪堆全部问高度为面积成正比（比例系数
率与侧），已知体积减少的速厘米，时间单位为小时
设长度单位为其侧面满足方程
的雪堆在融化过程中，为时间例：设有一高度为
1 3 0)9.0
(
)(
)(2
)(
))((
22
th
yx
thz
tth
?
??
sdtdv 9.0?解,sdtdv 9.0???
????? ? ??
D
th
D
th dxdydzdzdxdyv )(
0
)(
0
? ?? )(0 2 ])()([21th dzzthth? )(4 3 th??
dxdyzzs
D yx
?? ??? 221
dxdy
th
yx
thyx
??
??
???
2
)(
2
22
2
22 )(
)(161
r d rrthdth
th
]16)([)(1 2
)(
0
222
0 ?? ??
? ?
12
)(13 2 th??
sdtdv 9.0?? 1013)( ??? dt tdh
ctth ???? 1013)( 100?? t
1,设 ? 是由三个坐标面与平面 zyx ?? 2 =1 所围成的
空间区域,则 ???
?
x d x d y d z =( ),
( A )
48
1； ( B)
48
1
? ；
(C)
24
1； ( D )
24
1
?,
2,设 ? 是锥面,0(
2
2
2
2
2
2
??? a
b
y
a
x
c
z
)0,0 ?? cb 与平面
czyx ???,0,0 所围成的空间区域在第一卦限的部分,
则 ? ? ?
?
d x d y d z
z
xy
=( ),( A ) cba
22
36
1；
( B ) bba
22
36
1； ( C ) acb
22
36
1； ( D ) abc
36
1
.
课堂练习
一,
先对 z积分
先对 y积分
3,计算 ???
?
? z dvI,其 1,
222
???? zyxz为中 围
成的立体,则正确的解法为 ( ) 和 ( ),
(A) ???
?
??
1
0
1
0
2
0
z d zr d rdI ； (B)
???
?
??
11
0
2
0 r
z d zr d rdI ；
(C) ???
?
??
11
0
2
0 r
r d rdzdI ； (D )
???
?
??
z
z r d rddzI
0
2
0
1
0
.
二、
1,求由
zazyx
32222
)( ???
所围立体体积；
2,内壁形状为抛物面 z=x
2
+y
2
的容器，原盛有 8 ? c m
3
的水，后来又注入 64 ? 的水，试求水面比原来升高多少；
三、将三次积分
???
y
xx
dzzyxfdydx ),,(
11
0
改换积分次序
为 zyx ??,
四、计算下列三重积分,
1, ?????
?
,)c o s ( d x d y d zzxy, 抛物柱面 xy ?
2
,,
?
???? zxozoy及平面 所围成的区域,
2,,)(
22
???
?
? dvzy 其中 ? 是由 x o y 平面上曲线
xy 2
2
? 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5?x 所围
成的闭区域,
3,
,
2
222
???
?
??
dvex
a
zyx
其中
?
是由球面
2222
azyx ???
及坐标面围成第一挂限闭区域,
五、设 f ( x) 连续,???
?
??? d x d y d zyxfztF )]([)(
222
,其中
?, 0 ? z ? h,x
2
+y
2
? t
2
,求
dt
tdF )(
.
六、设
)( xf
在
]1,0[
上连续,试证,
3
1
0
1
0
1
])([
6
1
)()()(
?? ? ?
? dxxfd x d y d zzfyfxf
x
y
x
,
一,1, A ； 2, A ； 3, B,D.
二,1,
??
? x
x
dyyxfdx
3
2
2
0
),( ；
2,
????
?
?
22
2
0
2
10
1
0
),(),(
yyy
dxyxfdydxyxfdy ；
3,
??
a
r
a
drrfr d r ??? )s i n,c o s(
0
.
三、
???
z
z
dxzyxfdydz
0
11
0
),,(,
四,1,
2
1
16
2
?
?； 2, ?
3
2 5 0； 3,
?
8
4
a
.
答案
五、
222222
2
1
accbba ??,
六、提示：
0)0(,)()(
)()(,)()(
1
0
0
??
???
?
?
FdxxftF
xfxFdttfxF
x
且
则