多元函数微分法
及其应用
习题课 (一 )
?? 的方向导数。沿着任一方向在点
求函数、设
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
c o s,c o s)0,0(),(
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),(1 24
3
yxf
yx
yx
yx
yx
yx
yxf
不可微，只能用定义。解,),( yxf?
??
)0,0(),(l i m
0
fyxf
l
f ????
?
??
? ??
24
3
0
lim yx
yxyx
???
??????
?
?
?
????
???
????
?
2244
34
0
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
lim ?
??
?
?
.c o sc o s ?? ??
2,证明函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n)(
),( 22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
在点（ 0, 0 ）可微，但偏导数不连续。
3, 求 函数的一阶偏导数,
?
?
?
?
?
??
??
??
00
0
),(
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf,
4, 设
),( zxfu ?
,而
),( yxz
是由方程
)( zyxz ???
所
确的函数,求 du,
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
0,0
0,
)(
)(
),(
22
22
222
222
yx
yx
yx
yxx
yxf
y
,
4, dy
zy
zf
dx
zy
f
f
1)(
)(
)
1)(
(
22
1
??
?
??
?
?
?
?
,
3,
,
0,0
0,
)(
2
),(
22
22
222
3
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
x
5,设 ( 3x
2
y
2
– 2 a x s i n y ) dx + ( x
2
c o s y + b x
3
y ) dy 是
某个二元函数 u ( x,y ) 的全微分，试求 a,b 的量。
6,设 u = f ( x,y,z ),又 y= ? ( x,t ),t= ? ( x,z ),且这些函数均
可微，求
x
u
?
?
,
.2,1,;3c o s2;c o s26
c o s;s i n235
22
2
2
2
2
3222
????
??
?
?
??
?
??
??
?
??
??
?
??
?
?
??
?
?
ba
xy
u
yx
u
ybxyx
xy
u
yaxyx
yx
u
ybxyx
y
u
yaxyx
x
u
?解、
][6 xttyxyyfxfxu ???????????????解、
z
xy
x
t
x
z
u
解
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的
具有什么关系时的方向导数，问的向径
处沿点在点求
cbar
zyxM
c
z
b
y
a
x
u ???
例 1
? ?,,,,2020200000 0 zyxrzyxr ?????
.co s,co s,co s
0
0
0
0
0
0
r
z
r
y
r
x ??? ???
处的方向导数为在点 M?
??? co sco sco s
0
MMMM z
u
y
u
x
u
r
u
?
??
?
??
?
??
?
?
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0 222
r
z
c
z
r
y
b
y
r
x
a
x ??? )(2
2
2
2
2
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
r ???
.),,(2 2
0
2
0
2
000
0 zyx
zyxu
???
处的梯度为在点 M?
kzujyuixug r a d u MMMM ?????????
,222 2 02 02 0 kc zjb yia x ???
,2 4
2
4
2
4
2
000
c
z
b
y
a
xg r a d u
M ???
,时当 cba ??,2 2222 000 zyxag r a d u M ????
,
2)(
2
2
0
2
0
2
22
0
2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyx
azyx
zyx
a
r
u
M ?????
??
?
?
?
,
0
MM g r a d ur
u ?
?
??
.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
但无极小值。
有无穷多个极大值，证明函数例 yy yexeZ ??? c o s)1(2
yyyyyx yeexeZxeZ ?????? c o s),si n)(1(证明：
0)1( c o s0)s i n( ????? yxx,
)2,)12((),0,2( ??? ?? nn驻点
yyyyyyyxx yeeexeZxeZ ??????? c o s),c o s)(1(
)s in( xeZ yxy ??
0202,)0,2( 2 ??????? ABACn 且处在
函数取得极大值。处在 )2,1,0()0,2( ????? nn ?
01)2,)12(( 4
2
2 ???????
e
eBACn 处在 ?
极小值。不是极值点，函数没有)2,)12(( ??? ?n
（ 1 ）求解极值应用题时，先要建立目标函数．有时，为
简化计算，可用较简单的函数代替原来的目标函数，但
必须保证两 函数有相同极值点．例如
a b c
x y z
6
可用 xyz 代替；
222
1
zyx ??
可用
222
zyx ??
代替（ 前者为最大，对后者
为最小）；
cbyax ??
可用
2
)( cbyax ??
代替等．但求最值
时，必须用原来的 函数求出；
（ 2 ）若从实际问题可断定函数 的最 值存在，又函数的
可能极值点唯一，则函数必在该点取得最大（小）值,
例 3 在曲面
1??? zcybxa ( a > 0,b > 0,c > 0 ) ( 1 )
上作切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积
最大，求切点的坐标．
解 设 P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 为曲面上任一点 （其中 x
0
>0, y
0
>0, z
0
>0 ），
曲面在 P
0
点的切平面方程为
0)(
2
)(
2
)(
2
0
0
0
0
0
0
?????? zz
z
c
yy
y
b
xx
x
a
(2 )
因 P
0
在曲面上，即 1000 ??? zcybxa,
将它代入 ( 2 ) 式，可化切平面方程为，
1
000
??? z
z
c
y
y
b
x
x
a
因此,切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 a b c
zyxV
6
000?,
于是问题转化为求函数 u=xyz （ x>0, y>0, z>0 ）在条件 ( 1 )
下的 最大值问题,
令 F(x,y,z)=xyz ＋ ? (
1??? zcybxa
),解方程组
0
2
,
2
,0
2
0
?
?
??
?
???
?
??
z
c
xyF
y
b
xzF
x
a
yzF
zyx
01 ???? zcybxa
(3)
可得
zcybybxa ??,
代入 （ 3 ） 式得唯一解
)
9
1
,
9
1
,
9
1
(),,(
222
cba
zyx ?
依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在该点达到
最大值,
之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 ????? zyxyxz
例 4
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
????
????
??
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面
则上任一点为抛物面设
分析,
最小．即
且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
????
???????
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
???????
???????
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
?
?
.81,41,41 ??? zyx解此方程组得
得
.64 7241414161m i n ?????d
),81,41,41(即得唯一驻点
处取得最小值．驻点，故必在
一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
一、
1) 求函数 u=x y
2
+z
3
-x y z 在点 ( 1,1,2 ) 处沿向量 }1,2,1{?l
?
方向的
方向导数。
2) 求函数
222
zyx
x
u
??
?
在点 M( 1,2,- 2) 沿曲线 x= t,y =2t
2
,z = - 2t
4
在该点的切线且指向与 x 轴成钝角的方向的导数。
3) a,求函数 u =x+ y +z 在球面 x
2
+y
2
+z
2
=1 上 M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 点处沿
外法线方向的方向导数。
b,在球面上哪些点处沿外法线方向的方向导数有最大值、
最小值、等于零。
提示,1）
5},11,0,1{},1,2,1(21 0)2,1,1(0 ???????? lg r a d uluug r a dl ??
}2,2,8{
27
1
}
)(
,
)(
,
)(
{
)()2
2/32222/32222/3222
22
??
??
?
??
?
??
?
?
M
M
zyx
z
zyx
y
zyx
zy
g r a d u
243
16
)(
}8,4,1{
9
1
},8,41{},,{
0
0
)1(
???
?
?
???
????
?
sg r a d u
s
u
s
zyxs
MM
tMttt
?
?
?
曲线切向量
3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(;3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(,
3
3
0
),1(),,(
,1
},,,{)3
mi n
max
222
222
000000
0
??
?
?
???
?
?
?
????
????
????????
??????
?
?
???
?
?
??
?
l
u
l
u
zyx
FFFF
zyxzyxzyxF
zyxzyx
l
u
zyx
l
u
zyxl
zyx
在点
在点
由
设下的最值在条件求
?
F
uc
z
z
u
F
ub
y
y
u
F
ua
x
uc
z
ub
y
ua
x
ua
x
x
u
z
u
y
u
x
u
g r a d u
/
2
,/
2
:
/
2
]
)()()(
/[
2
},,,{)4
22
222
2
22
2
22
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由轮换对称性
?
F
FFgr ad u
F
F
uc
z
ub
y
ua
x
gr ad ua
4
/4)(
4
/][42
22
2
2
2
2
2
2
??
?
?
?
?
?
?
??
?
4 ) 设 u =u ( x,y,z ),满足 12
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
? uc
z
ub
y
ua
x
,
证明 g r a d uag r a d u
?
2)(
2
? 其中, }.,,{ zyxa ?
?
二,
1) 求曲线 x =t,y =t
2
,z =t
3
上与平面 x +2 y +z =4 平行的切线方程。
2) 求曲面 z =4 - x
2
- y
2
上平行平面 2 x +2 y +z =0 的切平面。
3) 证明：曲面 x y z = a
2
( a > 0 ) 的切平面与坐标面形成的四面体
体积为常数。
?
??
,
3
1
,10}1,2,1{},3,2,1{)1
:
2 ??????? tstts 由题意
提示
.822),4,1,1(
,
}1,2,2{}1,2,2{
};1,2,2{}1,,{)2
???
???
?
??????
zyx
kzyx
yx
yxzzn
yx
所求切平面得切点
代入曲面方程将
则
切平面法向量
?
三,1 ) 求
22
)(
22 yx
eyxz
??
?? 的极值。
2) 设椭球面由 1
4
2
2
?? y
x
绕 y 轴旋转生成，在其第一挂限
求一点，使曲面在该点的切平面与三个坐标面所围成
的四面体的体积最小。
3) 求函数 n
xxxu ?
21
?
在条件 axxx n ???? ?21 下的
最大值。
.1.0)2(
,:,__0)(
0)0,0(,4,2,0,2
.1),0,0(0,0)1
221
1
2
2
22
1
2
2
)0,0()0,0()0,0(
22
22
上取极大故函数在
令无法判断
极小值
驻点提示
???????
?????
???????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yxeet
dt
zd
teztyxBAC
fBAcCBA
yx
y
z
x
z
t
t
t
yx
?
.32)
3
2
,
3
1
,
3
2
(
,0
),1
4
(),,,(
.
1
4
,
.
1
3
8
),(1)(
4
)()(
4
),,(1
4
)2
mi n
2
22
2
22
000
0
0
000
0
000
2
22
?
????
??
?
????
??
?
?
?
??????
??
?
?
V
FFFF
y
yx
x y zzyxF
y
yx
x y zu
zyx
V
zz
z
yyyxx
x
zyxy
yx
zyx
有在第一挂限点
求出由
设
下的最大值
在条件只要求函数要求原问题
四面体体积
改成截距式
的切平面在点椭球方程
n
n
n
xxxn
xxx
?
?
21
21 1
111
?
???
n
xxx
xxx
n
a
xxx
n
a
x
a
nu
anuxxxnnu
axxxxu
x
F
x
axxxxxxF
n
n
n
n
ni
n
ni
i
i
nn
???
?
??
?
???????????
?????????
?
?
???????
?
?
?
?
?
??
21
21
21
21
21
2121
,)(.:
,,0)(
0,0
),()3
唯一条件驻点
即有
由
令
附加,
1 ) 求椭圆上
?
?
?
???
??
1
22
zyx
yxz
距坐标原点最远和最近的点。
2 ) 求椭球面 x
2
+ 2 y
2
+3 z
2
=2 1 上点 M 处切平面 ? 的方程，
使 ? 过 直线 L,
2
12
3
2
6
?
?
???
? z
y
x
。
3 ) 求
zyx ln3lnln ??
在球面
2222
5 rzyx ???
上的部分
最大值,其中 x,y,z >0, 且用此结果证明对于正实数
a,b,c 有
53
)
5
(27
cba
a b c
??
?
4) 求平面 1
543
??? zyx 和柱面 122 ?? yx 的交线上与 x o y
平面 距离最短的点, ).
12
35,
5
3,
5
4(
05
02
3
,02
1
,02
1
:
)5(lnlnln)3:
2222
2222
????
????????????
????????
rzyx
z
z
Fy
y
Fx
x
F
rzyxzyxF
zyx令
解
2/5
222
622
55
)
5
(27
,27ln
2
1
33ln)3,,(
3,:
zyx
zyx
rrrrf
zryx
??
?
???
???
即
由题意得最大值唯一条件驻点
多元函数微分法
及其应用
习题课 (二 )
解
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的
具有什么关系时的方向导数，问的向径
处沿点在点求
cbar
zyxM
c
z
b
y
a
x
u ???
例 1
? ?,,,,2020200000 0 zyxrzyxr ?????
.co s,co s,co s
0
0
0
0
0
0
r
z
r
y
r
x ??? ???
处的方向导数为在点 M?
??? co sco sco s
0
MMMM z
u
y
u
x
u
r
u
?
??
?
??
?
??
?
?
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0 222
r
z
c
z
r
y
b
y
r
x
a
x ??? )(2
2
2
2
2
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
r ???
.),,(2 2
0
2
0
2
000
0 zyx
zyxu
???
处的梯度为在点 M?
kzujyuixug r a d u MMMM ?????????
,222 2 02 02 0 kc zjb yia x ???
,2 4
2
4
2
4
2
000
c
z
b
y
a
xg r a d u
M ???
,时当 cba ??,2 2222 000 zyxag r a d u M ????
,
2)(
2
2
0
2
0
2
22
0
2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyx
azyx
zyx
a
r
u
M ?????
??
?
?
?
,
0
MM g r a d ur
u ?
?
??
.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
但无极小值。
有无穷多个极大值，证明函数例 yy yexeZ ??? c o s)1(2
yyyyyx yeexeZxeZ ?????? c o s),si n)(1(证明：
0)1( c o s0)s i n( ????? yxx,
)2,)12((),0,2( ??? ?? nn驻点
yyyyyyyxx yeeexeZxeZ ??????? c o s),c o s)(1(
)s in( xeZ yxy ??
0202,)0,2( 2 ??????? ABACn 且处在
函数取得极大值。处在 )2,1,0()0,2( ????? nn ?
01)2,)12(( 4
2
2 ???????
e
eBACn 处在 ?
极小值。不是极值点，函数没有)2,)12(( ??? ?n
例 3 在曲面
1??? zcybxa ( a > 0,b > 0,c > 0 ) ( 1 )
上作切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积
最大，求切点的坐标．
解 设 P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 为曲面上任一点 （其中 x
0
>0, y
0
>0, z
0
>0 ），
曲面在 P
0
点的切平面方程为
0)(
2
)(
2
)(
2
0
0
0
0
0
0
?????? zz
z
c
yy
y
b
xx
x
a
(2 )
因 P
0
在曲面上，即 1000 ??? zcybxa,
将它代入 ( 2 ) 式，可化切平面方程为，
1
000
??? z
z
c
y
y
b
x
x
a
因此,切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 a b c
zyxV
6
000?,
于是问题转化为求函数 u=xyz （ x>0, y>0, z > 0 ）在条件 ( 1 ) 下的
最大值问题,
令 F( x,y,z ) = xy z ＋ ? (
1??? zcybxa
),解方程组
0
2
,
2
,0
2
0
?
?
??
?
???
?
??
z
c
xyF
y
b
xzF
x
a
yzF
zyx
01 ???? zcybxa (3 )
可得
zcybybxa ??,
代入 （ 3 ）式得唯一解
)
9
1
,
9
1
,
9
1
(),,(
222
cba
zyx ?
依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在该点达到最大值．
之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 ????? zyxyxz
例 4
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
????
????
??
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面
则上任一点为抛物面设
分析,
最小．即
且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
????
???????
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
???????
???????
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
?
?
.81,41,41 ??? zyx解此方程组得
得
.64 7241414161m i n ?????d
),81,41,41(即得唯一驻点
处取得最小值．驻点，故必在
一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
小结,（ 1 ）求解极值应用题时，先要建立目标函数．有时，为
简化计算，可用较简单的函数代替原来的目标函数，但必须保证两
函数有相同极值点．例如
a b c
x y z
6
可用 xyz 代替； 222
1
zyx ??
可用
222
zyx ??
代替 （对前者为最大，对后者为最小）；
cbyax ??
可用
2
)( cbyax ??
代替等．但求最值时，必须用原来的
函数求出；
（ 2 ）若从实际问题可断定函数的最大 （小）值存在，又函 数的
可能极值点唯一，则函数必在该点取得最大 （小）值．
一、
1) 求函数 u=x y
2
+z
3
-x y z 在点 ( 1,1,2 ) 处沿向量 }1,2,1{?l
?
方向的
方向导数。
2) 求函数
222
zyx
x
u
??
?
在点 M( 1,2,- 2) 沿曲线 x= t,y =2t
2
,z = - 2t
4
在该点的切线且指向与 x 轴成钝角的方向的导数。
3) a,求函数 u =x+ y +z 在球面 x
2
+y
2
+z
2
=1 上 M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 点处沿
外法线方向的方向导数。
b,在球面上哪些点处沿外法线方向的方向导数有最大值、
最小值、等于零。
提示,1） 5},11,0,1{},1,2,1(
2
1 0
)2,1,1(
0 ???
?
???? lg r a d u
l
uug r a dl ??
}2,2,8{27 1})zyx( z,)zyx( y,)zyx( zy{)g r a d u()2 M2/32222/32222/3222 22M ???? ??? ??? ??
243
16
)(
}8,4,1{
9
1
},8,41{},,{
0
0
)1(
???
?
?
??????? ?
sg r a d u
s
u
szyxs
MM
tMttt
?
??
曲线切向量
3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(;3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(,
3
3
0),1(),,(
,1
},,,{)3
m i n
m ax
222
222
000000
0
??
?
?
???
?
?
?
????
????????????
??????
?
?
???
?
?
??
?
l
u
l
u
zyx
FFFFzyxzyxzyxF
zyxzyx
l
u
zyx
l
u
zyxl
zyx
在点
在点
由
设下的最值在条件求
?
F
uc
z
z
u
F
ub
y
y
u
F
ua
x
uc
z
ub
y
ua
x
ua
x
x
u
z
u
y
u
x
u
gr ad u
/
2
,/
2
:
/
2
]
)()()(
/[
2
},,,{)4
22
222
2
22
2
22
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由轮换对称性
?
F
FFgr ad u
F
F
uc
z
ub
y
ua
x
gr ad ua
4
/4)(
4
/][42
22
2
2
2
2
2
2
??
?
?
?
?
?
?
??
?
4) 设 u=u ( x,y,z ),满足 12
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
? uc
z
ub
y
ua
x,证明 gr aduagr adu ?2)( 2 ?
其中, }.,,{ zyxa ?
?
二、
1) 求曲线 x= t,y = t
2
,z = t
3
上与平面 x+ 2 y+ z = 4 平行的切线方程。
2) 求曲面 z = 4- x
2
-y
2
上平行平面 2x+ 2 y+ z = 0 的切平面。
3) 证明：曲面 x y z = a
2
( a> 0) 的切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。
???,31,10}1,2,1{},3,2,1{)1,2 ??????? tstts 由题意提示
.822),4,1,1(,
}1,2,2{}1,2,2{};1,2,2{}1,,{)2
??????
???????
zyxkzyx
yxyxzzn yx
所求切平面得切点代入曲面方程将
则切平面法向量 ?
三、
1) 求
22
)(
22 yx
eyxz
??
?? 的极值。
2) 设椭球面由 1
4
2
2
?? y
x
绕 y 轴旋转生成，在其第一挂限求一点，使
曲面在该点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小。
3) 求函数 n
xxxu ?
21
?
在条件
axxx
n
???? ?
21 下的最大值。
.1.0)2(
,:,__0)(
0)0,0(,4,2,0,2
.1),0,0(0,0)1
221
1
2
2
22
1
2
2
)0,0()0,0()0,0(
22
22
上取极大故函数在
令无法判断
极小值
驻点提示
???????
?????
???????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yxeet
dt
zd
teztyxBAC
fBAcCBA
yx
y
z
x
z
t
t
t
yx
?
.32)
3
2
,
3
1
,
3
2
(
,0),1
4
(),,,(
.1
4
,
.
1
3
8
),(1)(
4
)()(
4
),,(1
4
)2
m i n
2
22
2
22
000
0
0
000
0
000
2
22
?
??????
?
????
??
?
?
???????
??
?
?
V
FFFFy
yx
xy zzyxF
y
yx
xy zu
zyx
Vzz
z
yyyxx
x
zyxy
yx
zyx
有在第一挂限点
求出由设
下的最大值在条件只要求函数要求原问题
四面体体积改成截距式
的切平面在点椭球方程
n
xxx
xxx
n
a
xxx
n
a
x
a
nu
anuxxxnnu
axxxxu
x
F
x
axxxxxxF
nn
n
n
ni
n
ni
i
i
nn
???
???
?
???????????
?????????
?
?
???????
?
??
?
?
??
21
2121
21
21
2121
,)(.:
,,0)(
0,0
),()3
唯一条件驻点
即有
由
令
n
n
n
xxxn
xxx
?
?
21
21 1
111
?
???
附加：
1) 求椭圆上
?
?
?
???
??
1
22
zyx
yxz
距坐标原点最远和最近的点。
2) 求椭球面 x
2
+2 y
2
+3z
2
=21 上点 M 处切平面 ? 的方程，使 ? 过
直线 L,
2
12
3
2
6
?
?
???
? z
y
x
。
3) 求
zyx ln3lnln ??
在球面
2222
5 rzyx ??? 上的部分最大值，
其中 x,y,z >0, 且用此结果证明对于正实数 a,b,c 有
53
)
5
(27
cba
a b c
??
?
4 ) 求平面 1
543
??? zyx 和柱面 122 ?? yx 的交线上与 x o y 平面
距离最短的点,
).1235,53,54(
05
02
3
,02
1
,02
1
:
)5(lnlnln)3:
2222
2222
????
????????????
????????
rzyx
z
z
Fy
y
Fx
x
F
rzyxzyxF
zyx令
解
2/5
222
622
55
)
5
(27
,27ln
2
1
33ln)3,,(
3,:
zyx
zyx
rrrrf
zryx
??
?
???
???
即
由题意得最大值唯一条件驻点
及其应用
习题课 (一 )
?? 的方向导数。沿着任一方向在点
求函数、设
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
c o s,c o s)0,0(),(
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),(1 24
3
yxf
yx
yx
yx
yx
yx
yxf
不可微，只能用定义。解,),( yxf?
??
)0,0(),(l i m
0
fyxf
l
f ????
?
??
? ??
24
3
0
lim yx
yxyx
???
??????
?
?
?
????
???
????
?
2244
34
0
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
lim ?
??
?
?
.c o sc o s ?? ??
2,证明函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n)(
),( 22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
在点（ 0, 0 ）可微，但偏导数不连续。
3, 求 函数的一阶偏导数,
?
?
?
?
?
??
??
??
00
0
),(
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf,
4, 设
),( zxfu ?
,而
),( yxz
是由方程
)( zyxz ???
所
确的函数,求 du,
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
0,0
0,
)(
)(
),(
22
22
222
222
yx
yx
yx
yxx
yxf
y
,
4, dy
zy
zf
dx
zy
f
f
1)(
)(
)
1)(
(
22
1
??
?
??
?
?
?
?
,
3,
,
0,0
0,
)(
2
),(
22
22
222
3
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
x
5,设 ( 3x
2
y
2
– 2 a x s i n y ) dx + ( x
2
c o s y + b x
3
y ) dy 是
某个二元函数 u ( x,y ) 的全微分，试求 a,b 的量。
6,设 u = f ( x,y,z ),又 y= ? ( x,t ),t= ? ( x,z ),且这些函数均
可微，求
x
u
?
?
,
.2,1,;3c o s2;c o s26
c o s;s i n235
22
2
2
2
2
3222
????
??
?
?
??
?
??
??
?
??
??
?
??
?
?
??
?
?
ba
xy
u
yx
u
ybxyx
xy
u
yaxyx
yx
u
ybxyx
y
u
yaxyx
x
u
?解、
][6 xttyxyyfxfxu ???????????????解、
z
xy
x
t
x
z
u
解
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的
具有什么关系时的方向导数，问的向径
处沿点在点求
cbar
zyxM
c
z
b
y
a
x
u ???
例 1
? ?,,,,2020200000 0 zyxrzyxr ?????
.co s,co s,co s
0
0
0
0
0
0
r
z
r
y
r
x ??? ???
处的方向导数为在点 M?
??? co sco sco s
0
MMMM z
u
y
u
x
u
r
u
?
??
?
??
?
??
?
?
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0 222
r
z
c
z
r
y
b
y
r
x
a
x ??? )(2
2
2
2
2
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
r ???
.),,(2 2
0
2
0
2
000
0 zyx
zyxu
???
处的梯度为在点 M?
kzujyuixug r a d u MMMM ?????????
,222 2 02 02 0 kc zjb yia x ???
,2 4
2
4
2
4
2
000
c
z
b
y
a
xg r a d u
M ???
,时当 cba ??,2 2222 000 zyxag r a d u M ????
,
2)(
2
2
0
2
0
2
22
0
2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyx
azyx
zyx
a
r
u
M ?????
??
?
?
?
,
0
MM g r a d ur
u ?
?
??
.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
但无极小值。
有无穷多个极大值，证明函数例 yy yexeZ ??? c o s)1(2
yyyyyx yeexeZxeZ ?????? c o s),si n)(1(证明：
0)1( c o s0)s i n( ????? yxx,
)2,)12((),0,2( ??? ?? nn驻点
yyyyyyyxx yeeexeZxeZ ??????? c o s),c o s)(1(
)s in( xeZ yxy ??
0202,)0,2( 2 ??????? ABACn 且处在
函数取得极大值。处在 )2,1,0()0,2( ????? nn ?
01)2,)12(( 4
2
2 ???????
e
eBACn 处在 ?
极小值。不是极值点，函数没有)2,)12(( ??? ?n
（ 1 ）求解极值应用题时，先要建立目标函数．有时，为
简化计算，可用较简单的函数代替原来的目标函数，但
必须保证两 函数有相同极值点．例如
a b c
x y z
6
可用 xyz 代替；
222
1
zyx ??
可用
222
zyx ??
代替（ 前者为最大，对后者
为最小）；
cbyax ??
可用
2
)( cbyax ??
代替等．但求最值
时，必须用原来的 函数求出；
（ 2 ）若从实际问题可断定函数 的最 值存在，又函数的
可能极值点唯一，则函数必在该点取得最大（小）值,
例 3 在曲面
1??? zcybxa ( a > 0,b > 0,c > 0 ) ( 1 )
上作切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积
最大，求切点的坐标．
解 设 P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 为曲面上任一点 （其中 x
0
>0, y
0
>0, z
0
>0 ），
曲面在 P
0
点的切平面方程为
0)(
2
)(
2
)(
2
0
0
0
0
0
0
?????? zz
z
c
yy
y
b
xx
x
a
(2 )
因 P
0
在曲面上，即 1000 ??? zcybxa,
将它代入 ( 2 ) 式，可化切平面方程为，
1
000
??? z
z
c
y
y
b
x
x
a
因此,切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 a b c
zyxV
6
000?,
于是问题转化为求函数 u=xyz （ x>0, y>0, z>0 ）在条件 ( 1 )
下的 最大值问题,
令 F(x,y,z)=xyz ＋ ? (
1??? zcybxa
),解方程组
0
2
,
2
,0
2
0
?
?
??
?
???
?
??
z
c
xyF
y
b
xzF
x
a
yzF
zyx
01 ???? zcybxa
(3)
可得
zcybybxa ??,
代入 （ 3 ） 式得唯一解
)
9
1
,
9
1
,
9
1
(),,(
222
cba
zyx ?
依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在该点达到
最大值,
之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 ????? zyxyxz
例 4
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
????
????
??
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面
则上任一点为抛物面设
分析,
最小．即
且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
????
???????
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
???????
???????
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
?
?
.81,41,41 ??? zyx解此方程组得
得
.64 7241414161m i n ?????d
),81,41,41(即得唯一驻点
处取得最小值．驻点，故必在
一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
一、
1) 求函数 u=x y
2
+z
3
-x y z 在点 ( 1,1,2 ) 处沿向量 }1,2,1{?l
?
方向的
方向导数。
2) 求函数
222
zyx
x
u
??
?
在点 M( 1,2,- 2) 沿曲线 x= t,y =2t
2
,z = - 2t
4
在该点的切线且指向与 x 轴成钝角的方向的导数。
3) a,求函数 u =x+ y +z 在球面 x
2
+y
2
+z
2
=1 上 M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 点处沿
外法线方向的方向导数。
b,在球面上哪些点处沿外法线方向的方向导数有最大值、
最小值、等于零。
提示,1）
5},11,0,1{},1,2,1(21 0)2,1,1(0 ???????? lg r a d uluug r a dl ??
}2,2,8{
27
1
}
)(
,
)(
,
)(
{
)()2
2/32222/32222/3222
22
??
??
?
??
?
??
?
?
M
M
zyx
z
zyx
y
zyx
zy
g r a d u
243
16
)(
}8,4,1{
9
1
},8,41{},,{
0
0
)1(
???
?
?
???
????
?
sg r a d u
s
u
s
zyxs
MM
tMttt
?
?
?
曲线切向量
3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(;3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(,
3
3
0
),1(),,(
,1
},,,{)3
mi n
max
222
222
000000
0
??
?
?
???
?
?
?
????
????
????????
??????
?
?
???
?
?
??
?
l
u
l
u
zyx
FFFF
zyxzyxzyxF
zyxzyx
l
u
zyx
l
u
zyxl
zyx
在点
在点
由
设下的最值在条件求
?
F
uc
z
z
u
F
ub
y
y
u
F
ua
x
uc
z
ub
y
ua
x
ua
x
x
u
z
u
y
u
x
u
g r a d u
/
2
,/
2
:
/
2
]
)()()(
/[
2
},,,{)4
22
222
2
22
2
22
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由轮换对称性
?
F
FFgr ad u
F
F
uc
z
ub
y
ua
x
gr ad ua
4
/4)(
4
/][42
22
2
2
2
2
2
2
??
?
?
?
?
?
?
??
?
4 ) 设 u =u ( x,y,z ),满足 12
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
? uc
z
ub
y
ua
x
,
证明 g r a d uag r a d u
?
2)(
2
? 其中, }.,,{ zyxa ?
?
二,
1) 求曲线 x =t,y =t
2
,z =t
3
上与平面 x +2 y +z =4 平行的切线方程。
2) 求曲面 z =4 - x
2
- y
2
上平行平面 2 x +2 y +z =0 的切平面。
3) 证明：曲面 x y z = a
2
( a > 0 ) 的切平面与坐标面形成的四面体
体积为常数。
?
??
,
3
1
,10}1,2,1{},3,2,1{)1
:
2 ??????? tstts 由题意
提示
.822),4,1,1(
,
}1,2,2{}1,2,2{
};1,2,2{}1,,{)2
???
???
?
??????
zyx
kzyx
yx
yxzzn
yx
所求切平面得切点
代入曲面方程将
则
切平面法向量
?
三,1 ) 求
22
)(
22 yx
eyxz
??
?? 的极值。
2) 设椭球面由 1
4
2
2
?? y
x
绕 y 轴旋转生成，在其第一挂限
求一点，使曲面在该点的切平面与三个坐标面所围成
的四面体的体积最小。
3) 求函数 n
xxxu ?
21
?
在条件 axxx n ???? ?21 下的
最大值。
.1.0)2(
,:,__0)(
0)0,0(,4,2,0,2
.1),0,0(0,0)1
221
1
2
2
22
1
2
2
)0,0()0,0()0,0(
22
22
上取极大故函数在
令无法判断
极小值
驻点提示
???????
?????
???????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yxeet
dt
zd
teztyxBAC
fBAcCBA
yx
y
z
x
z
t
t
t
yx
?
.32)
3
2
,
3
1
,
3
2
(
,0
),1
4
(),,,(
.
1
4
,
.
1
3
8
),(1)(
4
)()(
4
),,(1
4
)2
mi n
2
22
2
22
000
0
0
000
0
000
2
22
?
????
??
?
????
??
?
?
?
??????
??
?
?
V
FFFF
y
yx
x y zzyxF
y
yx
x y zu
zyx
V
zz
z
yyyxx
x
zyxy
yx
zyx
有在第一挂限点
求出由
设
下的最大值
在条件只要求函数要求原问题
四面体体积
改成截距式
的切平面在点椭球方程
n
n
n
xxxn
xxx
?
?
21
21 1
111
?
???
n
xxx
xxx
n
a
xxx
n
a
x
a
nu
anuxxxnnu
axxxxu
x
F
x
axxxxxxF
n
n
n
n
ni
n
ni
i
i
nn
???
?
??
?
???????????
?????????
?
?
???????
?
?
?
?
?
??
21
21
21
21
21
2121
,)(.:
,,0)(
0,0
),()3
唯一条件驻点
即有
由
令
附加,
1 ) 求椭圆上
?
?
?
???
??
1
22
zyx
yxz
距坐标原点最远和最近的点。
2 ) 求椭球面 x
2
+ 2 y
2
+3 z
2
=2 1 上点 M 处切平面 ? 的方程，
使 ? 过 直线 L,
2
12
3
2
6
?
?
???
? z
y
x
。
3 ) 求
zyx ln3lnln ??
在球面
2222
5 rzyx ???
上的部分
最大值,其中 x,y,z >0, 且用此结果证明对于正实数
a,b,c 有
53
)
5
(27
cba
a b c
??
?
4) 求平面 1
543
??? zyx 和柱面 122 ?? yx 的交线上与 x o y
平面 距离最短的点, ).
12
35,
5
3,
5
4(
05
02
3
,02
1
,02
1
:
)5(lnlnln)3:
2222
2222
????
????????????
????????
rzyx
z
z
Fy
y
Fx
x
F
rzyxzyxF
zyx令
解
2/5
222
622
55
)
5
(27
,27ln
2
1
33ln)3,,(
3,:
zyx
zyx
rrrrf
zryx
??
?
???
???
即
由题意得最大值唯一条件驻点
多元函数微分法
及其应用
习题课 (二 )
解
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的
具有什么关系时的方向导数，问的向径
处沿点在点求
cbar
zyxM
c
z
b
y
a
x
u ???
例 1
? ?,,,,2020200000 0 zyxrzyxr ?????
.co s,co s,co s
0
0
0
0
0
0
r
z
r
y
r
x ??? ???
处的方向导数为在点 M?
??? co sco sco s
0
MMMM z
u
y
u
x
u
r
u
?
??
?
??
?
??
?
?
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0 222
r
z
c
z
r
y
b
y
r
x
a
x ??? )(2
2
2
2
2
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
r ???
.),,(2 2
0
2
0
2
000
0 zyx
zyxu
???
处的梯度为在点 M?
kzujyuixug r a d u MMMM ?????????
,222 2 02 02 0 kc zjb yia x ???
,2 4
2
4
2
4
2
000
c
z
b
y
a
xg r a d u
M ???
,时当 cba ??,2 2222 000 zyxag r a d u M ????
,
2)(
2
2
0
2
0
2
22
0
2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyx
azyx
zyx
a
r
u
M ?????
??
?
?
?
,
0
MM g r a d ur
u ?
?
??
.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
但无极小值。
有无穷多个极大值，证明函数例 yy yexeZ ??? c o s)1(2
yyyyyx yeexeZxeZ ?????? c o s),si n)(1(证明：
0)1( c o s0)s i n( ????? yxx,
)2,)12((),0,2( ??? ?? nn驻点
yyyyyyyxx yeeexeZxeZ ??????? c o s),c o s)(1(
)s in( xeZ yxy ??
0202,)0,2( 2 ??????? ABACn 且处在
函数取得极大值。处在 )2,1,0()0,2( ????? nn ?
01)2,)12(( 4
2
2 ???????
e
eBACn 处在 ?
极小值。不是极值点，函数没有)2,)12(( ??? ?n
例 3 在曲面
1??? zcybxa ( a > 0,b > 0,c > 0 ) ( 1 )
上作切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积
最大，求切点的坐标．
解 设 P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 为曲面上任一点 （其中 x
0
>0, y
0
>0, z
0
>0 ），
曲面在 P
0
点的切平面方程为
0)(
2
)(
2
)(
2
0
0
0
0
0
0
?????? zz
z
c
yy
y
b
xx
x
a
(2 )
因 P
0
在曲面上，即 1000 ??? zcybxa,
将它代入 ( 2 ) 式，可化切平面方程为，
1
000
??? z
z
c
y
y
b
x
x
a
因此,切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 a b c
zyxV
6
000?,
于是问题转化为求函数 u=xyz （ x>0, y>0, z > 0 ）在条件 ( 1 ) 下的
最大值问题,
令 F( x,y,z ) = xy z ＋ ? (
1??? zcybxa
),解方程组
0
2
,
2
,0
2
0
?
?
??
?
???
?
??
z
c
xyF
y
b
xzF
x
a
yzF
zyx
01 ???? zcybxa (3 )
可得
zcybybxa ??,
代入 （ 3 ）式得唯一解
)
9
1
,
9
1
,
9
1
(),,(
222
cba
zyx ?
依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在该点达到最大值．
之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 ????? zyxyxz
例 4
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
????
????
??
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面
则上任一点为抛物面设
分析,
最小．即
且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
????
???????
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
???????
???????
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
?
?
.81,41,41 ??? zyx解此方程组得
得
.64 7241414161m i n ?????d
),81,41,41(即得唯一驻点
处取得最小值．驻点，故必在
一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
小结,（ 1 ）求解极值应用题时，先要建立目标函数．有时，为
简化计算，可用较简单的函数代替原来的目标函数，但必须保证两
函数有相同极值点．例如
a b c
x y z
6
可用 xyz 代替； 222
1
zyx ??
可用
222
zyx ??
代替 （对前者为最大，对后者为最小）；
cbyax ??
可用
2
)( cbyax ??
代替等．但求最值时，必须用原来的
函数求出；
（ 2 ）若从实际问题可断定函数的最大 （小）值存在，又函 数的
可能极值点唯一，则函数必在该点取得最大 （小）值．
一、
1) 求函数 u=x y
2
+z
3
-x y z 在点 ( 1,1,2 ) 处沿向量 }1,2,1{?l
?
方向的
方向导数。
2) 求函数
222
zyx
x
u
??
?
在点 M( 1,2,- 2) 沿曲线 x= t,y =2t
2
,z = - 2t
4
在该点的切线且指向与 x 轴成钝角的方向的导数。
3) a,求函数 u =x+ y +z 在球面 x
2
+y
2
+z
2
=1 上 M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 点处沿
外法线方向的方向导数。
b,在球面上哪些点处沿外法线方向的方向导数有最大值、
最小值、等于零。
提示,1） 5},11,0,1{},1,2,1(
2
1 0
)2,1,1(
0 ???
?
???? lg r a d u
l
uug r a dl ??
}2,2,8{27 1})zyx( z,)zyx( y,)zyx( zy{)g r a d u()2 M2/32222/32222/3222 22M ???? ??? ??? ??
243
16
)(
}8,4,1{
9
1
},8,41{},,{
0
0
)1(
???
?
?
??????? ?
sg r a d u
s
u
szyxs
MM
tMttt
?
??
曲线切向量
3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(;3),
3
3
,
3
3
,
3
3
(,
3
3
0),1(),,(
,1
},,,{)3
m i n
m ax
222
222
000000
0
??
?
?
???
?
?
?
????
????????????
??????
?
?
???
?
?
??
?
l
u
l
u
zyx
FFFFzyxzyxzyxF
zyxzyx
l
u
zyx
l
u
zyxl
zyx
在点
在点
由
设下的最值在条件求
?
F
uc
z
z
u
F
ub
y
y
u
F
ua
x
uc
z
ub
y
ua
x
ua
x
x
u
z
u
y
u
x
u
gr ad u
/
2
,/
2
:
/
2
]
)()()(
/[
2
},,,{)4
22
222
2
22
2
22
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由轮换对称性
?
F
FFgr ad u
F
F
uc
z
ub
y
ua
x
gr ad ua
4
/4)(
4
/][42
22
2
2
2
2
2
2
??
?
?
?
?
?
?
??
?
4) 设 u=u ( x,y,z ),满足 12
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
? uc
z
ub
y
ua
x,证明 gr aduagr adu ?2)( 2 ?
其中, }.,,{ zyxa ?
?
二、
1) 求曲线 x= t,y = t
2
,z = t
3
上与平面 x+ 2 y+ z = 4 平行的切线方程。
2) 求曲面 z = 4- x
2
-y
2
上平行平面 2x+ 2 y+ z = 0 的切平面。
3) 证明：曲面 x y z = a
2
( a> 0) 的切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。
???,31,10}1,2,1{},3,2,1{)1,2 ??????? tstts 由题意提示
.822),4,1,1(,
}1,2,2{}1,2,2{};1,2,2{}1,,{)2
??????
???????
zyxkzyx
yxyxzzn yx
所求切平面得切点代入曲面方程将
则切平面法向量 ?
三、
1) 求
22
)(
22 yx
eyxz
??
?? 的极值。
2) 设椭球面由 1
4
2
2
?? y
x
绕 y 轴旋转生成，在其第一挂限求一点，使
曲面在该点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小。
3) 求函数 n
xxxu ?
21
?
在条件
axxx
n
???? ?
21 下的最大值。
.1.0)2(
,:,__0)(
0)0,0(,4,2,0,2
.1),0,0(0,0)1
221
1
2
2
22
1
2
2
)0,0()0,0()0,0(
22
22
上取极大故函数在
令无法判断
极小值
驻点提示
???????
?????
???????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yxeet
dt
zd
teztyxBAC
fBAcCBA
yx
y
z
x
z
t
t
t
yx
?
.32)
3
2
,
3
1
,
3
2
(
,0),1
4
(),,,(
.1
4
,
.
1
3
8
),(1)(
4
)()(
4
),,(1
4
)2
m i n
2
22
2
22
000
0
0
000
0
000
2
22
?
??????
?
????
??
?
?
???????
??
?
?
V
FFFFy
yx
xy zzyxF
y
yx
xy zu
zyx
Vzz
z
yyyxx
x
zyxy
yx
zyx
有在第一挂限点
求出由设
下的最大值在条件只要求函数要求原问题
四面体体积改成截距式
的切平面在点椭球方程
n
xxx
xxx
n
a
xxx
n
a
x
a
nu
anuxxxnnu
axxxxu
x
F
x
axxxxxxF
nn
n
n
ni
n
ni
i
i
nn
???
???
?
???????????
?????????
?
?
???????
?
??
?
?
??
21
2121
21
21
2121
,)(.:
,,0)(
0,0
),()3
唯一条件驻点
即有
由
令
n
n
n
xxxn
xxx
?
?
21
21 1
111
?
???
附加：
1) 求椭圆上
?
?
?
???
??
1
22
zyx
yxz
距坐标原点最远和最近的点。
2) 求椭球面 x
2
+2 y
2
+3z
2
=21 上点 M 处切平面 ? 的方程，使 ? 过
直线 L,
2
12
3
2
6
?
?
???
? z
y
x
。
3) 求
zyx ln3lnln ??
在球面
2222
5 rzyx ??? 上的部分最大值，
其中 x,y,z >0, 且用此结果证明对于正实数 a,b,c 有
53
)
5
(27
cba
a b c
??
?
4 ) 求平面 1
543
??? zyx 和柱面 122 ?? yx 的交线上与 x o y 平面
距离最短的点,
).1235,53,54(
05
02
3
,02
1
,02
1
:
)5(lnlnln)3:
2222
2222
????
????????????
????????
rzyx
z
z
Fy
y
Fx
x
F
rzyxzyxF
zyx令
解
2/5
222
622
55
)
5
(27
,27ln
2
1
33ln)3,,(
3,:
zyx
zyx
rrrrf
zryx
??
?
???
???
即
由题意得最大值唯一条件驻点
