曲线积分与曲面积分
习题课
曲 线 积 分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分
定
义 ?? ??? ????
n
i
iiiL sfdsyxf
10
),(lim),( ? ?L dyyxQdxyxP ),(),( ]),(),([l i m
10
iii
n
i
iii yQxP ???????? ?
???
联
系 dsQPQ d yP d x LL )co sco s( ???? ???
计
算
?
?
?
?
? ??? ???? dtf
dsyxf
L
22],[
),(
三代一定 )( ???
?
?
?
?
? ????? ????
?
dtQP
QdyP dx
L
]),(),([
二代一定 (与方向有关 )
（一） 曲线积分与曲面积分
与路径无关的四个等价命题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有
连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
? ???C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD ??使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题
曲 面 积 分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定
义 ??? ???
?? n
i iiii
sfdszyxf
10
),,(l i m),,( ???? xyin
i iii
SRdxdyzyxR )(),,(l i m),,(
10
?? ???
???
????
联
系
??? ?? R dx d yQd z d xP d y d z
计
算 一代,二换,三投 (与侧无关 ) 一代,二投,三定向 (与侧有关 )
??? ?? dSRQP )c o sc o sc o s( ???
??? dszyxf ),,(
?? ???
xyD
yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[
??? dxdyzyxR ),,(
????
xyD
d x d yyxzyxR )],(,,[
定积分 曲线积分
重积分 曲面积分
计算
计算
计算
Stokes公式
Guass公式
（二） 各种积分之间的联系
点函数)(,)(lim)(
10
MfMfdMf
n
i
i??
???
?? ??
?
.)()(
,],[1
? ?? ?
??
b
a
dxxfdMf
baR
?
时上区间当
.),()(
,2
? ??? ?
??
D
dyxfdMf
DR
??
时上区域当
积分概念的联系
定积分
二重积分
? ????
?
?
???
dVzyxfdMf
R
),,()(
,3
?
时上区域当
.),,()(
,3
? ?? ??
???
dszyxfdMf
R
?
时上空间曲线当
.),,()(
,3
? ??? ?
??
S
dSzyxfdMf
SR
?
时上曲面当
曲面积分
曲线积分
三重积分
.),()(
,2
? ?? ?
??
L
dsyxfdMf
LR
?
时上平面曲线当
曲线积分
计算上的联系
)(,]),([),( )( )(2
1
面元素??? ? ??? ddxdyyxfdyxf ba xy xy
D
)(,),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz? ? ???? ?
?
?? ??? baL dsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
?? ? baL dxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素
?? ??
?
?????
xyD
yx dx d yzzyxzyxfdSzyxf
221)],(,,[),,(
?? ??
?
?
xyD
dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(
其中
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
dsQPQ d yPd x LL )c o sc o s( ???? ???
))(( 曲面元素dS
))(( 投影面元素d x d y
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfba ?????
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQ
L
D
??? ???????
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
?????
??
??????????? R d x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
dx dy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
??? ??? DL dxdykAr otsdA )( ???? ??? ?? DL dxdyAdi vdsnA ??? )(
Green公式,Guass公式,Stokes公式
之间的关系
??? ?? ??? dSnAr o tdSA )( ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
RQP
zyx
dxdydz dxdy dz
R dzQ dyP dx
????? ?? ?? dvAdi vdsnA ??? )(
dv
z
R
y
Q
x
P
R dx dyQdz dxP dydz
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
??? ??????? DL d x d yyPxQQ d yP d x )( ??? ???????? DL d x d yyQxPP d yd x )(或
推广 推广
为平面向量场)( MA?
为空间向量场)( MA?
梯度 kz
uj
y
ui
x
ugr ad u ???
?
??
?
??
?
??
通量
旋度
环流量
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
??? ??? ???? R d xd yQd z dxP d y dz
kyPxQjxRzPizQyRAr ot ???? )()()( ??????????????????
?? ???? R d zQd yP d x
散度
（三） 场论初步
是保守场。的路径无关，称到而与从
两点的位置有关，、只与）：若定义（
FBA
BArdFP AB
?
??? ?3 5 4
??
.004;03;2
1
),,(),,(),,(
3 5 4
?
???
??
???
?
??
?
L
rdFLF
Fr o tF
g r a d vFF
F
zyxRzyxQzyxPF
P
?
??
???
??
?
?
，的环量为内沿任意闭路在）（
内是无旋场在）（
内是有势场，在）（
内是保守场；在）（
则下列四个条件等价内有一阶连续偏导数，
的三个分量在，，
是一个线单连通区域，）若定理：（
??
并求势函数。
为有势场，、证明例 zxyxxyya s i n,c o s,c o s1 ??
zxyxxyy
zyx
kji
ar o t
s i nc o sc o s
?
?
?
?
?
?
?
???
?
解：
0??
? ???? L z d zx y d yxx y d xyv s i nc o sc o s
O
A
B
C
? ? ????? x y z z d zx y d yxdx0 0 0 ]s i nc o s0[
1coss i n ??? zxy
曲面面积的计算法
S
Dxy
),( yxfz ?
x
yo
z
???? dSS ?? ??? xyD yx dxdyzz 221 dsyxfS BAL?? ),( ),(
dxyyxfba? ??? 21),(
z
x
o y
),( yxfz ?
s
LA Ba b
曲顶柱体的表面积
?
??
?
????
L
D
yx
dsyxf
dffS
),(
)11( 22 ?
x
z
yo
),( yxfz ?
LD
如图曲顶柱体,
例 2 求柱面 13232 ?? yx 在球面 1222 ??? zyx 内的侧面积,
解 由对称性
?? ???? LL dsyxz d sS 2218
,1,3
2
3
2
?? yxL? )20(,s i n
,co s
3
3 ?
???
?
???
?
? t
ty
tx参数方程为
,c o ss i n3)()( 22 td ttdtyxds tt ?????
td ttttS c o ss in3s inc o s18 20 66? ??? ?
td tttt co ss inco ss in324 20 22?? ?
?? 20 22 c o ss i n324 ? td tt.2
33 ??
例 3 验证 yxxdxxyyx 2322 8()83( ??? dyye y )12? 在整个 xo y
平面内是某一函数 ),( yxu 的全微分,并求这样一个 ),( yxu,
解 yyeyxxyxQxyyxyxP 128),(,83),( 2322 ?????
是某个函数的全微分????????,163 2 xQxyxyP?
dyyeyxxdxxyyxyxu yyx )128()83(),( 23),( )0,0( 22 ????? ?
B
A O
)1(124
)128(
223
0
23
?????
????? ???
yy
y y
ABOA
eyeyxyx
dyyeyxx
例 5 设在半平面 0?x 内有力
)(
3
jyix
r
k
F
???
???
构成力
场,其中 k 为常数,
22
yxr ??, 证明在此力场中,场力
所作的功与所取的路径无关,
例 4 试确定 ?,使得 dyr
y
x
dxr
y
x ??
2
2
? 是某个函数 ),( yxu
的全微分,其中
22
yxr ??,并求 ),( yxu,
?
??
?
?
?
???
???
??
L azyx
azyx
Ldsxyxzyz
2
3:,)222(1
2222
、
)0(
)0,()0,(
)]ln (2[22
222
22
2
?
????
????
?
? ?
a
aBaAayxL
dyaxxyxdx
xa
y
I
L
的弧段
依反时针方向到上由点是圆周
其中、计算
取逆时针。为其中、计算 )0()1(43 22222 ??????? ? RRyxLyx yd xxd yI
L
?
?
?
?
?
?
???
???
??
L azyx
azyx
Ldsxyxzyz
2
3:,)222(1
2222
、
dszyxzyxI
L
)]()[( 2222 ?????? ?解,dsaa
L
)49( 22 ?? ?
dsa
L
?? 45
2
3
2
3 a
d ? 22 dar ?? 2a?
ra ??? 245
2 。?
4
5 3a?
)0(
)0,()0,(
)]ln (2[22
222
22
22
2
?
???
????
?
? ?
a
aBaAayxL
dyaxxyxdx
xa
y
I
L
的弧段
依反时针方向到上由点是圆周
其中、计算
)0,( aB ?
)0,(aA 22
124
ax
yxQ
?
????解：
22
12
ax
yyP
?
???
dyaxxyxdx
xa
yI
l )]l n (2[2
22
22
2
????
?
? ? ??? D dxdy4
22 a??
dyaxxyxdx
xa
y
l )]l n (2[2
22
22
2
????
??
00 22 ?
?
? ? dx
xal
l
取逆时针。为其中、计算 )0()1(43 22222 ??????? ? RRyxLyx yd xxd yI
L
22
22
4
4
yx
xy
y
P
x
Q
?
??
?
??
?
?解：
0)()1)1( ???????? ?? dxdyyPxQIR
D
（
)1)2( ?R（
0)(4)1)3( 22 ??????????? ???
?
d x d yyPxQyx y d xx d yIR
Dl
（
2224,??? yxl
?? ?????
ll
ydxxdy
yx
ydxxdyI
2224 ?
???
??? 2
221
1
1
222 ??? ??
??
Dl
dx dyyd xxd y
的矩形路径。点
为连接其中
、计算
)6,5(),6,5(),6,5(),6,5(
,)
)4()3(
3
(
)
)4()3(
4
(4
2222
2222
????
???
?
?
?
?
???
?
?
?
? ?
DCBA
Ldy
yx
x
yx
x
dx
yx
y
yx
y
I
L
轴正向看去为顺时针。从
的交线，与旋转抛物面为球面
其中、计算：
oz
yxzzyxL
dzyxdyyxy z d xxI
L
22222
222
15
,)1()(5
??????
?????? ?
的矩形路径。为连接点其中
、
)6,5(),6,5(),6,5(),6,5(
,)
)4()3(
3()
)4()3(
4(4
22222222
????
???
??
?
??
???
??
?
? ?
DCBAL
dy
yx
x
yx
xdx
yx
y
yx
yI
L
dy
yx
xdx
yx
yI
L 2222 ?
?
?
? ?解：
dyyx xdxyx y
L 2222 )4()3(
3
)4()3(
4
???
??
???
?? ?
y
P
x
Q
y
P
x
Q
?
??
?
?
?
??
?
? 2211?
?
?? ?
??
1
22
22 yx yx
xdyy d xI ?
???? ???
????
1)4()3(
22
22 )4()3(
)3()4(
yx yx
dyxdxy
?4??
轴正向看去为顺时针。从
的交线，与旋转抛物面为球面
其中、计算：
oz
yxzzyxL
dzyxdyyxy z d xxI
L
22222
222
15
,)1()(5
??????
?????? ?
?
?
?
?
??
2
122
z
yxL解：
??
?
?
?
?
?
?
?
2
s in
c o s
z
y
x
L ?
?
??????? dI ]0)1s i n( c o sc o ss i nc o s2[02 22? ???????
2
??
?
?
?
?
?
??
???
?
? ??
???
22
2222
0
,
),,(
,),,()(7
2222
yxz
yxzyx
zyxf
dszyxftF
tzyx
，
其中、求
内的部分。
在柱体为锥面其中、计算
xyx
yxzzds
2
,6
22
22
??
?????
?
内的部分。
在柱体为锥面其中、计算
xyx
yxzzds
2
,6
22
22
??
?????
?
d x d yzzds yx 221 ???解,dxdy2?
dx dyyxI
D
222 ?? ??
drrd ???? ?
?
? ?
c o s2
0
22
2
2 。
9
232?
??
?
?
?
??
???
?
? ??
???
22
2222
0
,
),,(
,),,()(7
2222
yxz
yxzyx
zyxf
dszyxftF
tzyx
，
其中、求
???? ??
21
),,(),,()(
ss
dszyxfdszyxftF解：
???
1
),,(
s
dszyxf
dxdy
yxt
tds
222 ???
??
??
??
??
2
222
222
22 )()(
tyx
d x d y
yxt
tyxtF
.6 258 4t???
s1
s2
轴夹角为锐角。其法向量与
为有向曲面其中、计算
zzyxz
szdxd ydydzzxI
s
),10(
,)2(8
22 ????
??? ??
所截出部分的外侧。和被平面
是圆柱面其中、计算
024
,)1(9
22 ?????
???? ??
zzxyx
sdxdyzydxd zI
s
）的旋度；，，（在点
）的散度；，，（在点
外侧通量；
所围闭曲面与平面向量场通过由锥面求
、设向量
121)3(
121)2(
1)1(
)1()1()1(10
0
0
22
222
?
?
???
??????
M
M
zyxz
kzxzjzxyizxxA
????
轴夹角为锐角。其法向量与
为有向曲面其中、计算
zzyxz
szdxd ydydzzxI
s
),10(
,)2(8
22 ????
??? ??
1s ????? ????
vs
dvI )12(
1
解,?23??
???? ?
11 ss
zd xd y????
D
d x d y ???
。2???? I
所截出部分的外侧。和被平面
是圆柱面其中、计算
024
,)1(9
22 ?????
???? ??
zzxyx
sdxdyzydxd zI
s
?? ??
s
y d x d zI解,???? ????
左右 ss
y d xd zy d xd z
???? ?????
左sD
d x d zxd x d zx 22 44
?842 2 2 20 2 ????? ? ?? ? dzxdx x
）的旋度；，，（在点
）的散度；，，（在点
外侧通量；
所围闭曲面与平面向量场通过由锥面求
、设向量
121)3(
121)2(
1)1(
)1()1()1(10
0
0
22
222
?
?
???
??????
M
M
zyxz
kzxzjzxyizxxA
????
??
?
??? Rd x d yQ d xd zP d y d zQ)1(解 ????
v
dv3 ??
32 ?Adiv ?）（
)1()1()1(
3
222 zxzzxyzxx
zyx
kji
Ar o t
???
?
?
?
?
?
?
?
?
）（
?? 432,，?
的引力所作的功。对质点运动过程中质点
求在此运动到自沿曲线点
之间的距离），质与为质点为常数，为
的引力大小对质点的质点、设位于点
MA
OBxxyM
MArk
r
k
MA
).0,0()0,2(2
0(
)1,0(11
2
2
??
?
).,(),(
)()(2
012
24224
yxuyxu
jyxxiyxxyA
x
的梯度，并求二元函数
为某
上的向量，使在右半平面、确定常数
??? ??
?
????
?
的引力所作的功。对质点运动过程中质点
求在此运动到自沿曲线点
之间的距离），质与为质点为常数，为
的引力大小对质点的质点、设位于点
MA
OBxxyM
MArk
r
k
MA
).0,0()0,2(2
0(
)1,0(11
2
2
??
?
B
O
A
M
?? 223 )1(,1,yxryxr kF ???????
])1([3 dyyxdx
r
kW
L ???? ?
y
P
x
Q
?
??
?
?
dx
x
kx
OB? ??? 32 )1(
).511( ?? k
?? yxMA ??? 1,解：
])1([3 dyyx d x
r
kW
BO ???? ?
).,(),(
)()(2
012
24224
yxuyxu
jyxxiyxxyA
x
的梯度，并求二元函数
为某
上的向量，使在右半平面、确定常数
??? ??
?
????
?
?? )(,)(2 24224 yxxQyxxyP ?????解：
??
?
?
?
??
?
?
??
y
u
x
ug r a d u,?? QP，? Q
y
uP
x
u ?
?
??
?
??,
yx
u
y
P
xy
u
x
Q
??
??
?
?
??
??
?
?? 22,
y
P
x
Q
?
??
?
?? 1??? ?
? ??? ),( )0,1( 24
22
),( yx
yx
dyxx y d xyxu
.a r c ta n 20 24
2
c
x
yc
yx
dyxy ????
?
??? ?
.
1
333
222
dxdyzdxdzyd y d zxI
zyx
???
???
??
?
?
的外侧，计算为曲面注意：设
??? ??? v dvzyxI )(3 222解,v3? ?
drrrdd ???? ??? ?? s i n3 10 22020,5
12??
习题课
曲 线 积 分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分
定
义 ?? ??? ????
n
i
iiiL sfdsyxf
10
),(lim),( ? ?L dyyxQdxyxP ),(),( ]),(),([l i m
10
iii
n
i
iii yQxP ???????? ?
???
联
系 dsQPQ d yP d x LL )co sco s( ???? ???
计
算
?
?
?
?
? ??? ???? dtf
dsyxf
L
22],[
),(
三代一定 )( ???
?
?
?
?
? ????? ????
?
dtQP
QdyP dx
L
]),(),([
二代一定 (与方向有关 )
（一） 曲线积分与曲面积分
与路径无关的四个等价命题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有
连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
? ???C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD ??使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题
曲 面 积 分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定
义 ??? ???
?? n
i iiii
sfdszyxf
10
),,(l i m),,( ???? xyin
i iii
SRdxdyzyxR )(),,(l i m),,(
10
?? ???
???
????
联
系
??? ?? R dx d yQd z d xP d y d z
计
算 一代,二换,三投 (与侧无关 ) 一代,二投,三定向 (与侧有关 )
??? ?? dSRQP )c o sc o sc o s( ???
??? dszyxf ),,(
?? ???
xyD
yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[
??? dxdyzyxR ),,(
????
xyD
d x d yyxzyxR )],(,,[
定积分 曲线积分
重积分 曲面积分
计算
计算
计算
Stokes公式
Guass公式
（二） 各种积分之间的联系
点函数)(,)(lim)(
10
MfMfdMf
n
i
i??
???
?? ??
?
.)()(
,],[1
? ?? ?
??
b
a
dxxfdMf
baR
?
时上区间当
.),()(
,2
? ??? ?
??
D
dyxfdMf
DR
??
时上区域当
积分概念的联系
定积分
二重积分
? ????
?
?
???
dVzyxfdMf
R
),,()(
,3
?
时上区域当
.),,()(
,3
? ?? ??
???
dszyxfdMf
R
?
时上空间曲线当
.),,()(
,3
? ??? ?
??
S
dSzyxfdMf
SR
?
时上曲面当
曲面积分
曲线积分
三重积分
.),()(
,2
? ?? ?
??
L
dsyxfdMf
LR
?
时上平面曲线当
曲线积分
计算上的联系
)(,]),([),( )( )(2
1
面元素??? ? ??? ddxdyyxfdyxf ba xy xy
D
)(,),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz? ? ???? ?
?
?? ??? baL dsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
?? ? baL dxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素
?? ??
?
?????
xyD
yx dx d yzzyxzyxfdSzyxf
221)],(,,[),,(
?? ??
?
?
xyD
dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(
其中
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
dsQPQ d yPd x LL )c o sc o s( ???? ???
))(( 曲面元素dS
))(( 投影面元素d x d y
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfba ?????
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQ
L
D
??? ???????
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
?????
??
??????????? R d x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
dx dy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
??? ??? DL dxdykAr otsdA )( ???? ??? ?? DL dxdyAdi vdsnA ??? )(
Green公式,Guass公式,Stokes公式
之间的关系
??? ?? ??? dSnAr o tdSA )( ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
RQP
zyx
dxdydz dxdy dz
R dzQ dyP dx
????? ?? ?? dvAdi vdsnA ??? )(
dv
z
R
y
Q
x
P
R dx dyQdz dxP dydz
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
??? ??????? DL d x d yyPxQQ d yP d x )( ??? ???????? DL d x d yyQxPP d yd x )(或
推广 推广
为平面向量场)( MA?
为空间向量场)( MA?
梯度 kz
uj
y
ui
x
ugr ad u ???
?
??
?
??
?
??
通量
旋度
环流量
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
??? ??? ???? R d xd yQd z dxP d y dz
kyPxQjxRzPizQyRAr ot ???? )()()( ??????????????????
?? ???? R d zQd yP d x
散度
（三） 场论初步
是保守场。的路径无关，称到而与从
两点的位置有关，、只与）：若定义（
FBA
BArdFP AB
?
??? ?3 5 4
??
.004;03;2
1
),,(),,(),,(
3 5 4
?
???
??
???
?
??
?
L
rdFLF
Fr o tF
g r a d vFF
F
zyxRzyxQzyxPF
P
?
??
???
??
?
?
，的环量为内沿任意闭路在）（
内是无旋场在）（
内是有势场，在）（
内是保守场；在）（
则下列四个条件等价内有一阶连续偏导数，
的三个分量在，，
是一个线单连通区域，）若定理：（
??
并求势函数。
为有势场，、证明例 zxyxxyya s i n,c o s,c o s1 ??
zxyxxyy
zyx
kji
ar o t
s i nc o sc o s
?
?
?
?
?
?
?
???
?
解：
0??
? ???? L z d zx y d yxx y d xyv s i nc o sc o s
O
A
B
C
? ? ????? x y z z d zx y d yxdx0 0 0 ]s i nc o s0[
1coss i n ??? zxy
曲面面积的计算法
S
Dxy
),( yxfz ?
x
yo
z
???? dSS ?? ??? xyD yx dxdyzz 221 dsyxfS BAL?? ),( ),(
dxyyxfba? ??? 21),(
z
x
o y
),( yxfz ?
s
LA Ba b
曲顶柱体的表面积
?
??
?
????
L
D
yx
dsyxf
dffS
),(
)11( 22 ?
x
z
yo
),( yxfz ?
LD
如图曲顶柱体,
例 2 求柱面 13232 ?? yx 在球面 1222 ??? zyx 内的侧面积,
解 由对称性
?? ???? LL dsyxz d sS 2218
,1,3
2
3
2
?? yxL? )20(,s i n
,co s
3
3 ?
???
?
???
?
? t
ty
tx参数方程为
,c o ss i n3)()( 22 td ttdtyxds tt ?????
td ttttS c o ss in3s inc o s18 20 66? ??? ?
td tttt co ss inco ss in324 20 22?? ?
?? 20 22 c o ss i n324 ? td tt.2
33 ??
例 3 验证 yxxdxxyyx 2322 8()83( ??? dyye y )12? 在整个 xo y
平面内是某一函数 ),( yxu 的全微分,并求这样一个 ),( yxu,
解 yyeyxxyxQxyyxyxP 128),(,83),( 2322 ?????
是某个函数的全微分????????,163 2 xQxyxyP?
dyyeyxxdxxyyxyxu yyx )128()83(),( 23),( )0,0( 22 ????? ?
B
A O
)1(124
)128(
223
0
23
?????
????? ???
yy
y y
ABOA
eyeyxyx
dyyeyxx
例 5 设在半平面 0?x 内有力
)(
3
jyix
r
k
F
???
???
构成力
场,其中 k 为常数,
22
yxr ??, 证明在此力场中,场力
所作的功与所取的路径无关,
例 4 试确定 ?,使得 dyr
y
x
dxr
y
x ??
2
2
? 是某个函数 ),( yxu
的全微分,其中
22
yxr ??,并求 ),( yxu,
?
??
?
?
?
???
???
??
L azyx
azyx
Ldsxyxzyz
2
3:,)222(1
2222
、
)0(
)0,()0,(
)]ln (2[22
222
22
2
?
????
????
?
? ?
a
aBaAayxL
dyaxxyxdx
xa
y
I
L
的弧段
依反时针方向到上由点是圆周
其中、计算
取逆时针。为其中、计算 )0()1(43 22222 ??????? ? RRyxLyx yd xxd yI
L
?
?
?
?
?
?
???
???
??
L azyx
azyx
Ldsxyxzyz
2
3:,)222(1
2222
、
dszyxzyxI
L
)]()[( 2222 ?????? ?解,dsaa
L
)49( 22 ?? ?
dsa
L
?? 45
2
3
2
3 a
d ? 22 dar ?? 2a?
ra ??? 245
2 。?
4
5 3a?
)0(
)0,()0,(
)]ln (2[22
222
22
22
2
?
???
????
?
? ?
a
aBaAayxL
dyaxxyxdx
xa
y
I
L
的弧段
依反时针方向到上由点是圆周
其中、计算
)0,( aB ?
)0,(aA 22
124
ax
yxQ
?
????解：
22
12
ax
yyP
?
???
dyaxxyxdx
xa
yI
l )]l n (2[2
22
22
2
????
?
? ? ??? D dxdy4
22 a??
dyaxxyxdx
xa
y
l )]l n (2[2
22
22
2
????
??
00 22 ?
?
? ? dx
xal
l
取逆时针。为其中、计算 )0()1(43 22222 ??????? ? RRyxLyx yd xxd yI
L
22
22
4
4
yx
xy
y
P
x
Q
?
??
?
??
?
?解：
0)()1)1( ???????? ?? dxdyyPxQIR
D
（
)1)2( ?R（
0)(4)1)3( 22 ??????????? ???
?
d x d yyPxQyx y d xx d yIR
Dl
（
2224,??? yxl
?? ?????
ll
ydxxdy
yx
ydxxdyI
2224 ?
???
??? 2
221
1
1
222 ??? ??
??
Dl
dx dyyd xxd y
的矩形路径。点
为连接其中
、计算
)6,5(),6,5(),6,5(),6,5(
,)
)4()3(
3
(
)
)4()3(
4
(4
2222
2222
????
???
?
?
?
?
???
?
?
?
? ?
DCBA
Ldy
yx
x
yx
x
dx
yx
y
yx
y
I
L
轴正向看去为顺时针。从
的交线，与旋转抛物面为球面
其中、计算：
oz
yxzzyxL
dzyxdyyxy z d xxI
L
22222
222
15
,)1()(5
??????
?????? ?
的矩形路径。为连接点其中
、
)6,5(),6,5(),6,5(),6,5(
,)
)4()3(
3()
)4()3(
4(4
22222222
????
???
??
?
??
???
??
?
? ?
DCBAL
dy
yx
x
yx
xdx
yx
y
yx
yI
L
dy
yx
xdx
yx
yI
L 2222 ?
?
?
? ?解：
dyyx xdxyx y
L 2222 )4()3(
3
)4()3(
4
???
??
???
?? ?
y
P
x
Q
y
P
x
Q
?
??
?
?
?
??
?
? 2211?
?
?? ?
??
1
22
22 yx yx
xdyy d xI ?
???? ???
????
1)4()3(
22
22 )4()3(
)3()4(
yx yx
dyxdxy
?4??
轴正向看去为顺时针。从
的交线，与旋转抛物面为球面
其中、计算：
oz
yxzzyxL
dzyxdyyxy z d xxI
L
22222
222
15
,)1()(5
??????
?????? ?
?
?
?
?
??
2
122
z
yxL解：
??
?
?
?
?
?
?
?
2
s in
c o s
z
y
x
L ?
?
??????? dI ]0)1s i n( c o sc o ss i nc o s2[02 22? ???????
2
??
?
?
?
?
?
??
???
?
? ??
???
22
2222
0
,
),,(
,),,()(7
2222
yxz
yxzyx
zyxf
dszyxftF
tzyx
，
其中、求
内的部分。
在柱体为锥面其中、计算
xyx
yxzzds
2
,6
22
22
??
?????
?
内的部分。
在柱体为锥面其中、计算
xyx
yxzzds
2
,6
22
22
??
?????
?
d x d yzzds yx 221 ???解,dxdy2?
dx dyyxI
D
222 ?? ??
drrd ???? ?
?
? ?
c o s2
0
22
2
2 。
9
232?
??
?
?
?
??
???
?
? ??
???
22
2222
0
,
),,(
,),,()(7
2222
yxz
yxzyx
zyxf
dszyxftF
tzyx
，
其中、求
???? ??
21
),,(),,()(
ss
dszyxfdszyxftF解：
???
1
),,(
s
dszyxf
dxdy
yxt
tds
222 ???
??
??
??
??
2
222
222
22 )()(
tyx
d x d y
yxt
tyxtF
.6 258 4t???
s1
s2
轴夹角为锐角。其法向量与
为有向曲面其中、计算
zzyxz
szdxd ydydzzxI
s
),10(
,)2(8
22 ????
??? ??
所截出部分的外侧。和被平面
是圆柱面其中、计算
024
,)1(9
22 ?????
???? ??
zzxyx
sdxdyzydxd zI
s
）的旋度；，，（在点
）的散度；，，（在点
外侧通量；
所围闭曲面与平面向量场通过由锥面求
、设向量
121)3(
121)2(
1)1(
)1()1()1(10
0
0
22
222
?
?
???
??????
M
M
zyxz
kzxzjzxyizxxA
????
轴夹角为锐角。其法向量与
为有向曲面其中、计算
zzyxz
szdxd ydydzzxI
s
),10(
,)2(8
22 ????
??? ??
1s ????? ????
vs
dvI )12(
1
解,?23??
???? ?
11 ss
zd xd y????
D
d x d y ???
。2???? I
所截出部分的外侧。和被平面
是圆柱面其中、计算
024
,)1(9
22 ?????
???? ??
zzxyx
sdxdyzydxd zI
s
?? ??
s
y d x d zI解,???? ????
左右 ss
y d xd zy d xd z
???? ?????
左sD
d x d zxd x d zx 22 44
?842 2 2 20 2 ????? ? ?? ? dzxdx x
）的旋度；，，（在点
）的散度；，，（在点
外侧通量；
所围闭曲面与平面向量场通过由锥面求
、设向量
121)3(
121)2(
1)1(
)1()1()1(10
0
0
22
222
?
?
???
??????
M
M
zyxz
kzxzjzxyizxxA
????
??
?
??? Rd x d yQ d xd zP d y d zQ)1(解 ????
v
dv3 ??
32 ?Adiv ?）（
)1()1()1(
3
222 zxzzxyzxx
zyx
kji
Ar o t
???
?
?
?
?
?
?
?
?
）（
?? 432,，?
的引力所作的功。对质点运动过程中质点
求在此运动到自沿曲线点
之间的距离），质与为质点为常数，为
的引力大小对质点的质点、设位于点
MA
OBxxyM
MArk
r
k
MA
).0,0()0,2(2
0(
)1,0(11
2
2
??
?
).,(),(
)()(2
012
24224
yxuyxu
jyxxiyxxyA
x
的梯度，并求二元函数
为某
上的向量，使在右半平面、确定常数
??? ??
?
????
?
的引力所作的功。对质点运动过程中质点
求在此运动到自沿曲线点
之间的距离），质与为质点为常数，为
的引力大小对质点的质点、设位于点
MA
OBxxyM
MArk
r
k
MA
).0,0()0,2(2
0(
)1,0(11
2
2
??
?
B
O
A
M
?? 223 )1(,1,yxryxr kF ???????
])1([3 dyyxdx
r
kW
L ???? ?
y
P
x
Q
?
??
?
?
dx
x
kx
OB? ??? 32 )1(
).511( ?? k
?? yxMA ??? 1,解：
])1([3 dyyx d x
r
kW
BO ???? ?
).,(),(
)()(2
012
24224
yxuyxu
jyxxiyxxyA
x
的梯度，并求二元函数
为某
上的向量，使在右半平面、确定常数
??? ??
?
????
?
?? )(,)(2 24224 yxxQyxxyP ?????解：
??
?
?
?
??
?
?
??
y
u
x
ug r a d u,?? QP，? Q
y
uP
x
u ?
?
??
?
??,
yx
u
y
P
xy
u
x
Q
??
??
?
?
??
??
?
?? 22,
y
P
x
Q
?
??
?
?? 1??? ?
? ??? ),( )0,1( 24
22
),( yx
yx
dyxx y d xyxu
.a r c ta n 20 24
2
c
x
yc
yx
dyxy ????
?
??? ?
.
1
333
222
dxdyzdxdzyd y d zxI
zyx
???
???
??
?
?
的外侧，计算为曲面注意：设
??? ??? v dvzyxI )(3 222解,v3? ?
drrrdd ???? ??? ?? s i n3 10 22020,5
12??
