第二章 波函数与薛定谔方程
?2.1波函数的统计解释
?2.2 态迭加原理
?2.3 薛定谔方程
?2.4 定态薛定谔方程
?2.5 一维无限深势阱
?2.6 线性谐振子
?2.7 势垒贯穿（隧道效应）
? 一、波函数
? 1、平面波是描述具有确定能量（ ν）和
动量（ λ）的粒子的波函数,
?
Ae Etrpi )(t),rψ( ??? ????
2、一般 F≠0,在外力场中，势能,
满足薛定谔方程和边界条件称为
波函数
),( tr??
),( trV ?
§ 2.1波函数的统计解释
自由粒子运动。
不变的作用，因而它描写当粒子不受外力 PEtrF
????
,),(
二、波函数的物理意义 — 统计解释
? 1、经典波表示
?
),(),,(),,( trPtrEtxy ??
2、量子力学的波函数 不表示任何具体物
理量 ),( tr
??
3,表示在时刻 t位置 附近单位体积
内发现粒子的几率（ probalitily),及 t时刻在
附近发现粒子的几率密度
2),( tr?? r?
r?
4、波函数表示微观体系的量子态（状态、
态）,不仅可以告诉我们在
位置测量出粒子的几率，还可以描写体系
的各种性质，测量其他物理量的可能值，
及取这些值的几率
),( tr?? ),( tr?
三、波函数的归一化
? 1、以波函数 描写粒子的状态，
t时刻（ x,y,z）位置波函数强度
以 dw(x,y,z,t)表示在（ x x+dx,y y+dy,z
? dz )位置找到粒子的几率
),,,( tzyx?
?????
2),,,(),,,(),,,( tzyxc
d
tzyxdwtzyxw ???
?
T时刻在 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几
率密度
由波函数的统计解释,
?dtzyxctzyxdw 2),,,(),,,( ??
2、波函数的归一化
?
?
d
c
dtzyxc
2
2
1
1),,,(
??
?
???
?
?
c
：成为归一化常数,
2c ???? w则令 ?
a
xx ?2c o s
2
1)( ??例：给定,0( ax ?
将其归一化
解,令以归一化波函数为
? 归一化,
)()(),( xcxx ???? 设
a
a
a
x
a
c
a
cdxc
dx
a
x
cdxx
8
2
2
0
4
2
0
2
22
1
24
1
2
c o s1
4
1
2
c o s
4
1
)(
?
??
?
?
??
?
??
??
??
解得：
?
?
ac
22?
3、任意相因子
描写与为复函数，一般 ??? ?ietzyx ),,,(
称为相因子化，同一状态，不影响归一 ?ie
4，自由粒子波函数不可归一化
例,
???
??
??
??
?d
Aetr
p
Etrp
p
i
2
)(
),(
而
??
?
?
§ 2.2 态迭加原理
波函数的统计解释
态迭加原理
一、量子力学的基本原理之一 态迭加原理
1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种
可能值以一定几率出现，如
x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5
w 10% 20% 40% 20%
波粒二象性
2、测量物理量 x及其几率可以由波函数求出
如 Wxt 找到粒子的几率时刻,)5.3,3(?
? 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现?
d x d y d ztzyxW
25.3
3
),,,(? ? ???
??
??
??
??
源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理,
在空间某点 p处,t时刻的波的振幅有前一时刻
波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波
的干涉，若 为一列波,为一列波，则
也是一个可能的波动状态
1y 2y
21 yyy ??
4、态迭加原理
如果 和 是体系的可能状态，则它们的线性
迭加 也是这个体系的一个可能状态,
而且当粒子处于 和 的线性迭加态时，粒
子是既处于 态，也处于 态
1? 2?
21 ?????
1? 2?
2?1?
5、状态迭加 —— 干涉项
21 202101,?? ii ee ??????? 为复函数，如一般，
? ?? ?
????
????????
????
??????????
????????????
????????????
21212121
2
22
2
11
2222112222111111
22112211
2
2211
2
cccccc
cccccccc
cccccc
6、态迭加原理的一般形式
? ???????????????
n
nnnn cccc 2211
当 为体系的可能状态时，他们的
线性迭加
也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时,
体系部分的处于 态之中
????????? n,,21
?
????????? n,,21
经典力学,已知力 F 及 x0,v0，质点的状态变化由
牛顿运动方程求出
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻
粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必
须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
量子力学,微观粒子的运动状态由波函数来描写，状
态随时间的变化遵循着一定的规律
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基
础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基
本假设来描述微观粒子的运动规律。
§ 2.3 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调
的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其
地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定,
并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确
性，归根结底，只能靠实验来检验
下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是
m
pE
2
2
? (1)
m
? k? ??2?k
?和波矢 （
），由下式给出
是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系
的波的角频率
?
E??
?
?? p
k ?, (2)
或者说，与具有一定能量 E和动量 的粒子相联
系的是平面单色波。
),( tr?? ????? /)()( Etrpitrki ee ???? ??～
(3)
由 (3)式可得
?? E
t
i ?
?
?
?
?? pi ?? ???
?? 222 p?? ???
利用 (1)式，可以得出
?? )2()2(
2
2
2
m
pE
mti ?????
? ??
即,
),(2),( 2
2
trmtrti ???? ?? ?????
(4)
),( tr?? 是一个单色平面波 。 注意：方程 (4)中
而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包
的形式，即为许多单色平面波的叠加。
),( tr?? ＝ pdep
Etrpi ??
?
??? 3/)(
2/3 )()2(
1 ??? ?
?
(5)
式中,
m
pE
2
2
?,不难证明
pdEepti Etrpi ???? ??? 3/)(2/3 )()2( 1 ?????? ???
pdepp Etrpi ????? ??? 3/)(22/322 )()2( 1 ?????? ???
∴
pdempEpmti Etrpi ????? ??? 3/)(22/32
2
)2/()()2( 1)2( ???????? ? ???
＝ 0
可见，如果 ),( tr?? 是波包，仍满足方程 (4)，所以
方程 (4)是自由粒子波函数满足的方程。
值得注意的是：如果在经典的能量动量关系 (1)中，作如
下替换,
tiE ?
?? ? ???? ??? ipp ?, (6)
然后作用于波函数上，就可得到方程 (4),
其次，我们进一步考虑在势场 )(rU ? 中运动的粒子，按照
经典粒子的能量关系式
)(2
2
rUmpE ???
(7)
对于上式作替换 (6)，然后作用于波函数上，即得,
),()](
2
[),( 2
2
trrU
m
tr
t
i ????? ?? ????
?
? (8)
这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动
的基本规律，是 量子力学的基本假设之一。
二, 薛定谔方程的讨论
1、要求
⑴,对粒子的所有状态成立，波动方程系数不能含有状
态参量，如 x,p,L ……
也是其解各为其解，则，性的，当
而言是线即方程对于其解、必须满足迭加原理，
2121 ba
)2(
???????
?
2、定域的几率守恒
0?m
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对
论（低能）情况下，实物粒子（ ）没有产生和湮
湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保
持不变（即粒子数守恒）。
对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应
不随时间改变，即
0),( 3
2
??
?
??
rdtrdtd ??? (9)
下面我们就利用薛定谔方程来证明这个结论。
对 (8)式取复共轭，（注意到 UU ?* ）得
*2
2
* )
2( ?? Umti ?????
?? ?? (10)
式，得式由 )10(-)8(* ????
)(2)( *22*
2
* ?????? ?????
?
??
mti
??
)(
2
**
2
???? ???????
m
? (11)
积分可化为面积分
定理，等式右边中将上式积分，按高斯在空间闭区域 ?
ds
m
d
t
i
s
?? ???????? )(2 **
2
* ???????
?
?? (12)
的表面，如下图是其中 ?s?
令,
),(),(),( * trtrtr ??? ??? ? (13)
)(2),( ** ???? ????? mitrj ???
)??(2 1 ** ???? ppm ?? (14
可写为
式，的物理意义见下，于是表示几率密度,)12(j
?
?
? ? ???
?
??
s
sdjd
dt
d ?? (15)
上式左边代表：在闭区域 ? 中找到粒子的总几率（或粒
子数）在单位时间内的增量。
而右边（注意负号）表示：单位时间内通过 ? 的封闭表
量密度的意义，是一个矢粒子数具有几率流所以：
。粒子数内的几率而流入面
)(j
)(S
?
?
公式 (12)或 (15)是几率（粒子数）守恒的积分表示式。而
由 (11)式可得其微分表达式,
0?????? jt ???
(16)
这种形式与流体力学中的连续性方程相同。
应该强调：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在
空间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增
加了（使总几率不变），并且伴随着有什么东西在流动
来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。
3,波函数必须是薛定谔方程的解，但并非所有解都有
物理意义
，连续的。必须是单值得，有限的
由于几率密度
)t,r(
2
???
???
§ 2.4 定态薛定谔方程
一、不含时间的薛定谔方程
易的。
是不容去求解末态一般情况下，从初态 )0,()0,( rr ?? ??
以下讨论一个极为重要的特殊情况,
假设势能 U不显含时间 t（经典力学中，在这种势场中的
粒子的机械能是守恒量）
此时，薛定谔方程 (8)可以用分离变量法求其解,
令特解为
)()(),( tfrtr ?? ?? ?
(17)
代入薛定谔方程中，可得,
ErrUmrdtdftf i ????? )()](2[)(1)( 2
2 ???
?? ?? (18)
上式右边 E是即不依赖与 t，也不依赖与 r? 的常数，于是
?
iEtf
dt
d ??)(ln (19)
∴ ?/~)( i E tetf ? (20)
可表为：因此，特解 )t,r( ??
??? /)(),( i E tE ertr ?? ?? (21)
满足下列方程：其中 )r(E ??
)()()](2[ 2
2
rErrUm EE ???? ?? ???? (22)
形式如 (21)式的波函数所描述的态，称为定态。方程 (22)
称为不含时间的薛定谔方程或定态薛定谔方程。
)(rE ?? 为能量本征函数。
薛定谔方程更普遍的表达式为
(23)
?? H
t
i ??
?
??
其中 H? 是体系的哈密顿算符 。
当不显含 t时，薛定谔方程为
?? EH ?? (24)
(1).粒子的几率密度 ? 及几率流 j?,显然不随时间改变。
(2).任何力学量（不显含 t）的平均值，不随时间变化。
(3).任何力学量（不显含 t）取各种可能测量值（本征值）
的几率分别也不随时间改变。
二、定态薛定谔方程
???? /)r()()r()t,r(E i E tetf ??? ???确定当能量
变化不随几率流密度 tj,)r()t,r( 22 ??? ?? ?
1、定态的特征,
§ 2.5 一维无限深势阱
设势能
一、一维定态问题中粒子感受沿一个方向 (x)变化的势场
U(x),它也是由三维问题分离变量出来的问题。
?
0?)( xU
ax
ax
?
?
a? 0 a
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
y
由于势能 U(x)不显含时间 t，于是可得系统的定态薛定
谔方程,
)()()](
2
[ 2
22
xExxU
dx
d ??
?
??? ? (1)
对本问题有,
)()()(
2
)()(
2
,,0,
2
2
xExux
xEx
ⅢⅠⅢⅠⅢⅠ
ⅡⅡ
???
?
??
?
????
?
???
?
?
?
ax ?
??? 0,uax
(2)
(3)
根据波函数应满足连续性和有限性的条件
0)()( ?? xx ⅢⅠ既有 ??0)( ?? ax?
(4)
0)()( ???? aa ⅡⅡ ?? ——— 的边界条件Ⅱ?
：当 ax ? 0)(E2)(
2 ???? xx ⅡⅡ ?
??
?
2
2 E2
?
?? ?令
xBxAx ??? c o ss i n)( ??Ⅱ可得通解：
(6)
0)()()6( 2 ???? xx ⅡⅡ式可写为,???(7)
(5)
(8)
得带入边界条件将式 )5()8(
0c o ss in)( ??? aBaAa ??? Ⅱ
0c o ss i n)( ????? aBaAa ??? Ⅱ
(9)
(10)
由上两式得
0c o s
0s in
?
?
aB
aA
?
? 注意,A,B不能同时为零
定义：代入 ?
?? n?
?
E2
a
nE
n ?
?
8
222 ?
? (11) —— 量子化的能量公式
2
?? na ?即,???? 2,1n
子化的。取分立值，即能量是量量可能值。
能维无限深势阱中粒子的即为能量本征值，是一
n
n
E
E
(a)解
可得波函数有两组解：
??
0
2
s in x
a
n
A
?
ax
ax
?
?
)( 为偶数n (12)
(b)解 ??
0
2
c os x
a
n
B
?
ax
ax
?
?
)( 为奇数n (13)
)()()12( xx ?? ???具有奇宇称，即式
)()()13( xx ?? ??具有偶宇称，即式
二式，得合并 )13)(12(
?n?
0
)(
2
s in ax
a
n
A ??
?
ax
ax
?
? (14)
可由归一化条件定出系数 A ?
a
A 1??
函数是：
深势阱中粒子的定态波由上可以得出一维无限
tE niextx ???? )(),( ?
?
0
8
e x p)(
2
s i n
1 222
??
?
?
??
?
?
?? t
a
ni
ax
a
n
a ?
?? ?
?
ax
ax
?
? (15)
二、束缚态
为实函数且束缚态中波函数可以
能级一般是分立的，而称为束缚态。束缚态的
的粒子状态通常把
之内子被束缚在在一维无限深势阱中粒
0)(0,)(
,
??????
?
rx
ax
?
??
三、一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
1?n
2?n
3?n
4?n
0 a
1?
2?
3?
4?
a?
2||?
0 aa? 0?
pE
1E
14E
19E
116E
对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现
的几率是不同的。
1?n
2?n
3?n
4?n
2||?
0 aa?
经典理论中，处于无限
深方势阱中粒子的能量为连
续值，粒子在阱内运动不受
限制，各处概率相等。
随着能级的升高，几率
密度的峰值增多，当
时，粒子在势阱内各处出现
的概率相等，量子力学的结
果过滤到经典力学的情况。
??n
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子
只能在势阱 U=0的区域能运动。
四、讨论,
a
nEa
n ?
?
8
).(
222 ?
?由能量本征值
a
E
?
?
8
22
1
??基态：
a
n
En
a
E
n
?
?
?
?
2
1
2
222
22
2
?
?
??
?
激发态：第
第一激发态,1?n
2?n
最小能量是由测不准关系规定的另外，即
零，所以粒子的能量不能为因为静止的波无意义，
10 En ?
)1(
).(
??
??
knkk
axb
个节点激发态有态，第
点，其他以外，基态波函数无节除端点
也连续处有限时，
在边界当处不连续。因为
在连续，而处波函数在边界
)(
)(,)(
)()().(
a
xuxuax
aaaxc
?
??
?
?????
??
补充：解题技巧
不适用界条件。但对边界处
边可在边界处应用连续性而不求定态波函数时，
，，如束缚态能级能级当问题只须求定态能量
0
)(
??
nn EE
? ? ? ?
?? ??
???
axax
?? lnlnax?
§ 2.6 线性谐振子
221)( kxxU ?
r
)(rU
0 a
线性谐振子是许多实际问题的一级近似，简谐振动是许
多复杂运动的成分，可以分解为一系列简谐振动的合成
一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程
)()(
2
1)(
2
2
2
22
xExkxx
dx
d ???
?
??? ?
1、其薛定谔方程为,
(1)
整理得,
0)()2()( 22 ????? xkEx ???? ??
(2)
??
k?令 (2)式变为,
(3) 0)()2()(
2
22
2 ????? x
Ex ?????
??
作变量代换，使自变量无量纲化
，则有：，令 ?? ??????? ???,2 xE
0)()
2
1()(
2
22
2
????? xxEx ???
?
?
2/
1
??两边同乘
(5)
(4)
0)()2()( 2 ????? xxEx ??????? ???
0)()()( 22
2
??? ??????
?d
d (6)
(6)为一复系数常微分方程
2、方程 (6)的渐进解
变为：，此时由于
使的行为，，即为解方程，先考察他在
)6(2
2
??
??
??
?????
0)()( 22
2
?? ?????
?d
d
(9)
(8)
(7)
渐进解
2/2~)( ??? ?e
可设一般解
2/2)()( ???? ?? eH
号所以余去
应有限，时，当根据波函数标准条件，
?
??? ??
2/2~)( ??? ?e
])([ 为待求函数?H
将 (9)代入 (6)得
? ? ))(([)( 2/2/ 22 ?? ?????? ?? ?????? eHeHd d
? ? ? ? ? ? 2/2/2/ 222 ??? ????? ??? ??????? eHeHeH
2/22/ 22 )()( ?? ??? ?? ?? eHeH
? ? ? ? ? ? 2/2 2])1(2[ ?????? ????????? eHHH
相减得将上式与 0)()()( 2 ????? ??????
? ? ? ? ? ? 0)1(2 2 ???????? ????? HHH —— 厄密方程 (9)
3、解厄密方程
关系中，求各级系数之间的级数，再代入
展开为上将域为方程的常点，在其邻
)9(
0 H??? ??
? ? 则令,
0
n
n
naH ?? ?
?
?
?
? ? n
n
n
n
n
n nnannaH ??? )1)(2()1(
0
2
2
2
??????? ??
?
?
?
?
?
?
? ? n
n
nnaH ??? ?
?
?
????
0
22
:n对任一
0])1(2)1)(2([
0
2 ???????
?
?
?
n
nn
n
n ananna ??
(11)
(10)
(12)
nn ann
na
)1)(2(
12
2 ??
????
?
?—— 递推关系 (13)
nn anaan
aH
的已知，可得奇数，当的数
已知，由之可得所有偶的级数解，当式为
1
0)()12( ?
之比：
很大，高次项系数，当如果级数含有无限多项 ?
nnn
n
a
a
n
n
n 2
)1)(2(
122 ?? ??
??
???
??
? ?
的级数解比较：与 2?e
(14)
nb
b
e
nnn
n
n
n
n
n
n
n
2
1
1
)!1(
)!(
)!1()!(!2!1
1
22
22
2
2
2
42
2
?? ??
?
?
?
?
???
?
?????????
??
?
?
?????
不符合波函数标准条件
，相同，即时的行为与级数解在 ??? ????? ???? ??? )(
2
e
向无穷
不再趋相乘后在某一处中断，使之与
件限制使应有限，必须用物理条、实际问题中
)()(
)(4
2/2 ???
??
??eH
012)13(
0,0 2
???
?? ?
?n
aan nn
式看就是要求：由
。而处即在
代入得：将 ?? ? E2? 0212 ???
??
En
??)( 21?? nE n —— 线性谐振子能级公式 (15)
? ? )(2/2 ??? ? nnn HeN ?? —— 厄密函数 (16)
有递推关系导出,)(5 ?H
1)(0 ??H
?? 2)(1 ?H
24)( 22 ?? ??H
1,0 0 ?? ?n
3,1 1 ?? ?n
5,2 2 ?? ?n
为归一化常数nN
nn nH 2)( 阶多项式，最高项系数为?
的宇称：)(?nH
为偶数时为偶宇称当
为奇数时为奇宇称当
n
n
的导数：)(?nH
!2)(
)(2)(
1
nH
d
d
nHH
d
d
n
nn
n
nn
?
?
?
?
?
??
?
(17)
的几个关系式,)(6 ?H
??? 128)( 33 ??H ???????? 7,3 3?n
0)(2)(2)( 11 ??? ?? ???? nnn nHHH (19)
(20) )()1()( 22 ??
?
? ??? e
d
deH
n
n
n
n
0)(2)(2)(2
2
??? ??
?
??
? nnn
nHH
d
dH
d
d (18)
? ?归一化、对 xn?7
? ? ? ?
?
???? ? dHeNdxxx
nn ??
??
??
???
??
? ? )(22 2
?
?
?
?
? de
d
dHN
n
n
n
n
n )()(
)1( 22 ???
???
??
1
!2
!2
)(
)1(
)()()([
)1(
2
2
)(
2
1
1
2
2
2
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
N
de
n
N
deHN
de
d
d
H
d
d
HN
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
?
?
!2 n
N
nn
? (21)
? ?的正交归一化,xn?8
? ? ? ? ??? ??
??
?
mnnm dxxx ???
nm
nm
?
?
,0
,1
二、物理意义
? ?xn?、定态波函数1
? ? )(2/2 ??? ? nnn HeN ?? )( x?? ?
? ? 称为厄密多项式。称为厄密函数，而 )( ??? Hn
? ? ? ?
值处迅速衰减。个根，在大
有次，轴相交在有限范围内与
?
?????
n
n nn 0?
2、几率密度
? ? ? ?
，微观趋向宏观很大时，量子趋向经典在量子数
。除外点
个零个极大几率点，有，
n
nn
nn
)(
1
2
??
?????
3、能级
??)( 21?? nE n
讨论,
???? nE能量等间距：)1(
为基态，称零点能??210,0)2( ?? EE n
也不停止振动。
，固体中原子使在所要求的最小能量，即
，这是测不准关系谐振子的零点振动能
KT 0
)3(
2
1
?
??
4、基态波函数
? ? )(00 2221 xHex x ?
?
?? ???
.1,1
,)(
,/
2
1
11
0
1
0
1
为经典禁区区域运动。，
在经典：基态谐振子只能此处
在，谐振子特征长度
????
?
???
??
?
?
?
????
????
?
xx
ExV
xE
x
??
§ 2.7 势垒贯穿（隧道效应）
一、方势垒的穿透
粒子从无限远处来，受势垒散射后又到无限远处去,
粒子能量事先知道。波函数在不远处不为零，体系能量
可取任意值，构成连续谱（散射态，不是束缚态）。
?)( xU
axx
axU
??
??
,0,0
0,0 (1) （方势垒）
E
0 a x
y
0U
1、方势垒
.
)0(
率过势垒在右边出现的几
向右运动。求越的粒子由势垒左方设能量为 ?xE
右边。，粒子才能运动到势垒经典力学：只有当 0UE ?
。，反射回来的几率不为不为
出现的几率，粒子越过势垒在右方量子力学：
01
0UE ?
02 UE ?、
，薛定谔方程为：在势垒外 ),0( axx ??
(2) 02
22
2
?? ???
?
E
dx
d
i k xi k x BeAexEk ???? )()2(,2
2
2 ?? 式得解：则设
?
)0( ?x
即：反射波。取例。而势垒右边，则无
粒子数的比则为反射粒子数占入射。，取
面方便，反射波都有，为了后波。在势垒左边，入射
方向（左）的为向方向（右）的波，为向
,0,
RB1A
2
??
??
??
?
BSA
R
xexe
i k xi k x
,
0,Re
i k x
i k xi k x
Se
xe ?? ?
?)(x?
ax ?
(3)
这是入射粒子流密度为,
)??(
2
1 ?? ?? ????
?
ppJ
入射波,
?
???
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
2
2
)]([
2
)(
2
h
i k xi k xi k xi k x
i
k
ikik
i
e
dx
d
ee
dx
d
e
i
J
??
?
?
?
2
t
2
R
S?
?
J
RJ
透射波几率流密度：
反射波几率流密度：
T
J
J
rR
J
J
i
t
i
R
??
??
2
2
S透射几率：
反射几率：
)(透射系数
)(反射系数
(4)
(5)
(6)
，薛定谔方程为：在势垒中 )0( ax ??
(7) ???
?
EU
dx
d ???
02
22
2
?
变换为,
0)(2 202
2
??? ???
?
EU
dx
d (8)
写为：则令 ???,)(2 202 ? EU ??
kxkx BeAex ???)(?
(9)
都连续得：和处由在 ?? ?? 0x
BAR
ik
BAR
???
???
)1(
1
?
:得上两式相加、相减分别
(11)
(10)
)]1()1[(
2
1
)]1()1[(
2
1
??
??
ik
R
ik
B
ik
R
ik
A
????
????
都连续得：和处由在 ?? ?? ax
(12)
eee
eee
i k aaa
i k aaa
S
ik
BA
SBA
?
??
??
??
??
?
?
:得上两式相加、相减分别
(13)
e
e
ai k a
ai k a
ikS
B
ikS
A
?
?
?
?
?
?
??
??
)1(
2
)1(
2
:,)13()11( 得式消去式与再利用 BA
(14)
e
e
ai k a
ai k a
ik
S
ik
R
ik
ik
S
ik
R
ik
?
?
???
???
?
?
?????
?????
)1()1()1(
)1()1()1(
:)14( 得式消去利用 R
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ik
ik
S
S
e
e
ai k a
ai k a
(15)
:)15( 式解出由
ach
k
iashk
ik
Se i k a
?
?
??
?
2])/(1[
/2
2 ??
?
?
:T 为可以得出透射系数
achkashk
kSeST i k a
????
?
2222222
222
2
4)(
4
??
???
(16)
ash
U
E
U
E
kashk
k
?
???
?
2
00
222222
22
)1(1
1
4)(
4
??
?
??
?
(17)
:,)14( 即有反射系数即可得出式消去利用 RS
222222
222
2
4)(
)(
???
??
kashk
ashkR
??
??
1S,22 ??R显然
(18)
(19) 0?T透射系数
.)19(,1S
R
2
2
式意义为几率守恒之和为达右方的几率
与穿透势垒到方的几率即粒子被势垒反射回左
子波动性的表现。
这也是微观粒称为隧道效应垒高度时也能透过势垒
即粒子入射能量小于势在透射系数
,,
,0 0
2
UEST ???
0V
V
ao x
隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典
力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量
是虚数。 由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不
确定关系”，粒子的坐标 x和动量 P不可能同时具有
确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数
的动能当然也不能同时具有确定的值 。因此，对微观
粒子而言，“总能量等于势能和动能之和”这一概念
不再具有明确的意义。
时的情况、再来看 03 UE ?
kiUEEU ??????? 2 020 )(21)(2
??
???这时 (20)
akiakishash ???? s i n)(?又由于
所以：
222222
22
4s i n)(
4
kkakkk
kkT
?????
?
? (21)
被反射回去。
粒子仍有一定几率可见虽然,,01 02 UETR ????
?2.1波函数的统计解释
?2.2 态迭加原理
?2.3 薛定谔方程
?2.4 定态薛定谔方程
?2.5 一维无限深势阱
?2.6 线性谐振子
?2.7 势垒贯穿（隧道效应）
? 一、波函数
? 1、平面波是描述具有确定能量（ ν）和
动量（ λ）的粒子的波函数,
?
Ae Etrpi )(t),rψ( ??? ????
2、一般 F≠0,在外力场中，势能,
满足薛定谔方程和边界条件称为
波函数
),( tr??
),( trV ?
§ 2.1波函数的统计解释
自由粒子运动。
不变的作用，因而它描写当粒子不受外力 PEtrF
????
,),(
二、波函数的物理意义 — 统计解释
? 1、经典波表示
?
),(),,(),,( trPtrEtxy ??
2、量子力学的波函数 不表示任何具体物
理量 ),( tr
??
3,表示在时刻 t位置 附近单位体积
内发现粒子的几率（ probalitily),及 t时刻在
附近发现粒子的几率密度
2),( tr?? r?
r?
4、波函数表示微观体系的量子态（状态、
态）,不仅可以告诉我们在
位置测量出粒子的几率，还可以描写体系
的各种性质，测量其他物理量的可能值，
及取这些值的几率
),( tr?? ),( tr?
三、波函数的归一化
? 1、以波函数 描写粒子的状态，
t时刻（ x,y,z）位置波函数强度
以 dw(x,y,z,t)表示在（ x x+dx,y y+dy,z
? dz )位置找到粒子的几率
),,,( tzyx?
?????
2),,,(),,,(),,,( tzyxc
d
tzyxdwtzyxw ???
?
T时刻在 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几
率密度
由波函数的统计解释,
?dtzyxctzyxdw 2),,,(),,,( ??
2、波函数的归一化
?
?
d
c
dtzyxc
2
2
1
1),,,(
??
?
???
?
?
c
：成为归一化常数,
2c ???? w则令 ?
a
xx ?2c o s
2
1)( ??例：给定,0( ax ?
将其归一化
解,令以归一化波函数为
? 归一化,
)()(),( xcxx ???? 设
a
a
a
x
a
c
a
cdxc
dx
a
x
cdxx
8
2
2
0
4
2
0
2
22
1
24
1
2
c o s1
4
1
2
c o s
4
1
)(
?
??
?
?
??
?
??
??
??
解得：
?
?
ac
22?
3、任意相因子
描写与为复函数，一般 ??? ?ietzyx ),,,(
称为相因子化，同一状态，不影响归一 ?ie
4，自由粒子波函数不可归一化
例,
???
??
??
??
?d
Aetr
p
Etrp
p
i
2
)(
),(
而
??
?
?
§ 2.2 态迭加原理
波函数的统计解释
态迭加原理
一、量子力学的基本原理之一 态迭加原理
1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种
可能值以一定几率出现，如
x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5
w 10% 20% 40% 20%
波粒二象性
2、测量物理量 x及其几率可以由波函数求出
如 Wxt 找到粒子的几率时刻,)5.3,3(?
? 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现?
d x d y d ztzyxW
25.3
3
),,,(? ? ???
??
??
??
??
源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理,
在空间某点 p处,t时刻的波的振幅有前一时刻
波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波
的干涉，若 为一列波,为一列波，则
也是一个可能的波动状态
1y 2y
21 yyy ??
4、态迭加原理
如果 和 是体系的可能状态，则它们的线性
迭加 也是这个体系的一个可能状态,
而且当粒子处于 和 的线性迭加态时，粒
子是既处于 态，也处于 态
1? 2?
21 ?????
1? 2?
2?1?
5、状态迭加 —— 干涉项
21 202101,?? ii ee ??????? 为复函数，如一般，
? ?? ?
????
????????
????
??????????
????????????
????????????
21212121
2
22
2
11
2222112222111111
22112211
2
2211
2
cccccc
cccccccc
cccccc
6、态迭加原理的一般形式
? ???????????????
n
nnnn cccc 2211
当 为体系的可能状态时，他们的
线性迭加
也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时,
体系部分的处于 态之中
????????? n,,21
?
????????? n,,21
经典力学,已知力 F 及 x0,v0，质点的状态变化由
牛顿运动方程求出
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻
粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必
须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
量子力学,微观粒子的运动状态由波函数来描写，状
态随时间的变化遵循着一定的规律
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基
础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基
本假设来描述微观粒子的运动规律。
§ 2.3 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调
的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其
地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定,
并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确
性，归根结底，只能靠实验来检验
下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是
m
pE
2
2
? (1)
m
? k? ??2?k
?和波矢 （
），由下式给出
是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系
的波的角频率
?
E??
?
?? p
k ?, (2)
或者说，与具有一定能量 E和动量 的粒子相联
系的是平面单色波。
),( tr?? ????? /)()( Etrpitrki ee ???? ??～
(3)
由 (3)式可得
?? E
t
i ?
?
?
?
?? pi ?? ???
?? 222 p?? ???
利用 (1)式，可以得出
?? )2()2(
2
2
2
m
pE
mti ?????
? ??
即,
),(2),( 2
2
trmtrti ???? ?? ?????
(4)
),( tr?? 是一个单色平面波 。 注意：方程 (4)中
而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包
的形式，即为许多单色平面波的叠加。
),( tr?? ＝ pdep
Etrpi ??
?
??? 3/)(
2/3 )()2(
1 ??? ?
?
(5)
式中,
m
pE
2
2
?,不难证明
pdEepti Etrpi ???? ??? 3/)(2/3 )()2( 1 ?????? ???
pdepp Etrpi ????? ??? 3/)(22/322 )()2( 1 ?????? ???
∴
pdempEpmti Etrpi ????? ??? 3/)(22/32
2
)2/()()2( 1)2( ???????? ? ???
＝ 0
可见，如果 ),( tr?? 是波包，仍满足方程 (4)，所以
方程 (4)是自由粒子波函数满足的方程。
值得注意的是：如果在经典的能量动量关系 (1)中，作如
下替换,
tiE ?
?? ? ???? ??? ipp ?, (6)
然后作用于波函数上，就可得到方程 (4),
其次，我们进一步考虑在势场 )(rU ? 中运动的粒子，按照
经典粒子的能量关系式
)(2
2
rUmpE ???
(7)
对于上式作替换 (6)，然后作用于波函数上，即得,
),()](
2
[),( 2
2
trrU
m
tr
t
i ????? ?? ????
?
? (8)
这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动
的基本规律，是 量子力学的基本假设之一。
二, 薛定谔方程的讨论
1、要求
⑴,对粒子的所有状态成立，波动方程系数不能含有状
态参量，如 x,p,L ……
也是其解各为其解，则，性的，当
而言是线即方程对于其解、必须满足迭加原理，
2121 ba
)2(
???????
?
2、定域的几率守恒
0?m
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对
论（低能）情况下，实物粒子（ ）没有产生和湮
湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保
持不变（即粒子数守恒）。
对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应
不随时间改变，即
0),( 3
2
??
?
??
rdtrdtd ??? (9)
下面我们就利用薛定谔方程来证明这个结论。
对 (8)式取复共轭，（注意到 UU ?* ）得
*2
2
* )
2( ?? Umti ?????
?? ?? (10)
式，得式由 )10(-)8(* ????
)(2)( *22*
2
* ?????? ?????
?
??
mti
??
)(
2
**
2
???? ???????
m
? (11)
积分可化为面积分
定理，等式右边中将上式积分，按高斯在空间闭区域 ?
ds
m
d
t
i
s
?? ???????? )(2 **
2
* ???????
?
?? (12)
的表面，如下图是其中 ?s?
令,
),(),(),( * trtrtr ??? ??? ? (13)
)(2),( ** ???? ????? mitrj ???
)??(2 1 ** ???? ppm ?? (14
可写为
式，的物理意义见下，于是表示几率密度,)12(j
?
?
? ? ???
?
??
s
sdjd
dt
d ?? (15)
上式左边代表：在闭区域 ? 中找到粒子的总几率（或粒
子数）在单位时间内的增量。
而右边（注意负号）表示：单位时间内通过 ? 的封闭表
量密度的意义，是一个矢粒子数具有几率流所以：
。粒子数内的几率而流入面
)(j
)(S
?
?
公式 (12)或 (15)是几率（粒子数）守恒的积分表示式。而
由 (11)式可得其微分表达式,
0?????? jt ???
(16)
这种形式与流体力学中的连续性方程相同。
应该强调：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在
空间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增
加了（使总几率不变），并且伴随着有什么东西在流动
来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。
3,波函数必须是薛定谔方程的解，但并非所有解都有
物理意义
，连续的。必须是单值得，有限的
由于几率密度
)t,r(
2
???
???
§ 2.4 定态薛定谔方程
一、不含时间的薛定谔方程
易的。
是不容去求解末态一般情况下，从初态 )0,()0,( rr ?? ??
以下讨论一个极为重要的特殊情况,
假设势能 U不显含时间 t（经典力学中，在这种势场中的
粒子的机械能是守恒量）
此时，薛定谔方程 (8)可以用分离变量法求其解,
令特解为
)()(),( tfrtr ?? ?? ?
(17)
代入薛定谔方程中，可得,
ErrUmrdtdftf i ????? )()](2[)(1)( 2
2 ???
?? ?? (18)
上式右边 E是即不依赖与 t，也不依赖与 r? 的常数，于是
?
iEtf
dt
d ??)(ln (19)
∴ ?/~)( i E tetf ? (20)
可表为：因此，特解 )t,r( ??
??? /)(),( i E tE ertr ?? ?? (21)
满足下列方程：其中 )r(E ??
)()()](2[ 2
2
rErrUm EE ???? ?? ???? (22)
形式如 (21)式的波函数所描述的态，称为定态。方程 (22)
称为不含时间的薛定谔方程或定态薛定谔方程。
)(rE ?? 为能量本征函数。
薛定谔方程更普遍的表达式为
(23)
?? H
t
i ??
?
??
其中 H? 是体系的哈密顿算符 。
当不显含 t时，薛定谔方程为
?? EH ?? (24)
(1).粒子的几率密度 ? 及几率流 j?,显然不随时间改变。
(2).任何力学量（不显含 t）的平均值，不随时间变化。
(3).任何力学量（不显含 t）取各种可能测量值（本征值）
的几率分别也不随时间改变。
二、定态薛定谔方程
???? /)r()()r()t,r(E i E tetf ??? ???确定当能量
变化不随几率流密度 tj,)r()t,r( 22 ??? ?? ?
1、定态的特征,
§ 2.5 一维无限深势阱
设势能
一、一维定态问题中粒子感受沿一个方向 (x)变化的势场
U(x),它也是由三维问题分离变量出来的问题。
?
0?)( xU
ax
ax
?
?
a? 0 a
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
y
由于势能 U(x)不显含时间 t，于是可得系统的定态薛定
谔方程,
)()()](
2
[ 2
22
xExxU
dx
d ??
?
??? ? (1)
对本问题有,
)()()(
2
)()(
2
,,0,
2
2
xExux
xEx
ⅢⅠⅢⅠⅢⅠ
ⅡⅡ
???
?
??
?
????
?
???
?
?
?
ax ?
??? 0,uax
(2)
(3)
根据波函数应满足连续性和有限性的条件
0)()( ?? xx ⅢⅠ既有 ??0)( ?? ax?
(4)
0)()( ???? aa ⅡⅡ ?? ——— 的边界条件Ⅱ?
：当 ax ? 0)(E2)(
2 ???? xx ⅡⅡ ?
??
?
2
2 E2
?
?? ?令
xBxAx ??? c o ss i n)( ??Ⅱ可得通解：
(6)
0)()()6( 2 ???? xx ⅡⅡ式可写为,???(7)
(5)
(8)
得带入边界条件将式 )5()8(
0c o ss in)( ??? aBaAa ??? Ⅱ
0c o ss i n)( ????? aBaAa ??? Ⅱ
(9)
(10)
由上两式得
0c o s
0s in
?
?
aB
aA
?
? 注意,A,B不能同时为零
定义：代入 ?
?? n?
?
E2
a
nE
n ?
?
8
222 ?
? (11) —— 量子化的能量公式
2
?? na ?即,???? 2,1n
子化的。取分立值，即能量是量量可能值。
能维无限深势阱中粒子的即为能量本征值，是一
n
n
E
E
(a)解
可得波函数有两组解：
??
0
2
s in x
a
n
A
?
ax
ax
?
?
)( 为偶数n (12)
(b)解 ??
0
2
c os x
a
n
B
?
ax
ax
?
?
)( 为奇数n (13)
)()()12( xx ?? ???具有奇宇称，即式
)()()13( xx ?? ??具有偶宇称，即式
二式，得合并 )13)(12(
?n?
0
)(
2
s in ax
a
n
A ??
?
ax
ax
?
? (14)
可由归一化条件定出系数 A ?
a
A 1??
函数是：
深势阱中粒子的定态波由上可以得出一维无限
tE niextx ???? )(),( ?
?
0
8
e x p)(
2
s i n
1 222
??
?
?
??
?
?
?? t
a
ni
ax
a
n
a ?
?? ?
?
ax
ax
?
? (15)
二、束缚态
为实函数且束缚态中波函数可以
能级一般是分立的，而称为束缚态。束缚态的
的粒子状态通常把
之内子被束缚在在一维无限深势阱中粒
0)(0,)(
,
??????
?
rx
ax
?
??
三、一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
1?n
2?n
3?n
4?n
0 a
1?
2?
3?
4?
a?
2||?
0 aa? 0?
pE
1E
14E
19E
116E
对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现
的几率是不同的。
1?n
2?n
3?n
4?n
2||?
0 aa?
经典理论中，处于无限
深方势阱中粒子的能量为连
续值，粒子在阱内运动不受
限制，各处概率相等。
随着能级的升高，几率
密度的峰值增多，当
时，粒子在势阱内各处出现
的概率相等，量子力学的结
果过滤到经典力学的情况。
??n
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子
只能在势阱 U=0的区域能运动。
四、讨论,
a
nEa
n ?
?
8
).(
222 ?
?由能量本征值
a
E
?
?
8
22
1
??基态：
a
n
En
a
E
n
?
?
?
?
2
1
2
222
22
2
?
?
??
?
激发态：第
第一激发态,1?n
2?n
最小能量是由测不准关系规定的另外，即
零，所以粒子的能量不能为因为静止的波无意义，
10 En ?
)1(
).(
??
??
knkk
axb
个节点激发态有态，第
点，其他以外，基态波函数无节除端点
也连续处有限时，
在边界当处不连续。因为
在连续，而处波函数在边界
)(
)(,)(
)()().(
a
xuxuax
aaaxc
?
??
?
?????
??
补充：解题技巧
不适用界条件。但对边界处
边可在边界处应用连续性而不求定态波函数时，
，，如束缚态能级能级当问题只须求定态能量
0
)(
??
nn EE
? ? ? ?
?? ??
???
axax
?? lnlnax?
§ 2.6 线性谐振子
221)( kxxU ?
r
)(rU
0 a
线性谐振子是许多实际问题的一级近似，简谐振动是许
多复杂运动的成分，可以分解为一系列简谐振动的合成
一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程
)()(
2
1)(
2
2
2
22
xExkxx
dx
d ???
?
??? ?
1、其薛定谔方程为,
(1)
整理得,
0)()2()( 22 ????? xkEx ???? ??
(2)
??
k?令 (2)式变为,
(3) 0)()2()(
2
22
2 ????? x
Ex ?????
??
作变量代换，使自变量无量纲化
，则有：，令 ?? ??????? ???,2 xE
0)()
2
1()(
2
22
2
????? xxEx ???
?
?
2/
1
??两边同乘
(5)
(4)
0)()2()( 2 ????? xxEx ??????? ???
0)()()( 22
2
??? ??????
?d
d (6)
(6)为一复系数常微分方程
2、方程 (6)的渐进解
变为：，此时由于
使的行为，，即为解方程，先考察他在
)6(2
2
??
??
??
?????
0)()( 22
2
?? ?????
?d
d
(9)
(8)
(7)
渐进解
2/2~)( ??? ?e
可设一般解
2/2)()( ???? ?? eH
号所以余去
应有限，时，当根据波函数标准条件，
?
??? ??
2/2~)( ??? ?e
])([ 为待求函数?H
将 (9)代入 (6)得
? ? ))(([)( 2/2/ 22 ?? ?????? ?? ?????? eHeHd d
? ? ? ? ? ? 2/2/2/ 222 ??? ????? ??? ??????? eHeHeH
2/22/ 22 )()( ?? ??? ?? ?? eHeH
? ? ? ? ? ? 2/2 2])1(2[ ?????? ????????? eHHH
相减得将上式与 0)()()( 2 ????? ??????
? ? ? ? ? ? 0)1(2 2 ???????? ????? HHH —— 厄密方程 (9)
3、解厄密方程
关系中，求各级系数之间的级数，再代入
展开为上将域为方程的常点，在其邻
)9(
0 H??? ??
? ? 则令,
0
n
n
naH ?? ?
?
?
?
? ? n
n
n
n
n
n nnannaH ??? )1)(2()1(
0
2
2
2
??????? ??
?
?
?
?
?
?
? ? n
n
nnaH ??? ?
?
?
????
0
22
:n对任一
0])1(2)1)(2([
0
2 ???????
?
?
?
n
nn
n
n ananna ??
(11)
(10)
(12)
nn ann
na
)1)(2(
12
2 ??
????
?
?—— 递推关系 (13)
nn anaan
aH
的已知，可得奇数，当的数
已知，由之可得所有偶的级数解，当式为
1
0)()12( ?
之比：
很大，高次项系数，当如果级数含有无限多项 ?
nnn
n
a
a
n
n
n 2
)1)(2(
122 ?? ??
??
???
??
? ?
的级数解比较：与 2?e
(14)
nb
b
e
nnn
n
n
n
n
n
n
n
2
1
1
)!1(
)!(
)!1()!(!2!1
1
22
22
2
2
2
42
2
?? ??
?
?
?
?
???
?
?????????
??
?
?
?????
不符合波函数标准条件
，相同，即时的行为与级数解在 ??? ????? ???? ??? )(
2
e
向无穷
不再趋相乘后在某一处中断，使之与
件限制使应有限，必须用物理条、实际问题中
)()(
)(4
2/2 ???
??
??eH
012)13(
0,0 2
???
?? ?
?n
aan nn
式看就是要求：由
。而处即在
代入得：将 ?? ? E2? 0212 ???
??
En
??)( 21?? nE n —— 线性谐振子能级公式 (15)
? ? )(2/2 ??? ? nnn HeN ?? —— 厄密函数 (16)
有递推关系导出,)(5 ?H
1)(0 ??H
?? 2)(1 ?H
24)( 22 ?? ??H
1,0 0 ?? ?n
3,1 1 ?? ?n
5,2 2 ?? ?n
为归一化常数nN
nn nH 2)( 阶多项式，最高项系数为?
的宇称：)(?nH
为偶数时为偶宇称当
为奇数时为奇宇称当
n
n
的导数：)(?nH
!2)(
)(2)(
1
nH
d
d
nHH
d
d
n
nn
n
nn
?
?
?
?
?
??
?
(17)
的几个关系式,)(6 ?H
??? 128)( 33 ??H ???????? 7,3 3?n
0)(2)(2)( 11 ??? ?? ???? nnn nHHH (19)
(20) )()1()( 22 ??
?
? ??? e
d
deH
n
n
n
n
0)(2)(2)(2
2
??? ??
?
??
? nnn
nHH
d
dH
d
d (18)
? ?归一化、对 xn?7
? ? ? ?
?
???? ? dHeNdxxx
nn ??
??
??
???
??
? ? )(22 2
?
?
?
?
? de
d
dHN
n
n
n
n
n )()(
)1( 22 ???
???
??
1
!2
!2
)(
)1(
)()()([
)1(
2
2
)(
2
1
1
2
2
2
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
N
de
n
N
deHN
de
d
d
H
d
d
HN
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
?
?
!2 n
N
nn
? (21)
? ?的正交归一化,xn?8
? ? ? ? ??? ??
??
?
mnnm dxxx ???
nm
nm
?
?
,0
,1
二、物理意义
? ?xn?、定态波函数1
? ? )(2/2 ??? ? nnn HeN ?? )( x?? ?
? ? 称为厄密多项式。称为厄密函数，而 )( ??? Hn
? ? ? ?
值处迅速衰减。个根，在大
有次，轴相交在有限范围内与
?
?????
n
n nn 0?
2、几率密度
? ? ? ?
，微观趋向宏观很大时，量子趋向经典在量子数
。除外点
个零个极大几率点，有，
n
nn
nn
)(
1
2
??
?????
3、能级
??)( 21?? nE n
讨论,
???? nE能量等间距：)1(
为基态，称零点能??210,0)2( ?? EE n
也不停止振动。
，固体中原子使在所要求的最小能量，即
，这是测不准关系谐振子的零点振动能
KT 0
)3(
2
1
?
??
4、基态波函数
? ? )(00 2221 xHex x ?
?
?? ???
.1,1
,)(
,/
2
1
11
0
1
0
1
为经典禁区区域运动。，
在经典：基态谐振子只能此处
在，谐振子特征长度
????
?
???
??
?
?
?
????
????
?
xx
ExV
xE
x
??
§ 2.7 势垒贯穿（隧道效应）
一、方势垒的穿透
粒子从无限远处来，受势垒散射后又到无限远处去,
粒子能量事先知道。波函数在不远处不为零，体系能量
可取任意值，构成连续谱（散射态，不是束缚态）。
?)( xU
axx
axU
??
??
,0,0
0,0 (1) （方势垒）
E
0 a x
y
0U
1、方势垒
.
)0(
率过势垒在右边出现的几
向右运动。求越的粒子由势垒左方设能量为 ?xE
右边。，粒子才能运动到势垒经典力学：只有当 0UE ?
。，反射回来的几率不为不为
出现的几率，粒子越过势垒在右方量子力学：
01
0UE ?
02 UE ?、
，薛定谔方程为：在势垒外 ),0( axx ??
(2) 02
22
2
?? ???
?
E
dx
d
i k xi k x BeAexEk ???? )()2(,2
2
2 ?? 式得解：则设
?
)0( ?x
即：反射波。取例。而势垒右边，则无
粒子数的比则为反射粒子数占入射。，取
面方便，反射波都有，为了后波。在势垒左边，入射
方向（左）的为向方向（右）的波，为向
,0,
RB1A
2
??
??
??
?
BSA
R
xexe
i k xi k x
,
0,Re
i k x
i k xi k x
Se
xe ?? ?
?)(x?
ax ?
(3)
这是入射粒子流密度为,
)??(
2
1 ?? ?? ????
?
ppJ
入射波,
?
???
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
2
2
)]([
2
)(
2
h
i k xi k xi k xi k x
i
k
ikik
i
e
dx
d
ee
dx
d
e
i
J
??
?
?
?
2
t
2
R
S?
?
J
RJ
透射波几率流密度：
反射波几率流密度：
T
J
J
rR
J
J
i
t
i
R
??
??
2
2
S透射几率：
反射几率：
)(透射系数
)(反射系数
(4)
(5)
(6)
，薛定谔方程为：在势垒中 )0( ax ??
(7) ???
?
EU
dx
d ???
02
22
2
?
变换为,
0)(2 202
2
??? ???
?
EU
dx
d (8)
写为：则令 ???,)(2 202 ? EU ??
kxkx BeAex ???)(?
(9)
都连续得：和处由在 ?? ?? 0x
BAR
ik
BAR
???
???
)1(
1
?
:得上两式相加、相减分别
(11)
(10)
)]1()1[(
2
1
)]1()1[(
2
1
??
??
ik
R
ik
B
ik
R
ik
A
????
????
都连续得：和处由在 ?? ?? ax
(12)
eee
eee
i k aaa
i k aaa
S
ik
BA
SBA
?
??
??
??
??
?
?
:得上两式相加、相减分别
(13)
e
e
ai k a
ai k a
ikS
B
ikS
A
?
?
?
?
?
?
??
??
)1(
2
)1(
2
:,)13()11( 得式消去式与再利用 BA
(14)
e
e
ai k a
ai k a
ik
S
ik
R
ik
ik
S
ik
R
ik
?
?
???
???
?
?
?????
?????
)1()1()1(
)1()1()1(
:)14( 得式消去利用 R
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ik
ik
S
S
e
e
ai k a
ai k a
(15)
:)15( 式解出由
ach
k
iashk
ik
Se i k a
?
?
??
?
2])/(1[
/2
2 ??
?
?
:T 为可以得出透射系数
achkashk
kSeST i k a
????
?
2222222
222
2
4)(
4
??
???
(16)
ash
U
E
U
E
kashk
k
?
???
?
2
00
222222
22
)1(1
1
4)(
4
??
?
??
?
(17)
:,)14( 即有反射系数即可得出式消去利用 RS
222222
222
2
4)(
)(
???
??
kashk
ashkR
??
??
1S,22 ??R显然
(18)
(19) 0?T透射系数
.)19(,1S
R
2
2
式意义为几率守恒之和为达右方的几率
与穿透势垒到方的几率即粒子被势垒反射回左
子波动性的表现。
这也是微观粒称为隧道效应垒高度时也能透过势垒
即粒子入射能量小于势在透射系数
,,
,0 0
2
UEST ???
0V
V
ao x
隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典
力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量
是虚数。 由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不
确定关系”，粒子的坐标 x和动量 P不可能同时具有
确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数
的动能当然也不能同时具有确定的值 。因此，对微观
粒子而言，“总能量等于势能和动能之和”这一概念
不再具有明确的意义。
时的情况、再来看 03 UE ?
kiUEEU ??????? 2 020 )(21)(2
??
???这时 (20)
akiakishash ???? s i n)(?又由于
所以：
222222
22
4s i n)(
4
kkakkk
kkT
?????
?
? (21)
被反射回去。
粒子仍有一定几率可见虽然,,01 02 UETR ????
