第三章 量子力学中的力学量
经典粒子：可用坐标和动量来描写状态，任何
状态下，力学量都有确定值。
微观粒子：坐标和动量不能同时有确定值，所
以状态用波函数表示，力学量用算符表示。
§ 3.1 表示力学量的算符
一、算符
１、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。
?F u v?, ?F 称 为 算 符 (1)
? ?
,
?
du
x u v x u v v
dx
d
F u v F
dx
F??
??
??
? ? ? ? ?
22
１ ２
１ ２
如, 表 示 与 相 乘 得 函 数 。 又 如,
则, 算 符, 等 等 。
设 波 函 数 经 算 符 作 用 后 变 为, 则 粒 子 状 态
由 态 变 为 态 。
?
?
?
?
? ?
F
F
F
F
H E H
E
??
? ? ?
? ? ?
??
?
?
如 果 一 个 算 符 作 用 于 一 个 函 数, 结 果 等 于 乘
上 一 个 常 数,
（ 2 ）
则 称 为 的 本 征 值, 为 属 于 的 本 征 函 数 。 上 式 (2) 称
为 算 符 的 本 征 值 方 程 。
如 定 态 薛 定 谔 方 程, 是 哈 密 顿 算 符 的 本 征
值 方 程, 为 本 征 值 。
举 例, 无 限 深 势 阱, 一 维 线 形 谐 振 子 。
２、算符的本征值方程
３、算符的例子
<1> 动量算符,
分量式,
动量算符 表示动量这个力学量。
<2> 坐标算符,
<3> 哈密顿算符,
经典的哈密顿函数：,将
代入 中,
?pi? ? ?v h (3)
? ? ?,x y zp i p i p ix y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?h h h,
?rr?vv (4)
2
2? ( ) ( 5 )
2H U r?? ? ? ?
h v
?pv
2
()2pH T V U r?? ? ? ? v ?p p i? ? ? ?
vv h
2 2 2?p ? ? ?v h ?H
2
2? ()
2H U r?? ? ? ?
h v
<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则,
如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相
应的力学量的算符 由经典表示式 中将 换为
算符 而得出,
? ? ?? ?(,) (,) ( 6 )F F r p F r i? ? ? ?v v v h
?F
F
? (,)F r pvv pv
?pv
例如，角动量算符,
L r p??v vv
? ? ?L r p i r? ? ? ? ? ?v v v vh (7)
?
i j k
L i x y z
x y z
??
??
??
?? ??
??
? ? ?
??
? ? ???
vvv
v
h
量子力学中的角动量算符,
二、力学量用厄米算符表示 (Hermit operator)
１、当体系处于定态，即哈密顿算符 的本征态
时，能量有确定值, 即本征值。当体系处于
动量算符的本征态 时，动量有确定值，这个值
即 在 态中的本征值。
２、算符 表示力学量,当体系处于 的本征态
时，力学量有确定值，这个值即 在 态中的
本征值。
因为所有力学量的数值都是实数，而表示力学
量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值，
所以，表示力学量算符的本征值必须为实数。
什么类型的算符，本征值为实数？
?H ?
E E
p?
?pv p?
?F F ?F
? ?F ?
３、厄米算符
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。
定义：若
则 称为厄米算符。式中 代表所有变量，积分范围
为所有变量变化的整个区域。
４、证明厄米算符的本征值是实数。
证,
? ?()F d x F d x? ? ? ??? ??? (8)
?F x
?,
? ?( ),
,
F
F d x F d x
d x d x
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
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?
? ? ?
?
?
?
??
??
??
??
和 为 任 意 函 数,
取, 则
为 实 数
验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。
坐标值 为实数,
()x d x x d x? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
????
＋
－
x
对动量算符的一个分量,有
?
|
? ?( ),
x
xx
p d x i d x
x
i i d x
x
p d x p i
x
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h
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分部积分
经典粒子：可用坐标和动量来描写状态，任何
状态下，力学量都有确定值。
微观粒子：坐标和动量不能同时有确定值，所
以状态用波函数表示，力学量用算符表示。
§ 3.1 表示力学量的算符
一、算符
１、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。
?F u v?, ?F 称 为 算 符 (1)
? ?
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?
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如, 表 示 与 相 乘 得 函 数 。 又 如,
则, 算 符, 等 等 。
设 波 函 数 经 算 符 作 用 后 变 为, 则 粒 子 状 态
由 态 变 为 态 。
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如 果 一 个 算 符 作 用 于 一 个 函 数, 结 果 等 于 乘
上 一 个 常 数,
（ 2 ）
则 称 为 的 本 征 值, 为 属 于 的 本 征 函 数 。 上 式 (2) 称
为 算 符 的 本 征 值 方 程 。
如 定 态 薛 定 谔 方 程, 是 哈 密 顿 算 符 的 本 征
值 方 程, 为 本 征 值 。
举 例, 无 限 深 势 阱, 一 维 线 形 谐 振 子 。
２、算符的本征值方程
３、算符的例子
<1> 动量算符,
分量式,
动量算符 表示动量这个力学量。
<2> 坐标算符,
<3> 哈密顿算符,
经典的哈密顿函数：,将
代入 中,
?pi? ? ?v h (3)
? ? ?,x y zp i p i p ix y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?h h h,
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2
2? ( ) ( 5 )
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<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则,
如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相
应的力学量的算符 由经典表示式 中将 换为
算符 而得出,
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例如，角动量算符,
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量子力学中的角动量算符,
二、力学量用厄米算符表示 (Hermit operator)
１、当体系处于定态，即哈密顿算符 的本征态
时，能量有确定值, 即本征值。当体系处于
动量算符的本征态 时，动量有确定值，这个值
即 在 态中的本征值。
２、算符 表示力学量,当体系处于 的本征态
时，力学量有确定值，这个值即 在 态中的
本征值。
因为所有力学量的数值都是实数，而表示力学
量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值，
所以，表示力学量算符的本征值必须为实数。
什么类型的算符，本征值为实数？
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３、厄米算符
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。
定义：若
则 称为厄米算符。式中 代表所有变量，积分范围
为所有变量变化的整个区域。
４、证明厄米算符的本征值是实数。
证,
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和 为 任 意 函 数,
取, 则
为 实 数
验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。
坐标值 为实数,
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对动量算符的一个分量,有
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