§ 3.6 算符与力学量的关系
根据数学物理方法中的证明，如果有一族函数
构成正交归一完全系，则任意函数都可以用 来展
开为级数（广义傅里叶级数）。如果函数系 不
构成分立的集合，则可以展开为傅里叶积分。
如果函数系 和
都是正交归一完全系。
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一、波函数按厄密算符的本征函数系展开
1.分立谱
如果 是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一
本征函数系 对应的本征值为
则任一函数 可以按
展开为级数,
其中 与 无关。本征函数的这种性质称未完全性
（完备性），或说 组成完全系。
用 积分，可得系数,
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即 一般为复数不含
设 已归一化，则 的模方之和为 1,
展开系数 的物理意义,表示在 态中测量力学量
得到结果为 的本征值 的几率。
为几率幅。
一般的,不一定为力学量 的本征态，是这些 的混合
态如
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线性谐振子的能量本征态为,而粒子可能处
于混合态 例如
且 则粒子处于谐振子基态的几率为,一激态
几率：,二激态几率,相应的测量 E得,。
例粒子处于 态
2.连续谱
1）当力学量的测量值（厄密算符 的本征值）构成部
分分立，部分连续的集合（如 都可能，而
不可能）即
为连续变量
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其中 则
这时,表示测量力学量 结果在
之间的几率
2）例氢原子处于基态 求电子动量的几率分布
解：将 原子基态用动量算符的本征函数 展开,
其中几率幅,
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( 9)
电子动量的几率分布密度,
构成连续谱
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Cp
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电子动量数值介于 之间的几率,
可以证明
二、力学量的平均值
1.在状态 中测量力学量 会得到一系列可能值,
各以一定的几率 出现，对应于算符 的本征态（本征
函数）,则
测量值（本征值）,
本征态,
出现几率,
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（ 14）式适用于归一化的
若 未归一化，则
3.例题
线性谐振子的能量本征态为,
而粒子可能处于混合态 例如
且 则粒子处于谐振子基态的几率
为,一激态几率：,二激态几率,相应的测量
E得,。
问：在 态中，粒子能量的平均值 应为
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( 1 5 )
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而
一般,
4.如果力学量算符 的本征值部分构成分立谱，
部分构成连续谱，则平均值
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n n n
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三、量子力学的基本假定之一：力学量与算符
的关系
量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本
征函数构成完全系,当体系处于由波函数
所描写的状态时，测量力学量 所得数值，必定是算
符 的本征值 之一,测的 的几率
是 。
这一假定由实验证明。
在一般的微观状态 中，力学量 一般没有确定的
值，测量 可得一系列可能值,这些 就是表示这
个力学量的算符的本征值，每一本征值都以一定的几率
出现，因而平均值 。
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如戴维逊 -革末实验中，若入射电子束含有多种波长
即动量数值 不确定，则衍射后波长按衍射角 重新
分布，即不同动量, 为对应波长（动量）
的几率幅,
此实验可由 由
例 设粒子在一维无限深势阱中运动,(0,a)，如果粒
子状态由波函数 描写，求粒子
能量的可能值和相应几率，并求能量平均值。
解,
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状态 可视为一系列本征态的迭加态,
求出各,即得几率,
方法一：公式法
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方法二：直接化简为若干正弦函数的迭加
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根据数学物理方法中的证明，如果有一族函数
构成正交归一完全系，则任意函数都可以用 来展
开为级数（广义傅里叶级数）。如果函数系 不
构成分立的集合，则可以展开为傅里叶积分。
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一、波函数按厄密算符的本征函数系展开
1.分立谱
如果 是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一
本征函数系 对应的本征值为
则任一函数 可以按
展开为级数,
其中 与 无关。本征函数的这种性质称未完全性
（完备性），或说 组成完全系。
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设 已归一化，则 的模方之和为 1,
展开系数 的物理意义,表示在 态中测量力学量
得到结果为 的本征值 的几率。
为几率幅。
一般的,不一定为力学量 的本征态，是这些 的混合
态如
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于混合态 例如
且 则粒子处于谐振子基态的几率为,一激态
几率：,二激态几率,相应的测量 E得,。
例粒子处于 态
2.连续谱
1）当力学量的测量值（厄密算符 的本征值）构成部
分分立，部分连续的集合（如 都可能，而
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2）例氢原子处于基态 求电子动量的几率分布
解：将 原子基态用动量算符的本征函数 展开,
其中几率幅,
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可以证明
二、力学量的平均值
1.在状态 中测量力学量 会得到一系列可能值,
各以一定的几率 出现，对应于算符 的本征态（本征
函数）,则
测量值（本征值）,
本征态,
出现几率,
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（ 14）式适用于归一化的
若 未归一化，则
3.例题
线性谐振子的能量本征态为,
而粒子可能处于混合态 例如
且 则粒子处于谐振子基态的几率
为,一激态几率：,二激态几率,相应的测量
E得,。
问：在 态中，粒子能量的平均值 应为
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一般,
4.如果力学量算符 的本征值部分构成分立谱，
部分构成连续谱，则平均值
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三、量子力学的基本假定之一：力学量与算符
的关系
量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本
征函数构成完全系,当体系处于由波函数
所描写的状态时，测量力学量 所得数值，必定是算
符 的本征值 之一,测的 的几率
是 。
这一假定由实验证明。
在一般的微观状态 中，力学量 一般没有确定的
值，测量 可得一系列可能值,这些 就是表示这
个力学量的算符的本征值，每一本征值都以一定的几率
出现，因而平均值 。
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如戴维逊 -革末实验中，若入射电子束含有多种波长
即动量数值 不确定，则衍射后波长按衍射角 重新
分布，即不同动量, 为对应波长（动量）
的几率幅,
此实验可由 由
例 设粒子在一维无限深势阱中运动,(0,a)，如果粒
子状态由波函数 描写，求粒子
能量的可能值和相应几率，并求能量平均值。
解,
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状态 可视为一系列本征态的迭加态,
求出各,即得几率,
方法一：公式法
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