无穷级数
习题课
收敛。，则收敛且若
发散则若正项级数
收敛。都收敛，则若
收敛。都收敛，则若
）、下列结论正确的（
??
?
? ??
???
?
?
?
nnnn
nn
nnnn
nnnn
vvuuD
n
uuC
vuvuB
vuvuA
)(
.
1
)(
,)(
)(,)(
1
22
222
nvnu n
nn 21)1( ????,
nun 2
1?
)(21 22 nnnn vuvu ??
23
1,1
n
vnu nn ??
A
)()();()(;)(;)1()(
2
1212
2
?? ??
?
??
??
?
nnnn
n
nn
n
uuDuuC
uB
n
u
A
u 为收敛，则必收敛的级数、设级数
n
n 1)1(? ?
n
n
ln
1)1(? ? 发散。
nn ln
1?
收敛????? 4131211
)2 112 1()( 212 nnuu nn ???? ?? ?
nnnnn 2
1
4
1
4
1
2
1
12
1 ????
?
D
收敛收敛 ?? ?? 1nn uu?
收敛? ???? )( 1nn uu
)(2)1(
11
n
n
n
n aa ?? ?? ? 收敛，则级数
）敛散性不定。（）发散；（
）绝对收敛；）条件收敛；（（
DC
BA
0
2
1
?
n
na
原级数绝对收敛。收敛 ??
?
? 1 2
1
n
n
).(,10.3 则下列级数收敛的是设 na n ??
.)1()(;)(;)1()(;)(
2??
??
?
?
n
n
n
n
n
n
aDaC
aBaA
0?na
1
11
1 ??? ? nana nn,
2
2 110
nana nn ???,? 收敛。
2?? na
nna
nn
2
1
4
1)1( ???
]2 1)1(4 1[]2 14 1)1[()1()1(
111 nnnn
a nnnnn ???????? ??? ???
D
敛散性不定。为常数，则
发散。则）设（
绝对收敛。绝对收敛，则条件收敛，
发散。发散，因此则若
下列命题正确的是
]
1)s i n (
[)(
)1(,
1
)()(
,1l i m)(
)(.4
2
1
1
nn
n
D
a
n
aC
babaB
uur
u
u
A
n
n
n
nnnn
nn
n
n
n
?
?
?
??
?
??
?
?
???
??
?
?
??
nnnnnnn bbabbaa ?????? 矛盾
nan
2?
??
?? ?
???
11 222
.1;)s i n (,1)s i n ( 发散绝对收敛
nn
n
nn
n
??
??
??
??
??? ??
?
?
?
?
2
2
2
1
2
1
2
1
.)1(,,0)6(2 0 6
n
a
n
a
n
a
aP
n
n
n
nn
n
n 绝对收敛收敛
发散
条件收敛则
)
1
(
.)1(,0)7(207
1
2
1
2
1
2
nnn
n
n
n
P
n
?
?
?
??
??
???
??
?
??
?
?收敛，??
??
???
11 2
1)1(,)1(
nn
nn
)11l n ()1(
1 n
n
n
???
?
?
发散???
1
2
nu
nn
nn 1)1(~)11ln ()1( ???又 ?
),
1
11l n ()11l n (
?
???
nn
?,0)11l n (lim ??
?? nn
故条件收敛。
nn
u
P
n
1
~)
1
1(ln
)8(207
22 ??
nn
n
n
n
nn
aa
n
n
a
n
n t g
anaP
22
1
2
1
~t a n
),2/,0(,),,2,1(0)9(2 0 7
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
级数
收敛且?
）收敛。（级数对任意
求
设
99,0)2(
);(
1
)1(
,t a n.5
1
2
1
4
0
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
n
a
aa
n
xdxa
n
nn
n
n
dxxxaa nnnn )t a n( t a n 2402 ?? ??? ? ?解：
x d xx nt a n)t a n1( 240 ?? ? ? xxdn t a nt a n40?? ? 11?? n
1
11
)(
1
1
2
1 ?
?? ??
?
?
?
nn
aa
n nn
)111()3121()211( ???????? nns n ?.1li m ?
?? nn s
）收敛。（级数对任意
求
设
99,0)2(
);(
1
)1(
,t a n
1
2
1
4
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
a
aa
n
xdxa
n
nn
n
n
1
1
2 ??? ? naa nn?证明：
1
1
??? na n
.11,111111 1 ?????????? ?????
nnnnnn
a n则
6, 设 ?
?
? 1n
n
b 与 ?
?
? 1n
n
c 都收敛，且 nnn cab ??
),2,1( ??n,能否推出 ?
?
? 1n
n
a 收敛？
nnnn bcba ????0?证明：
收敛而 )(
1
nn bc ??
?
收敛)(
1 nn
ba ?? ??
收敛收敛，又 nnn bba ?? ?? ?
11
)(?
.
1
收敛??? na
绝对收敛。证明导数，且
的某邻域内有二阶连续在设
)
1
(,0
)(
lim
0)(.7
10
?
?
?
?
?
n
f
x
xf
xxf
x
0)(lim 0 ?? x xfx?证明,0)0(0)( ???? fxf
01 )(li m)(li m 00 ??? ?? xfx xf xx又 0)0( ??? f
2)(
!2
1)0()0()( xfxffxfT a i l o r ???????展式据
20
1)(
!2
11)0()0()1(
nfnffnf ???????即
220
11)(
!2
1)1(
nMnfnf ????? ?
绝对收敛。证明导数，且
的某邻域内有二阶连续在设
)
1
(,0
)(
lim
0)(
10
?
?
?
?
?
n
f
x
xf
xxf
x
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01 )(li m)(li m 00 ??? ?? xfx xf xx又 0)0( ??? f
2
)0(
2
)(lim
2
)(lim)(lim
2
fxf
x
xf
x
xf
oxoxox
????????
???
?
2
)0(
/1
)/1(lim
2
f
n
nf
n
????
??
都绝对收敛。或 ?
?
?
???????
1
)1(,0)0(,0)0(
n n
fff
的敛散性。讨论设 ?
?
? ????
1
2
1 ),1(2
1,10.8
nnnnn uuuuu
1)1(21)1(21 2121 ?????? ?? n
n
n
nnn uu
uuuu?
0?? nn uu 单调下降且有下界 au nn ???lim则
)1(21 2 ?? aaa ).1(10 舍去或 ????? aaa
,0l i m ???? au nn当
121)1(21limlim 21 ????
??
?
?? nnn
n
n
uuu有
收敛。?
?
?
1
nu
??
）。（是否收敛？并说明理由
发散，问单调减少，且设正项数列
98)
1
1
(
)1(.9
1
1
n
n
n
n
n
a
aa
?
?
?
?
?
?
1
1l i ml i m
?? ???? nn
n n
n a
u解：
?? 0?nn aa 单调减少且? aa nn 存在，设为??? l i m
0?a则
单调减少，若 naa,0? 收敛。nn a?
? ??
1
)1( 矛盾
11 1lim,0 ?????
?? a
ua n n
n
则 故级数收敛
0,0 ??? aa n? ?
还是绝对收敛？
件收敛，是否收敛，若收敛是条为任意实数
判断级数
),(
2124321
.10
ba
n
b
n
ababa
?? ??
?
?????
ba ?解,?? ??
?
?????
n
a
n
aaaaa
2124321
级数为
是收敛的交错级数。 ?? ??
?
?????
n
a
n
aaaaa
2124321
级数
时发散）0( ?a
时条件收敛。时绝对收敛,00 ???? baba
ba ?解：
n
b
n
au
n 212 ??? nn
nbna
2)12(
)12(2
?
?????
nn
bnba
2)12(
2)(
?
????
)12(2)12(
)(
???
??
nn
b
n
ba
收敛发散,??
??
??
?
11 )12(212 nn
b
n
ba?
时级数发散。ba ??
.
.11
1
11
1
收敛证明
收敛，收敛，正项级数若
?
??
?
??
??
nn
nnn
vu
vuu
收敛证明,?? ??
1 1nn
uu? 收敛。
?
??? 1 1 )( nn uu
ss nn ?? ??lim
11201 ???????? nnn uuuuuus ?又 0uu n ??
suus nnnn ???? ???? )(limlim 00lim usu nn ??? ??
Mu n ?? nnn Mvvu ??又
收敛。绝对收敛收敛由 ??? ??? ??
111 nnnnn
vuvuv
一,选择题,
1,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A) ?
?
? 1
1
n
n； (B ) ?
?
? 1
1
n
nn；
( C) ?
?
? 1
3 2
1
n n； (D) ?
?
?
?
1
)1(
n
n
.
2,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)
1
1
)
4
5
(
?
?
?
?
n
n； (B)
1
1
)
5
4
(
?
?
?
?
n
n；
(C )
1
1
1
)
4
5
()1(
?
?
?
?
? ?
n
n
n； ( D) ?
?
?
?
?
1
1
)
5
4
4
5
(
n
n
.
练 习 题
3,下列级数中,收敛的是 ( )
(A ) ?
?
? 1
2
2
2
)!(
n
n
n； (B) ?
?
? 1
!3
n
n
n
n
n；
(C ) ?
?
? 2
2
s i n
1
n
n
?
?； (D ) ?
?
?
?
?
1
)2(
1
n
nn
n
.
4,部分和数列 ? ?ns 有界是正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的
( )
(A ) 充分条件； ( B) 必要条件；
(C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
二,1,正项级数 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 1l i m
1
?
?
??
n
n
n u
u；
2, ?
?
? 1n
n
a 收敛，且 1lim ?
??
n
n
n b
a
，则 ?
?
? 1n
n
b 收敛；
3, ?
?
? 1n
n
u 发散，则 0lim ?
??
n
n
u,反之呢？
4, ?
?
? 1n
n
u 收敛，则 ?
?
? 1
2
n
n
u
收敛，反之呢？
.1,)1( nabna nnnn ????
三,判敛散
1, ?
?
? 1
ln
n
nn
n； 2, ?
?
?
?
?
1
2
3
t a n)1(
n
n
n； 3,
?
?
?
?
1
ln
)( l n
)1(
n
n
n
n
n；
4,
?
?
?
?
?
??
1
)
1
2
l n ()1(
n
p
n
n
nn； 5,
?
?
?
??
1
3
3
))1(2(
n
n
nn
n；
5, ?
?
?
??
?
?
1
)23)(23(
)
1
2l n (
)1(
n
n
nn
n； 6,
?
?
?
?
1
ln
)1(
n
n
n
n
7,
?
?
?
?
?
1
)
1
ln
1
(
n
n
n
n
8, ?
?
?
?
1
2
2
3
s i n
n
n
nn； 9, ?
?
? 2
ln)( l n
1
n
nn ； 10, )si n (
1
22?
?
?
??
n
an,
泰勒展开
六、
.
11
,0lim),(0
1 11
1
同收敛与则
且
??
?
? ?
?
?
?
??
??
????
n nnn
nn
n
n
n
aa
aa
aaNna
七、若
n
n
un
2
l i m
???
存在,证明, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,
八、证明, 0
!
lim
3
?
??
n
n
n an
b
.
四、求极限 ?
?
??
?
n
k
k
k
n kn
1
2
)
1
1(
3
11
l i m,])2(842[l i m 3
1
27
1
9
1
3
1
nn
n
????
??
?,
五、设数列 { n a
n
} 收敛，且级数 ?
?
?
?
?
1
1
)(
n
nn
aan
收敛，证明
?
?
? 1n
n
a
也收敛。
幂级数
习题课
.)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数 ?
?
?
??
n
nxn
例 1
解,1)1)(1(
0
????
?
?
Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 ???? x收敛域为,20 ?? x即
则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0
??
?
???
n
nxnxs
两边逐项积分
??
?
???
0
1
1)1(
n
xnx
? ?? ?
?
???
0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs
??
?
???
0
1)1(
n
nx
)1(1
1
??
??
x
x,
2
1
x
x
?
??
求导，得两边再对 x
)2 1()( ???? xxxs,)2( 1 2??
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数
展开成麦将 xxxxf ???
例 2
解,32)1ln (
32
?? ????? xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22 ?? ????????? ?
n
xxxxx nn
)11( ??? x ? ?? x dxx
0 21
1a rct a n又
? ???????? x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[ ??
?? ?????????
?
12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( ??? x
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
1
2
1
0
22
2
)1(
2
1
12
)1(
1lna rct a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故
?? ?
?
??
?
?
?????? 0
22
0
22
22)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22??
?
?
???? n
n
n
nn
x)11( ??? x
的幂级数．成
的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1
?
?
?
? ??
?
?
?
?
x
n
x n
n
n
n
例 3
解
．设法用已知展开式来解
的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?
?
?
?
?
?
??
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s i n2
x?
2
11s i n2 ??? x
2
1s i n
2
1co s2
2
1co s
2
1s i n2 ???? xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0
12
0
2
)
2
1
(
)!12(
)1(
2
1
c o s2
)
2
1
(
)!2(
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
12
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
co s
)1(
)!2(2
)1(
2
1
s in2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
),( ????
的值。求设 )0(,)1( 1)( )100(3 fx xxf ???
23 )1(
1
)1(
2)()(
xxxf ????一方法
????
11
1)( nx
x二方法
?? ???
1
1
2)1(
1 nnx
x ?
? ???
? 2
2
3 )1()1(
2 nxnn
x
?? ? ?? ? ???????
2
1
2
2
3 )1(2
1)1(
2
1
)1(
1)( nn xnnxnn
x
xxf
1
1
2 ???? nxn nxn?? ??
0
2)1( n
n
xnf???
0
)(
!
)0(
!
)0()1( )(2
n
fn n??
!100)101()0( 2)1 0 0( ?f
例 4
思考题解答
不一定,
例,)(
1
2?
?
?
?
n
n
n
xxf,)(
1
1
?
?
?
?
??
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
?
?
?
??
???
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ ???
思考
1,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，
那么它的收敛域是否也不变？
2,常用已知和函数的幂级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
???
?
?;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
????
?
?;1)3( 2
0
2
x
aax
n
n
???
?
?;!)4(
0
x
n
n
enx ??
?
?
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n ??
???
?
?
?;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n ?
???
?
?
?
?
.______)1(
),33(
1
1
1
的收敛区间为
则幂级数，的收敛区间为设幂级数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
xna
xa
.
1,,1
1
1
111
收敛半径相同
）（,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n xnaxnaxnaxa
313 ???? x)4,2(?
若幂级 ?
?
? 0n
n
n
xa 的收敛半径为,
1
R ????
1
0 R ; ?
?
? 0n
n
n
xb 的收敛
半径为,2R ???? 20 R,则幂级数 ?
?
?
?
0
)(
n
n
nn
xba 的收敛半径至
少为 ( )
(A) 21 RR ? ； (B ) 21 RR ? ； (C) ? ?21,m a x RR ； ( D) ? ?21,m i n RR,
3,
4,
一,求下列幂级数的收敛区间,
?
?
?
?
1
53
n
n
nn
x
n； 2, ?
?
? 1
2
2
n
n
n
x
n
,3, ?
?
?
?
?
?
1
2
1
)2(
)1(
n
n
n
n
x
二、求幂级数 1, ?
?
?
?
1
)1(
n
n
nn
x； 2, ?
?
?
?
?
?
1
2
1
)12(
)1(
n
n
n
x
nn
的和函数,
三、求数项级数 ?
?
? 1
2
!
n
n
n
的和,
四、试将函数
2
)2(
1
x?
展开成
的幂级数x
.
或, 将
65
2
?? xx
x
展开成 ( x - 5) 的幂级数,
五、试将函数
3
x
展开成 ( x -1 ) 的幂级数,
课堂练习,
四,)2,2(,
2)2(
1
1
1
12
???
? ?
?
?
?
?
xx
n
x n
n
n
一,1, )
5
1
,
5
1
[ ? ； 2, )2,2( ? ； 3, [1, 3],
二,1,
?
?
?
?
?
?
??????
?
0,0
)1,0()0,1(),1l n ()1
1
(1
)(
x
xx
xxs,
2, 2 x a r ct a n x - l n (1 + x
2
)
三,e2,
答案,
傅立叶级数
习题课
._ _ _ _ _ _ _ _
1)(
10,
01,2
)(
]1,1(,2)(
3
收敛于
处的富里叶级数在则为
上的定义它在区间的周期函数是周期为设
?
??
?
?
?
??
???
?
?
xxf
xx
x
xf
xf
2/3
x
y
o
例 1
解 ? ??? 155 5co s)10(51 dxxnxa n
? ??? 155 5s i n)10(51 dxxnxb n
? ??? ?? 155155 5co s515co s2 dxxnxdxxn,0?
? ?? 1550 )10(51 dxxa,0?
,10)1( ?nn?? ),2,1( ??n
?
?
?
??
???? 1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故 )155( ?? x
),2,1( ??n
例 2 将函数 ? ?15510)( ???? xxxf 展开成
富氏级数,
另解,10?? xz作变量代换
155 ?? x,55 ???? z
)10()( ?? zfxf ),( zFz ???
,)55()( 的定义补充函数 ????? zzzF
,5)5( ??F令 )10()( ?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在 ?
例 2 将函数 ? ?15510)( ???? xxxf 展开成
富氏级数,
x
)(zFy
5? 50 1510
),2,1,0(,0 ??? na n
? ??? 50 2s i n)(52 dzznzb n
,10)1( ??? nn ),2,1( ??n
,5s in)1(10)(
1
?
?
?
??
?? n
n zn
nzF )55( ??? z
?
?
?
???????
1
)]10(5s in [)1(1010
n
n
xnnx
.5s in)1(10
1
?
?
?
??
?? n
n
xnn )155( ?? x
形．函数，同时画出它的图
写出该级数的和的正弦级数并在
为周期内展开成以在将
?????
????
22
20c os
x
xx
例 3
解
,co s
),(,s i nco s
2),0(co s)(
1
进行奇开拓内对
必须在周期的正弦级数
为内展开成以在要将
x
nxbx
xxf
n
n
????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
??
?
),0,(c o s
,00
),,0(c o s
)(
xx
x
xx
xF令
? ??? 0 s i nco s2 n x d xxb n
? ? ????? 0 ])1s in ()1[ s in (1 dxxnxn
]1)1(11)1(1[1
11
?
???
?
??
??
??
nn
nn
??
?
?
?
?
??
??
? mn
n
n
mno
2,
)1(
4
12,
2
)1( ?n
,0?na
? ??? 01 2s i n1 x d xb,0?
??
?
???????
1
2 )0(.2s in)14(
8c o s
m
xmxm mx
上级数的和函数为在 ????? 22 x
?
?
?
?
?
??????
?????
??????
?
),2,()0,(c o s
2,,00
),2(),0(,c o s
)(
?
?
xx
x
xx
xs
和函数的图形为
x
y
o ? ?2????2
的和．由此求级数为周期的付氏级数，并以
内展开成将函数
?
?
?
?????
1
2
1
2
)11(2)(
n n
xxxf
例 4
解,)11(2)( 是偶函数????? xxxf?
? ??? 100 )2(12 dxxa,5
? ??? 10 1co s)2(12 dxxnxa n ? ?? 10 c o s2 x d xnx
? ??? 10 s i n2 xnxdn ]1)1[(2 22 ???? nn
??
?
?
?
??
?
?
?
? 12,4
2,0
22 knn
kn
),2,1( ??k
,0?nb
??
?
????????
1
22 )12c o s ()12(
4
2
52
k
xkkx故
??
? ?
??
??? 1 22,)12(
)12c o s (4
2
5
k k
xk)11( ??? x
,0?x取 由上式得 ?
?
? ??
??
1
22,)12(
14
2
52
k k
?
?
?
??
?? 1
2
2,8)12(
1
k k
??? ?
?
?
?
?
?
???
1
2
1
2
1
2 )2(
1
)12(
11
kkn kkn
而
,141)12( 1
1
2
1
2 ??
?
?
?
?
???
kk kk
3
4
8
1 2
1
2 ?
??? ??
?n n
.6
2?
?
．
时，０当证明：
624
c o s 22
1
2
?
?
?
??
?
???
?
?
?
xx
n
n
x
n
例 5
解,24)(
2 xx
xf ???设
上展开成余弦级数：［在将 ],0)( ?xf
? ? ???? 0
2
0 )24(
2 dxxxa )
412(
2 33 ???
??,3
3?
?
? ? ????? 0
2
c o s)24(2 dxnxxa n
]s in)22(s in)24[(2 00
2
nx d xxnxxxn ? ?? ???????
nxdxn co s)22(2 02 ? ? ???? 222 ???? n,12n?
)0(c o s
624 1 2
22
???? ??????? ?
?
?
x
n
xnxx
n
．
．故
624
c o s 22
1
2
???
????
?
?
xx
n
xn
n
的和．数富氏级数，并由此求级
内展开成将函数
?
?
? ?
?
??????
1
21
1
2
1
)()(
n
x
n
xexf
)(110 ???? ?? ????? ? eedxea x
解
)(
1
1)1(c o s1
2
????
?? ???
??
?? ? eenn x d xea
nx
n
)(
1
)1(s i n1
2
????
?? ???
??
?? ? een
nn x d xeb nx
n
.),s i n( c o s
1
)1(
2
1(
21 ???????
??
?
?? ??
?
???
xnxnnx
n
eee n
n
x
例 6
?
?
??
?
?
?
?
?
??
????
?
???
?
ee
n
n
ee
x
n
n
)c o s
1
)1(
2
1
(
,
2
1
时
．???
?
? ?
?
?
cth
nn 21
1
2
1
1
2
）（作业 251 7 3,P
），（ ??????? ?
?
0)12s i n (12 14)(
1
xxkkxf
)1(471513112 ?? ??????? ?x
411
1
2
1
9
1
7
1
2
1
5
1
2
1
3
1
2
1
6
?? ??????????? ?x
)2(2111927151321 ?????????? ?
)3(69232493333 ???????????? ??x
),(8 4c o s2c o s2183)2 2c o s1(s i n 24 ????????? xxxxx
1,设 )( xf 是周期为 ?2 的函数,它在 ],[ ??? 上的表达式为
?
?
?
???
????
?
],0(,1
]0,(,1
)(
2
xx
x
xf
在 x = ? 处收敛于何值,
2,设 f( x ) =
? x+x
2
,( - ?,? ),则 b
3
为多少？
3,设
)( xf
是周期为 ?2 的函数,它在 ],[ ??? 上的表达式为
?
?
?
??
???
?
),0[,
)0,[,0
)(
xe
x
xf
x
将
)( xf
展开成傅立叶级数,
4,将函数
?
?
?
???
??
?
xh
hx
xf
,0
0,1
)(
分别展开成正弦级数和余弦级数,
5,证明, 如果
)(),()( xfxfxf ????
以
为周期?2
,则
)( xf
的傅立
叶系数
0
0
?a
,
),2,1(0,0
22
???? kba
kk,
课堂练习
1, ?
??
??? ?????, 2 ? ??? ??
3, nx
n
ee
xf
n
n
c o s
1
1)1(
[
1
2
1
)(
1
2?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
]s i n
1
)1)1((
2
1
nx
n
en
n
?
??
?
??
,
(
?,2,1,0,??????????? nnxx 且
),
4, ),(),0(,s i n
c o s12
)(
1
???
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nh
xf
n
),(),0[,c o s
s i n2
)(
1
???
?
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nhh
xf
n
.
答案,
二、选择题 （每题 3 分）
1, 设函数 f ( x ) 在定义域内可导,y = f( x ) 的图形如下，则导函数
y=f ?(x) 的图形为
一,填空题 （每小题 3 分）
1, 设 )c oss i n{ 21 xCxCey
x
?? 为二阶常系数线性齐次微分方
程的通解，则该微分方程为 _________ _ __ 。
2, 设
222
zyxr ???,则 di v( g r a d r) ?
( 1,- 2,2 )
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
3, 交换二次积分的积分次序,??
?
?
?
y
dxyxfdy
1
2
0
1
),( _ _ __ _ _ __ 。
4,设矩阵 A 满足 A
2
+ A -4 E = 0,其中 E 为单位矩阵，则 ( A -E )
- 1
= _ _ _,
2,设函数 f( x,y ) 在点 (0,0) 附近有定义，且 1)0,0(,3)0,0( ??
yx
ff
则
a) dz ?
( 0,0 )
=3dx +dy ;
b) 曲面 z =f ( x,y ) 在点 (0,0,f (0,0)) 的法向量为 {3, 1, 1} ；
c) 曲线
?
?
?
?
?
0
),(
y
yxfz
在点 (0,0,f (0,0)) 的切向量为 {1, 0, 3} ；
d) 曲线
?
?
?
?
?
0
),(
y
yxfz
在点 (0,0,f (0,0)) 的切向量为 {3, 0, 1} 。
3,设 f(0 )=0,则 f (x) 在点 x=0 可导的充要条件为
a)
c o s h )1(
1
lim
2
0
?
?
f
hh
存在 ; b )
)1(
1
lim
0
h
h
ef
h
?
?
存在 ;
c )
s i n h )1(
1
lim
2
0
?
?
f
hh
存在 ; b)
)]()2([
1
lim
0
hfhf
hh
?
?
存在 ;
三,（ 6 分）
dx
e
e
x
x
? 2
a r c t a n
四,（ 6 分）
设函数 z=f( x,y) 在点 （ 1, 1 ）处可微，且 f ( 1,1)=1,f
x
?
( 1,1 )
=2
f
y
?
( 1,1 )
= 3,? (x)= f( x,f ( x,x ) ),求 1
3
)(
?
?
x
x
dx
d
。
五,（ 8 分）
设 f(x)=
?
?
?
?
?
?
?
?
.0,1
0,a rc t a n
1
2
x
xx
x
x
,试将 f( x) 展开为 x 的幂级数，
并求级数
?
?
?
?
?
1
2
41
)1(
n
n
n
的和。
六,（ 7 分）计算
dzyxdyxzdxzyI
L
)3()2()(
222222
??????
?
其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱面 ?x ?+ ?y ?=1 的交线,从 z 轴的正向看
去,L 为逆时针,
七,（ 7 分）
设函数 y = f( x ) 在 （ - 1, 1 ）内具有二阶连续导数且 f ? ( x ) ? 0,
试证, (1) 对于 ( -1,1 ) 内的任意 x ? 0,存在唯一的 ? ( x ) ? ( 0,1),使
f ( x) = f ( 0 )+ xf ?( ? ( x ) x ) 成立 ; ( 2 )
2/1)(lim
0
??
?
x
x
.
八,（ 8 分）
设有一高度为 h ( t ) ( t 为小时 ) 的雪堆在融化过程中，其恻面满
足方程
)(
)(2
)(
22
th
yx
thz
?
??
，已知体积减少的速度与侧面积成
正比 （比例系数 0, 9 ）,问高度为 1 3 0 厘米的雪堆全部融化需要
多少小时?
习题课
收敛。，则收敛且若
发散则若正项级数
收敛。都收敛，则若
收敛。都收敛，则若
）、下列结论正确的（
??
?
? ??
???
?
?
?
nnnn
nn
nnnn
nnnn
vvuuD
n
uuC
vuvuB
vuvuA
)(
.
1
)(
,)(
)(,)(
1
22
222
nvnu n
nn 21)1( ????,
nun 2
1?
)(21 22 nnnn vuvu ??
23
1,1
n
vnu nn ??
A
)()();()(;)(;)1()(
2
1212
2
?? ??
?
??
??
?
nnnn
n
nn
n
uuDuuC
uB
n
u
A
u 为收敛，则必收敛的级数、设级数
n
n 1)1(? ?
n
n
ln
1)1(? ? 发散。
nn ln
1?
收敛????? 4131211
)2 112 1()( 212 nnuu nn ???? ?? ?
nnnnn 2
1
4
1
4
1
2
1
12
1 ????
?
D
收敛收敛 ?? ?? 1nn uu?
收敛? ???? )( 1nn uu
)(2)1(
11
n
n
n
n aa ?? ?? ? 收敛，则级数
）敛散性不定。（）发散；（
）绝对收敛；）条件收敛；（（
DC
BA
0
2
1
?
n
na
原级数绝对收敛。收敛 ??
?
? 1 2
1
n
n
).(,10.3 则下列级数收敛的是设 na n ??
.)1()(;)(;)1()(;)(
2??
??
?
?
n
n
n
n
n
n
aDaC
aBaA
0?na
1
11
1 ??? ? nana nn,
2
2 110
nana nn ???,? 收敛。
2?? na
nna
nn
2
1
4
1)1( ???
]2 1)1(4 1[]2 14 1)1[()1()1(
111 nnnn
a nnnnn ???????? ??? ???
D
敛散性不定。为常数，则
发散。则）设（
绝对收敛。绝对收敛，则条件收敛，
发散。发散，因此则若
下列命题正确的是
]
1)s i n (
[)(
)1(,
1
)()(
,1l i m)(
)(.4
2
1
1
nn
n
D
a
n
aC
babaB
uur
u
u
A
n
n
n
nnnn
nn
n
n
n
?
?
?
??
?
??
?
?
???
??
?
?
??
nnnnnnn bbabbaa ?????? 矛盾
nan
2?
??
?? ?
???
11 222
.1;)s i n (,1)s i n ( 发散绝对收敛
nn
n
nn
n
??
??
??
??
??? ??
?
?
?
?
2
2
2
1
2
1
2
1
.)1(,,0)6(2 0 6
n
a
n
a
n
a
aP
n
n
n
nn
n
n 绝对收敛收敛
发散
条件收敛则
)
1
(
.)1(,0)7(207
1
2
1
2
1
2
nnn
n
n
n
P
n
?
?
?
??
??
???
??
?
??
?
?收敛，??
??
???
11 2
1)1(,)1(
nn
nn
)11l n ()1(
1 n
n
n
???
?
?
发散???
1
2
nu
nn
nn 1)1(~)11ln ()1( ???又 ?
),
1
11l n ()11l n (
?
???
nn
?,0)11l n (lim ??
?? nn
故条件收敛。
nn
u
P
n
1
~)
1
1(ln
)8(207
22 ??
nn
n
n
n
nn
aa
n
n
a
n
n t g
anaP
22
1
2
1
~t a n
),2/,0(,),,2,1(0)9(2 0 7
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
级数
收敛且?
）收敛。（级数对任意
求
设
99,0)2(
);(
1
)1(
,t a n.5
1
2
1
4
0
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
n
a
aa
n
xdxa
n
nn
n
n
dxxxaa nnnn )t a n( t a n 2402 ?? ??? ? ?解：
x d xx nt a n)t a n1( 240 ?? ? ? xxdn t a nt a n40?? ? 11?? n
1
11
)(
1
1
2
1 ?
?? ??
?
?
?
nn
aa
n nn
)111()3121()211( ???????? nns n ?.1li m ?
?? nn s
）收敛。（级数对任意
求
设
99,0)2(
);(
1
)1(
,t a n
1
2
1
4
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
a
aa
n
xdxa
n
nn
n
n
1
1
2 ??? ? naa nn?证明：
1
1
??? na n
.11,111111 1 ?????????? ?????
nnnnnn
a n则
6, 设 ?
?
? 1n
n
b 与 ?
?
? 1n
n
c 都收敛，且 nnn cab ??
),2,1( ??n,能否推出 ?
?
? 1n
n
a 收敛？
nnnn bcba ????0?证明：
收敛而 )(
1
nn bc ??
?
收敛)(
1 nn
ba ?? ??
收敛收敛，又 nnn bba ?? ?? ?
11
)(?
.
1
收敛??? na
绝对收敛。证明导数，且
的某邻域内有二阶连续在设
)
1
(,0
)(
lim
0)(.7
10
?
?
?
?
?
n
f
x
xf
xxf
x
0)(lim 0 ?? x xfx?证明,0)0(0)( ???? fxf
01 )(li m)(li m 00 ??? ?? xfx xf xx又 0)0( ??? f
2)(
!2
1)0()0()( xfxffxfT a i l o r ???????展式据
20
1)(
!2
11)0()0()1(
nfnffnf ???????即
220
11)(
!2
1)1(
nMnfnf ????? ?
绝对收敛。证明导数，且
的某邻域内有二阶连续在设
)
1
(,0
)(
lim
0)(
10
?
?
?
?
?
n
f
x
xf
xxf
x
0)(lim 0 ?? x xfx?证明,0)0(0)( ???? fxf
01 )(li m)(li m 00 ??? ?? xfx xf xx又 0)0( ??? f
2
)0(
2
)(lim
2
)(lim)(lim
2
fxf
x
xf
x
xf
oxoxox
????????
???
?
2
)0(
/1
)/1(lim
2
f
n
nf
n
????
??
都绝对收敛。或 ?
?
?
???????
1
)1(,0)0(,0)0(
n n
fff
的敛散性。讨论设 ?
?
? ????
1
2
1 ),1(2
1,10.8
nnnnn uuuuu
1)1(21)1(21 2121 ?????? ?? n
n
n
nnn uu
uuuu?
0?? nn uu 单调下降且有下界 au nn ???lim则
)1(21 2 ?? aaa ).1(10 舍去或 ????? aaa
,0l i m ???? au nn当
121)1(21limlim 21 ????
??
?
?? nnn
n
n
uuu有
收敛。?
?
?
1
nu
??
）。（是否收敛？并说明理由
发散，问单调减少，且设正项数列
98)
1
1
(
)1(.9
1
1
n
n
n
n
n
a
aa
?
?
?
?
?
?
1
1l i ml i m
?? ???? nn
n n
n a
u解：
?? 0?nn aa 单调减少且? aa nn 存在，设为??? l i m
0?a则
单调减少，若 naa,0? 收敛。nn a?
? ??
1
)1( 矛盾
11 1lim,0 ?????
?? a
ua n n
n
则 故级数收敛
0,0 ??? aa n? ?
还是绝对收敛？
件收敛，是否收敛，若收敛是条为任意实数
判断级数
),(
2124321
.10
ba
n
b
n
ababa
?? ??
?
?????
ba ?解,?? ??
?
?????
n
a
n
aaaaa
2124321
级数为
是收敛的交错级数。 ?? ??
?
?????
n
a
n
aaaaa
2124321
级数
时发散）0( ?a
时条件收敛。时绝对收敛,00 ???? baba
ba ?解：
n
b
n
au
n 212 ??? nn
nbna
2)12(
)12(2
?
?????
nn
bnba
2)12(
2)(
?
????
)12(2)12(
)(
???
??
nn
b
n
ba
收敛发散,??
??
??
?
11 )12(212 nn
b
n
ba?
时级数发散。ba ??
.
.11
1
11
1
收敛证明
收敛，收敛，正项级数若
?
??
?
??
??
nn
nnn
vu
vuu
收敛证明,?? ??
1 1nn
uu? 收敛。
?
??? 1 1 )( nn uu
ss nn ?? ??lim
11201 ???????? nnn uuuuuus ?又 0uu n ??
suus nnnn ???? ???? )(limlim 00lim usu nn ??? ??
Mu n ?? nnn Mvvu ??又
收敛。绝对收敛收敛由 ??? ??? ??
111 nnnnn
vuvuv
一,选择题,
1,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A) ?
?
? 1
1
n
n； (B ) ?
?
? 1
1
n
nn；
( C) ?
?
? 1
3 2
1
n n； (D) ?
?
?
?
1
)1(
n
n
.
2,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)
1
1
)
4
5
(
?
?
?
?
n
n； (B)
1
1
)
5
4
(
?
?
?
?
n
n；
(C )
1
1
1
)
4
5
()1(
?
?
?
?
? ?
n
n
n； ( D) ?
?
?
?
?
1
1
)
5
4
4
5
(
n
n
.
练 习 题
3,下列级数中,收敛的是 ( )
(A ) ?
?
? 1
2
2
2
)!(
n
n
n； (B) ?
?
? 1
!3
n
n
n
n
n；
(C ) ?
?
? 2
2
s i n
1
n
n
?
?； (D ) ?
?
?
?
?
1
)2(
1
n
nn
n
.
4,部分和数列 ? ?ns 有界是正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的
( )
(A ) 充分条件； ( B) 必要条件；
(C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
二,1,正项级数 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 1l i m
1
?
?
??
n
n
n u
u；
2, ?
?
? 1n
n
a 收敛，且 1lim ?
??
n
n
n b
a
，则 ?
?
? 1n
n
b 收敛；
3, ?
?
? 1n
n
u 发散，则 0lim ?
??
n
n
u,反之呢？
4, ?
?
? 1n
n
u 收敛，则 ?
?
? 1
2
n
n
u
收敛，反之呢？
.1,)1( nabna nnnn ????
三,判敛散
1, ?
?
? 1
ln
n
nn
n； 2, ?
?
?
?
?
1
2
3
t a n)1(
n
n
n； 3,
?
?
?
?
1
ln
)( l n
)1(
n
n
n
n
n；
4,
?
?
?
?
?
??
1
)
1
2
l n ()1(
n
p
n
n
nn； 5,
?
?
?
??
1
3
3
))1(2(
n
n
nn
n；
5, ?
?
?
??
?
?
1
)23)(23(
)
1
2l n (
)1(
n
n
nn
n； 6,
?
?
?
?
1
ln
)1(
n
n
n
n
7,
?
?
?
?
?
1
)
1
ln
1
(
n
n
n
n
8, ?
?
?
?
1
2
2
3
s i n
n
n
nn； 9, ?
?
? 2
ln)( l n
1
n
nn ； 10, )si n (
1
22?
?
?
??
n
an,
泰勒展开
六、
.
11
,0lim),(0
1 11
1
同收敛与则
且
??
?
? ?
?
?
?
??
??
????
n nnn
nn
n
n
n
aa
aa
aaNna
七、若
n
n
un
2
l i m
???
存在,证明, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,
八、证明, 0
!
lim
3
?
??
n
n
n an
b
.
四、求极限 ?
?
??
?
n
k
k
k
n kn
1
2
)
1
1(
3
11
l i m,])2(842[l i m 3
1
27
1
9
1
3
1
nn
n
????
??
?,
五、设数列 { n a
n
} 收敛，且级数 ?
?
?
?
?
1
1
)(
n
nn
aan
收敛，证明
?
?
? 1n
n
a
也收敛。
幂级数
习题课
.)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数 ?
?
?
??
n
nxn
例 1
解,1)1)(1(
0
????
?
?
Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 ???? x收敛域为,20 ?? x即
则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0
??
?
???
n
nxnxs
两边逐项积分
??
?
???
0
1
1)1(
n
xnx
? ?? ?
?
???
0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs
??
?
???
0
1)1(
n
nx
)1(1
1
??
??
x
x,
2
1
x
x
?
??
求导，得两边再对 x
)2 1()( ???? xxxs,)2( 1 2??
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数
展开成麦将 xxxxf ???
例 2
解,32)1ln (
32
?? ????? xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22 ?? ????????? ?
n
xxxxx nn
)11( ??? x ? ?? x dxx
0 21
1a rct a n又
? ???????? x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[ ??
?? ?????????
?
12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( ??? x
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
1
2
1
0
22
2
)1(
2
1
12
)1(
1lna rct a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故
?? ?
?
??
?
?
?????? 0
22
0
22
22)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22??
?
?
???? n
n
n
nn
x)11( ??? x
的幂级数．成
的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1
?
?
?
? ??
?
?
?
?
x
n
x n
n
n
n
例 3
解
．设法用已知展开式来解
的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?
?
?
?
?
?
??
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s i n2
x?
2
11s i n2 ??? x
2
1s i n
2
1co s2
2
1co s
2
1s i n2 ???? xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0
12
0
2
)
2
1
(
)!12(
)1(
2
1
c o s2
)
2
1
(
)!2(
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
12
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
co s
)1(
)!2(2
)1(
2
1
s in2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
),( ????
的值。求设 )0(,)1( 1)( )100(3 fx xxf ???
23 )1(
1
)1(
2)()(
xxxf ????一方法
????
11
1)( nx
x二方法
?? ???
1
1
2)1(
1 nnx
x ?
? ???
? 2
2
3 )1()1(
2 nxnn
x
?? ? ?? ? ???????
2
1
2
2
3 )1(2
1)1(
2
1
)1(
1)( nn xnnxnn
x
xxf
1
1
2 ???? nxn nxn?? ??
0
2)1( n
n
xnf???
0
)(
!
)0(
!
)0()1( )(2
n
fn n??
!100)101()0( 2)1 0 0( ?f
例 4
思考题解答
不一定,
例,)(
1
2?
?
?
?
n
n
n
xxf,)(
1
1
?
?
?
?
??
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
?
?
?
??
???
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ ???
思考
1,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，
那么它的收敛域是否也不变？
2,常用已知和函数的幂级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
???
?
?;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
????
?
?;1)3( 2
0
2
x
aax
n
n
???
?
?;!)4(
0
x
n
n
enx ??
?
?
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n ??
???
?
?
?;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n ?
???
?
?
?
?
.______)1(
),33(
1
1
1
的收敛区间为
则幂级数，的收敛区间为设幂级数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
xna
xa
.
1,,1
1
1
111
收敛半径相同
）（,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n xnaxnaxnaxa
313 ???? x)4,2(?
若幂级 ?
?
? 0n
n
n
xa 的收敛半径为,
1
R ????
1
0 R ; ?
?
? 0n
n
n
xb 的收敛
半径为,2R ???? 20 R,则幂级数 ?
?
?
?
0
)(
n
n
nn
xba 的收敛半径至
少为 ( )
(A) 21 RR ? ； (B ) 21 RR ? ； (C) ? ?21,m a x RR ； ( D) ? ?21,m i n RR,
3,
4,
一,求下列幂级数的收敛区间,
?
?
?
?
1
53
n
n
nn
x
n； 2, ?
?
? 1
2
2
n
n
n
x
n
,3, ?
?
?
?
?
?
1
2
1
)2(
)1(
n
n
n
n
x
二、求幂级数 1, ?
?
?
?
1
)1(
n
n
nn
x； 2, ?
?
?
?
?
?
1
2
1
)12(
)1(
n
n
n
x
nn
的和函数,
三、求数项级数 ?
?
? 1
2
!
n
n
n
的和,
四、试将函数
2
)2(
1
x?
展开成
的幂级数x
.
或, 将
65
2
?? xx
x
展开成 ( x - 5) 的幂级数,
五、试将函数
3
x
展开成 ( x -1 ) 的幂级数,
课堂练习,
四,)2,2(,
2)2(
1
1
1
12
???
? ?
?
?
?
?
xx
n
x n
n
n
一,1, )
5
1
,
5
1
[ ? ； 2, )2,2( ? ； 3, [1, 3],
二,1,
?
?
?
?
?
?
??????
?
0,0
)1,0()0,1(),1l n ()1
1
(1
)(
x
xx
xxs,
2, 2 x a r ct a n x - l n (1 + x
2
)
三,e2,
答案,
傅立叶级数
习题课
._ _ _ _ _ _ _ _
1)(
10,
01,2
)(
]1,1(,2)(
3
收敛于
处的富里叶级数在则为
上的定义它在区间的周期函数是周期为设
?
??
?
?
?
??
???
?
?
xxf
xx
x
xf
xf
2/3
x
y
o
例 1
解 ? ??? 155 5co s)10(51 dxxnxa n
? ??? 155 5s i n)10(51 dxxnxb n
? ??? ?? 155155 5co s515co s2 dxxnxdxxn,0?
? ?? 1550 )10(51 dxxa,0?
,10)1( ?nn?? ),2,1( ??n
?
?
?
??
???? 1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故 )155( ?? x
),2,1( ??n
例 2 将函数 ? ?15510)( ???? xxxf 展开成
富氏级数,
另解,10?? xz作变量代换
155 ?? x,55 ???? z
)10()( ?? zfxf ),( zFz ???
,)55()( 的定义补充函数 ????? zzzF
,5)5( ??F令 )10()( ?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在 ?
例 2 将函数 ? ?15510)( ???? xxxf 展开成
富氏级数,
x
)(zFy
5? 50 1510
),2,1,0(,0 ??? na n
? ??? 50 2s i n)(52 dzznzb n
,10)1( ??? nn ),2,1( ??n
,5s in)1(10)(
1
?
?
?
??
?? n
n zn
nzF )55( ??? z
?
?
?
???????
1
)]10(5s in [)1(1010
n
n
xnnx
.5s in)1(10
1
?
?
?
??
?? n
n
xnn )155( ?? x
形．函数，同时画出它的图
写出该级数的和的正弦级数并在
为周期内展开成以在将
?????
????
22
20c os
x
xx
例 3
解
,co s
),(,s i nco s
2),0(co s)(
1
进行奇开拓内对
必须在周期的正弦级数
为内展开成以在要将
x
nxbx
xxf
n
n
????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
??
?
),0,(c o s
,00
),,0(c o s
)(
xx
x
xx
xF令
? ??? 0 s i nco s2 n x d xxb n
? ? ????? 0 ])1s in ()1[ s in (1 dxxnxn
]1)1(11)1(1[1
11
?
???
?
??
??
??
nn
nn
??
?
?
?
?
??
??
? mn
n
n
mno
2,
)1(
4
12,
2
)1( ?n
,0?na
? ??? 01 2s i n1 x d xb,0?
??
?
???????
1
2 )0(.2s in)14(
8c o s
m
xmxm mx
上级数的和函数为在 ????? 22 x
?
?
?
?
?
??????
?????
??????
?
),2,()0,(c o s
2,,00
),2(),0(,c o s
)(
?
?
xx
x
xx
xs
和函数的图形为
x
y
o ? ?2????2
的和．由此求级数为周期的付氏级数，并以
内展开成将函数
?
?
?
?????
1
2
1
2
)11(2)(
n n
xxxf
例 4
解,)11(2)( 是偶函数????? xxxf?
? ??? 100 )2(12 dxxa,5
? ??? 10 1co s)2(12 dxxnxa n ? ?? 10 c o s2 x d xnx
? ??? 10 s i n2 xnxdn ]1)1[(2 22 ???? nn
??
?
?
?
??
?
?
?
? 12,4
2,0
22 knn
kn
),2,1( ??k
,0?nb
??
?
????????
1
22 )12c o s ()12(
4
2
52
k
xkkx故
??
? ?
??
??? 1 22,)12(
)12c o s (4
2
5
k k
xk)11( ??? x
,0?x取 由上式得 ?
?
? ??
??
1
22,)12(
14
2
52
k k
?
?
?
??
?? 1
2
2,8)12(
1
k k
??? ?
?
?
?
?
?
???
1
2
1
2
1
2 )2(
1
)12(
11
kkn kkn
而
,141)12( 1
1
2
1
2 ??
?
?
?
?
???
kk kk
3
4
8
1 2
1
2 ?
??? ??
?n n
.6
2?
?
．
时，０当证明：
624
c o s 22
1
2
?
?
?
??
?
???
?
?
?
xx
n
n
x
n
例 5
解,24)(
2 xx
xf ???设
上展开成余弦级数：［在将 ],0)( ?xf
? ? ???? 0
2
0 )24(
2 dxxxa )
412(
2 33 ???
??,3
3?
?
? ? ????? 0
2
c o s)24(2 dxnxxa n
]s in)22(s in)24[(2 00
2
nx d xxnxxxn ? ?? ???????
nxdxn co s)22(2 02 ? ? ???? 222 ???? n,12n?
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22
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x
n
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n
．
．故
624
c o s 22
1
2
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xx
n
xn
n
的和．数富氏级数，并由此求级
内展开成将函数
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1
21
1
2
1
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n
x
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解
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1
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例 6
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2
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1
xxkkxf
)1(471513112 ?? ??????? ?x
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9
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7
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5
1
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1
3
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2
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6
?? ??????????? ?x
)2(2111927151321 ?????????? ?
)3(69232493333 ???????????? ??x
),(8 4c o s2c o s2183)2 2c o s1(s i n 24 ????????? xxxxx
1,设 )( xf 是周期为 ?2 的函数,它在 ],[ ??? 上的表达式为
?
?
?
???
????
?
],0(,1
]0,(,1
)(
2
xx
x
xf
在 x = ? 处收敛于何值,
2,设 f( x ) =
? x+x
2
,( - ?,? ),则 b
3
为多少？
3,设
)( xf
是周期为 ?2 的函数,它在 ],[ ??? 上的表达式为
?
?
?
??
???
?
),0[,
)0,[,0
)(
xe
x
xf
x
将
)( xf
展开成傅立叶级数,
4,将函数
?
?
?
???
??
?
xh
hx
xf
,0
0,1
)(
分别展开成正弦级数和余弦级数,
5,证明, 如果
)(),()( xfxfxf ????
以
为周期?2
,则
)( xf
的傅立
叶系数
0
0
?a
,
),2,1(0,0
22
???? kba
kk,
课堂练习
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3, nx
n
ee
xf
n
n
c o s
1
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2
1
)(
1
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]s i n
1
)1)1((
2
1
nx
n
en
n
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??
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,
(
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),
4, ),(),0(,s i n
c o s12
)(
1
???
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nh
xf
n
),(),0[,c o s
s i n2
)(
1
???
?
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nhh
xf
n
.
答案,
二、选择题 （每题 3 分）
1, 设函数 f ( x ) 在定义域内可导,y = f( x ) 的图形如下，则导函数
y=f ?(x) 的图形为
一,填空题 （每小题 3 分）
1, 设 )c oss i n{ 21 xCxCey
x
?? 为二阶常系数线性齐次微分方
程的通解，则该微分方程为 _________ _ __ 。
2, 设
222
zyxr ???,则 di v( g r a d r) ?
( 1,- 2,2 )
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
3, 交换二次积分的积分次序,??
?
?
?
y
dxyxfdy
1
2
0
1
),( _ _ __ _ _ __ 。
4,设矩阵 A 满足 A
2
+ A -4 E = 0,其中 E 为单位矩阵，则 ( A -E )
- 1
= _ _ _,
2,设函数 f( x,y ) 在点 (0,0) 附近有定义，且 1)0,0(,3)0,0( ??
yx
ff
则
a) dz ?
( 0,0 )
=3dx +dy ;
b) 曲面 z =f ( x,y ) 在点 (0,0,f (0,0)) 的法向量为 {3, 1, 1} ；
c) 曲线
?
?
?
?
?
0
),(
y
yxfz
在点 (0,0,f (0,0)) 的切向量为 {1, 0, 3} ；
d) 曲线
?
?
?
?
?
0
),(
y
yxfz
在点 (0,0,f (0,0)) 的切向量为 {3, 0, 1} 。
3,设 f(0 )=0,则 f (x) 在点 x=0 可导的充要条件为
a)
c o s h )1(
1
lim
2
0
?
?
f
hh
存在 ; b )
)1(
1
lim
0
h
h
ef
h
?
?
存在 ;
c )
s i n h )1(
1
lim
2
0
?
?
f
hh
存在 ; b)
)]()2([
1
lim
0
hfhf
hh
?
?
存在 ;
三,（ 6 分）
dx
e
e
x
x
? 2
a r c t a n
四,（ 6 分）
设函数 z=f( x,y) 在点 （ 1, 1 ）处可微，且 f ( 1,1)=1,f
x
?
( 1,1 )
=2
f
y
?
( 1,1 )
= 3,? (x)= f( x,f ( x,x ) ),求 1
3
)(
?
?
x
x
dx
d
。
五,（ 8 分）
设 f(x)=
?
?
?
?
?
?
?
?
.0,1
0,a rc t a n
1
2
x
xx
x
x
,试将 f( x) 展开为 x 的幂级数，
并求级数
?
?
?
?
?
1
2
41
)1(
n
n
n
的和。
六,（ 7 分）计算
dzyxdyxzdxzyI
L
)3()2()(
222222
??????
?
其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱面 ?x ?+ ?y ?=1 的交线,从 z 轴的正向看
去,L 为逆时针,
七,（ 7 分）
设函数 y = f( x ) 在 （ - 1, 1 ）内具有二阶连续导数且 f ? ( x ) ? 0,
试证, (1) 对于 ( -1,1 ) 内的任意 x ? 0,存在唯一的 ? ( x ) ? ( 0,1),使
f ( x) = f ( 0 )+ xf ?( ? ( x ) x ) 成立 ; ( 2 )
2/1)(lim
0
??
?
x
x
.
八,（ 8 分）
设有一高度为 h ( t ) ( t 为小时 ) 的雪堆在融化过程中，其恻面满
足方程
)(
)(2
)(
22
th
yx
thz
?
??
，已知体积减少的速度与侧面积成
正比 （比例系数 0, 9 ）,问高度为 1 3 0 厘米的雪堆全部融化需要
多少小时?
