§ 3.7 算符的对易关系
两力学量同时有确定值的条件 测
不准关系
一、算符的对易关系
1.对于任一波函数,有
注意：算符的意义是对波函数（状态）进行运算操作，
算符之间的关系是先后对同一波函数操作的结果之间的
?
$ ? ( 1)
xx p xix
?? ??
?
h
μ $ ? ? ( 2 )p x x x
i x i i? ? ??
??? ? ?h h h
关系。显然（ 1）（ 2）两种操作之间结果不同,
其中 为任意波函数
记为
（ 5）式称为算符 和 的对易关系 (comutation
relation),等式不为零，我们说,与 不对易。
同理
$ ? ? $ ( 3 )xxx p p x i? ? ??? h
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$ ? μ μ μ μ μ μ,( 5 )xx p i A B A B B A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?h
$x ?xp
$x ?xp
$ ?,( 6 )yy p i?? ??? h
?,( 7 )zz p i?? ???$ h
注意 (5),(6),(7)左边 [ ]表算符乘积交易次序之差（测量
次序不同结果不同）
另外,
称上面三组算符之间对易
一般结论：动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。
如 ；而和它不对应的坐标之
间对易（如 和, 和 ），动量各分量算符之
间是对易的。
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zyp?? ???
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$ ? $ ? ?,,,,,0x y zx p y p z p? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?$
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(5),(6),(7)可合并记为
(8),(9),(10)可合并记为
(11)式为量子力学基本对易式
2.其它力学量之间的对易关系
1）量子力学中算符的一般性质,
（ a）线性算符：满足
描写客观测量的都是线性算符，这是态迭加原理的反
映。
单位算符,满足
,= 1,2,3,( 1 1 )x p i? ? ?????? ??? h
,0pp???? ???
μ ? ? μ μ1 1 2 2 1 1 2 2 ( 12 )A C C C A C A? ? ? ?? ? ?
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(b)算符之和，满足
如哈密顿算符,而,
,,
(c)算符之积,
算符 对 的运算结果，等于 先对 运算，然后再
用 对 运算。一般说来算符之积不满足交换率,
μ μ? ? μ μ ( 1 5 )A B A B? ? ?? ? ?
μ μ μH T U?? μ ? μ2222
2 2 2
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μ μ μ? ? μ μ? ? μ ( 1 6 )A B C A B C? ? ? ? ?
μ μ? ? μ μ? ? ( 1 7 )A B A B???
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μA μB?
μ μ μ μ ( 1 8 )A B B A?
典型例子,
(d)对易式的代数恒等式,
$ ? $ ? ? $,x x xx p x p p x i?? ????? h
μ μ μ μ
μ μ μ μ μ μ μ
μ μ μ μ μ μ μ μ μ
μ μ μ μ μ μ μ μ μ
μ μ μ μ μ μ μ μ μ
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,,,( 1 9 )
,,,
,,,,,,0
A B B A
A B C A B A C
A B C B A C A B C
A C B A B C A C B
A B C B A C C A B
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? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?
2）角动量算符之间的对易关系
力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系
和恒等式 (19)之一，可以导出其它力学
量之间的对易关系。
角动量算符定义,
分量式,
(22)式合并写为
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μ ( 2 0 )l r p??v vv$
μ μ μ
μ μ μ
μ μ μ
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,,,0,,( 2 2 )
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x x x
y y y
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l x i z l y l z i x
l x i y l y i x l z
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hh
hh
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式中 为 levi-Civifa符号，定义为
对换任意两个指标 变号，有两个指标相
同则为 0，如
同理,
所以,
(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写
为,
????
123
( 24)
1
,,1,2,3
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?
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μ μ μ,( 2 6 )
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μ μ μ μ μ μ
μ μ μ μ μ μ μ μ μ
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x x y y z z
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?
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? ? ? ? ? ?? h h h
将上式非 0式合写，成为,
另外，定义：角动量平方算符
则
而 和 的球坐标表达式以在 3.2节中讲过。
3）算符一般性质补充
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μ μ μ μ2 2 2 2 ( 2 9 )
x y zl l l l? ? ?
v v v v
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? ?
?? ????
??
v
μ2lv μ μ μ,,
x y zl l l
(a) 逆运算
设 能够唯一解出,则定义算符
的逆 为,
不是所有算符存在逆算符，如矢量分解，投影算符。
又
(b) 算符的函数
设给定一函数 存在各阶导数，幂级数张开收敛,
μ ( 3 1 )A??? μA
μ1A? μ 1 ( 32 )A ??? ?
μ μ μ μ μ μ1 1 1,,0 ( 33)A A A A I A A? ? ???? ? ? ???
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0 ( 3 4 )
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n
n
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n
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?
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如
二、两个算符对易的条件
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同
时有确定值的条件。
如果两个算符 和 有一组共同本征函数,而
且 组成完全系，则算符 和 对易。
证明,
由于 为任一波函数，所以
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!
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n
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n
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而
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逆定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完
全系的共同本征函数。
两个算符对易的条件可以推广到任一多个算符，逆
定理也是。如果一组算符有共同的本征函数，而且这
些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一
个和其余算符对易。反之亦然 。
2.力学量共同本征函数的例子,
a) 互相对易：共同本征函数
同时具有确定值
b)氢原子的哈密顿,角动量平方算符,角动量子
分量 互相对易，共同本征函数：,
确定值,
? ? ?,,x y zp p p
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3
2
1
2
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vv
hv
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μzL ? ?,,nl m r? ? ?
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三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量，
通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量，
称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
2.例：自由粒子,3个自由度,
氢原子中电子,3个自由度,三个量子
数
四、测不准关系
1.设 和 的对易关系为
? ? ?,,x y zp p p
μ??,,zH l l ?v
,,n l m
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?? ?? ? ( 3 7 )F G G F ik??
令
则
如果 不为,则 和 的均方偏差不会同时为 0，
乘积大于某一正数。例如 则
证明：令函数
其中 为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
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所以
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F G G F F F G G G G F F
F G G F ik
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??
注,可以作为公式使用
上式 为二次多项式，系数必须满足
（ 44）称为测不准关系，是量子力学最重要的关系。
当 不对易，,则 的均方偏差不能同
时为 0，而者乘积恒大于某一正数。
令 则
坐标 —— 动量测不准关系
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222
4xxp? ? ? ?
hg
当坐标 x的均方偏差 越小，即测量粒子位置越准
确，则测其共轭动量 的均方偏差越大；反之亦然。
类比：光的单缝衍射。
2.测不准关系的应用例子
例 1）隧道效应中的粒子能量
由于 与 不对易，所以动能算符与势能算符不对易，
所以（ 44）式应理解为一个态中平均总能量为平均势
能和平均动能之和，注意，求平均值对变量变化的整
个区域积分。当粒子在势垒范围内 被发现时，
由测不准关系粒子动能就在一定范围内不确定,
? ?2x?
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2 ?
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22
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22
222
2
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,,
44
28
xx
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x a x p p
a
p
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?
? ? ?
hh
h
例 2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小
能量
而
（分部积分）
2
221
22
pEx ??
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2 2 2 2
22
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式中利用 Hermit多项式逆推公式
式中可用
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1
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n x n n x
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x x x
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22
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nn
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又
由测不准关系取等号
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? ?
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2
2
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x
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h
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2
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82
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2
22
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8 2 2
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d x x
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hh
将上式代回 式 零点能。
例 3） 则 在 本
征态 中,这时
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222
2
4 yxyL L L? ? ?
hg μ
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两力学量同时有确定值的条件 测
不准关系
一、算符的对易关系
1.对于任一波函数,有
注意：算符的意义是对波函数（状态）进行运算操作，
算符之间的关系是先后对同一波函数操作的结果之间的
?
$ ? ( 1)
xx p xix
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关系。显然（ 1）（ 2）两种操作之间结果不同,
其中 为任意波函数
记为
（ 5）式称为算符 和 的对易关系 (comutation
relation),等式不为零，我们说,与 不对易。
同理
$ ? ? $ ( 3 )xxx p p x i? ? ??? h
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注意 (5),(6),(7)左边 [ ]表算符乘积交易次序之差（测量
次序不同结果不同）
另外,
称上面三组算符之间对易
一般结论：动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。
如 ；而和它不对应的坐标之
间对易（如 和, 和 ），动量各分量算符之
间是对易的。
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(5),(6),(7)可合并记为
(8),(9),(10)可合并记为
(11)式为量子力学基本对易式
2.其它力学量之间的对易关系
1）量子力学中算符的一般性质,
（ a）线性算符：满足
描写客观测量的都是线性算符，这是态迭加原理的反
映。
单位算符,满足
,= 1,2,3,( 1 1 )x p i? ? ?????? ??? h
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μ ? ? μ μ1 1 2 2 1 1 2 2 ( 12 )A C C C A C A? ? ? ?? ? ?
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(b)算符之和，满足
如哈密顿算符,而,
,,
(c)算符之积,
算符 对 的运算结果，等于 先对 运算，然后再
用 对 运算。一般说来算符之积不满足交换率,
μ μ? ? μ μ ( 1 5 )A B A B? ? ?? ? ?
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μ μ? ? μ μ? ? ( 1 7 )A B A B???
μμAB ? μB ?
μA μB?
μ μ μ μ ( 1 8 )A B B A?
典型例子,
(d)对易式的代数恒等式,
$ ? $ ? ? $,x x xx p x p p x i?? ????? h
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μ μ μ μ μ μ μ
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2）角动量算符之间的对易关系
力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系
和恒等式 (19)之一，可以导出其它力学
量之间的对易关系。
角动量算符定义,
分量式,
(22)式合并写为
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式中 为 levi-Civifa符号，定义为
对换任意两个指标 变号，有两个指标相
同则为 0，如
同理,
所以,
(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写
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将上式非 0式合写，成为,
另外，定义：角动量平方算符
则
而 和 的球坐标表达式以在 3.2节中讲过。
3）算符一般性质补充
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μ μ2,0,,,( 3 0 )l l x y z
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(a) 逆运算
设 能够唯一解出,则定义算符
的逆 为,
不是所有算符存在逆算符，如矢量分解，投影算符。
又
(b) 算符的函数
设给定一函数 存在各阶导数，幂级数张开收敛,
μ ( 3 1 )A??? μA
μ1A? μ 1 ( 32 )A ??? ?
μ μ μ μ μ μ1 1 1,,0 ( 33)A A A A I A A? ? ???? ? ? ???
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二、两个算符对易的条件
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同
时有确定值的条件。
如果两个算符 和 有一组共同本征函数,而
且 组成完全系，则算符 和 对易。
证明,
由于 为任一波函数，所以
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逆定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完
全系的共同本征函数。
两个算符对易的条件可以推广到任一多个算符，逆
定理也是。如果一组算符有共同的本征函数，而且这
些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一
个和其余算符对易。反之亦然 。
2.力学量共同本征函数的例子,
a) 互相对易：共同本征函数
同时具有确定值
b)氢原子的哈密顿,角动量平方算符,角动量子
分量 互相对易，共同本征函数：,
确定值,
? ? ?,,x y zp p p
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三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量，
通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量，
称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
2.例：自由粒子,3个自由度,
氢原子中电子,3个自由度,三个量子
数
四、测不准关系
1.设 和 的对易关系为
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令
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如果 不为,则 和 的均方偏差不会同时为 0，
乘积大于某一正数。例如 则
证明：令函数
其中 为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
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注,可以作为公式使用
上式 为二次多项式，系数必须满足
（ 44）称为测不准关系，是量子力学最重要的关系。
当 不对易，,则 的均方偏差不能同
时为 0，而者乘积恒大于某一正数。
令 则
坐标 —— 动量测不准关系
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当坐标 x的均方偏差 越小，即测量粒子位置越准
确，则测其共轭动量 的均方偏差越大；反之亦然。
类比：光的单缝衍射。
2.测不准关系的应用例子
例 1）隧道效应中的粒子能量
由于 与 不对易，所以动能算符与势能算符不对易，
所以（ 44）式应理解为一个态中平均总能量为平均势
能和平均动能之和，注意，求平均值对变量变化的整
个区域积分。当粒子在势垒范围内 被发现时，
由测不准关系粒子动能就在一定范围内不确定,
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例 2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小
能量
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（分部积分）
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式中利用 Hermit多项式逆推公式
式中可用
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1
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nn
n n n
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n x n n x
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n x n n x
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又
由测不准关系取等号
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2
2
24
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82
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E 有 极 值, 极 小,
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22
22
110,0,
8 2 2
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将上式代回 式 零点能。
例 3） 则 在 本
征态 中,这时
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