§ 3.5 厄密算符本征函数的正交性
一、属于动量算符不同本征值得两
个本征函数 和 互相正交,
p??v p?v
? ? ( 1)pp d p p? ? ? ?? ? ???? vv vv
,0 ( 2)ppp p d? ? ?? ?? ? ? ?? vvvvQ
引入函数的标积,
则 (1),(2)两式可以简化记为,
? ?1,2 1 2 ( 3)d? ? ? ? ??? ?
? ? ? ?,( 1 )pp pp? ? ?? ???vv vv
当
动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量
的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正
交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一
个特例
? ?:,0 ( 2)pppp ?? ?? ?? vvvv
? ?,0 pp??? ?vv
二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本
征函数互相正交 。
证,
μ μ ( 1 ) ( 2 )k k k l l lFF? ? ? ? ? ???
μ? ?,( 1 )
l k k k kk l F? ? ? ? ?
? ?? ?? ? ?当 则
又 （厄密的本征值为实数）
（ 1）式右乘,积分,
简记,
（ 2）式左乘,
简记,
根据厄密算符的定义
简记,
kk????
μ? ? ( 3 )
k l k k l k k lF d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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联立（ 4）、（ 5）即,
简记,
(6)式移项,
简写,
而,必有
简写,
或表示为,
,( 3) = ( 4) = ( 5)l k l k k ldd? ? ? ? ? ? ? ??? ???
? ? ? ?,,l k l k k l? ? ? ? ? ??
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( 8)k l k ld? ? ? ?? ??
其中 kronk 符号
如果 的本征值不分立，而是构成连续谱。则本
征函数 可以归化为 函数,
例如动量算符本征函数
2.正交归一本征函数一例：无限深市阱
能量本征函数
?
1 k = 0 ( 9 )
0 k 0kl?
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nx
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是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数,
对不同的 值（能级 )正交,
其中,
证,
积化和差
μ()Hx
222
2 1,2,3,8n
nEn
a
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nE
n? n nE
μ
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3,
是 的本征值 的本征函数
的正交性
三、正交归一函数的例子（厄密算符本征函数
互相正交）
1）线性谐振子
2
0
1 ( 14)
2
im im
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2.角动量算符 的本征函数，本征值 μ
zL zlm? h
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2
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m em
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3.角动量平方算符 的本征函数，属于本征
值,
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2）一维势阱 ? ?,aa??
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（ 20）缔结 legendre函数正交性,
而球谐函数,
4.氢原子波函数，算符,
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? ? ? ?200,,s i n ( 2 0 )l m l m l lY Y d d?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ???
2 sinmmlm l m l l llN N P P d d? ? ? ? ?? ? ???
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n不同,
三个量子数均不同,
四、简并态函数的正交性
当 的本征值 是 度简并,
一般而言 不正交，但可用 个常数将 个函数重新
组合成 个新函数,
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? ? ? ?2 2 mm0 0 0,,,,s i n ( 2 3 )n l m n l m n n l lr r r d r d d?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?
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1 2 3:,,,n n n n n f? ? ? ? ?L
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f
总可以选择 而使正交归一条件成立,
一般地，考虑到力学完全集中其它算符对简并态重
新分类，可组合消除简并。
如 对 简并，但对 则不简
并，归一化为 。
,1,2,( 2 4 )n i n n iF i f? ? ??? L
1
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交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一
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二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本
征函数互相正交 。
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（ 1）式右乘,积分,
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(6)式移项,
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而,必有
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或表示为,
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征函数 可以归化为 函数,
例如动量算符本征函数
2.正交归一本征函数一例：无限深市阱
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一般地，考虑到力学完全集中其它算符对简并态重
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