一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
是动量算符的本征值,是属于此本征值的本征
函数。
分量式,
§ 3.2 动量算符和角动量算符
pv
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它们的解是
本征值 可取所有实数，构成连续谱。
２、动量本征函数的归一化
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(,,)x y zp p p p? v
( ) e xp( )p ir C p r? ??v v vh
求归一化常数？
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其 中
是 以 为 宗 量 的 函 数 。
计算积分,
如果取,则动量本征函数归一化到 函
数。
32
23
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(3)
(4)其中
为什么 不能归一化为 1，而是归一化为 函数：
这是由于动量本征值可以取连续值,的各分量可取任
意实数，动量本征值构成连续谱。
()p r? v ?
pv
３、动量本征值的分立化：箱归一化
设想将粒子限制在一个边长为 L的正方形箱中，取
箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数
在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即 (,,) (,,)
22
11
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22
e x p ( ) 1 2,0,1,2,3
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x
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(6)或
这样 只能取分立值,
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同理，根据周期性条件 和
可得到
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(,,) (,,)22LLx z x z????
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2
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L
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,
相邻两个分立值的差,
当 时,分立
值 连续谱。
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x y zp p pL L L
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,,,x x y y z zp d p p d p p d p? ? ?V V VL ??
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化
为１，归一化常数,即
证,
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数，
它是动量算符的本征态。
3 2
1 e x p ( 1 0 )
p
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L
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32
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3 2
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测量粒子的动量,有确定值,即动量算符的本征值。
二、角动量算符
１、定义：角动量算符
分量式为
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(13)
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２、角动量平方算符定义,
利用直角坐标和球坐标变量之间的关系
可得
2 2 2 2 2
2 2 2 2
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( ) ( ) ( ) ( 1 4 )
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３、角动量 分量算符,
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22
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或
４、角动量平方算符的本征值方程,
其中,是 算符属于本征值 的本征函数。 (,)Y ?? 2?L 2?h
５、角动量平方本征值方程的解
方程 (19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要
求 在 变化的范围都能取有限值。
必须取限制条件确定本征值,才可以使无穷级
数中断成为多项式,
这时，方程 (19)的解是球谐函数,
是缔合勒让德多项式,是归一化常数。
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由 的归一化条件定出,
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所以，角动量平方算符的本征值是,本征
函数是式 (20)所属的球谐函数,
本征方程 (24)是式 (18)的简化表示。
2( 1)ll ? h
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６、角动量 分量算符 的本征值方程
算符的本征值为,本征函数为 。
７、角量子数与磁量子数
(24)式中 表示角动量的大小,称为角量子数，而
则称为磁量子数。对于一个,,共
可取 个不同值，即对于 的一个本征值
，有 个不同的本征函数 。
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0,1,2,3l s p d f? LL分 别 称 为 态,态,态,态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称
为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
本征值是 度简并的。
９、球谐函数的例子,
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１、动量算符的本征值方程
是动量算符的本征值,是属于此本征值的本征
函数。
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§ 3.2 动量算符和角动量算符
pv
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２、动量本征函数的归一化
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为什么 不能归一化为 1，而是归一化为 函数：
这是由于动量本征值可以取连续值,的各分量可取任
意实数，动量本征值构成连续谱。
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３、动量本征值的分立化：箱归一化
设想将粒子限制在一个边长为 L的正方形箱中，取
箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数
在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即 (,,) (,,)
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可得到
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引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化
为１，归一化常数,即
证,
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数，
它是动量算符的本征态。
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二、角动量算符
１、定义：角动量算符
分量式为
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２、角动量平方算符定义,
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４、角动量平方算符的本征值方程,
其中,是 算符属于本征值 的本征函数。 (,)Y ?? 2?L 2?h
５、角动量平方本征值方程的解
方程 (19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要
求 在 变化的范围都能取有限值。
必须取限制条件确定本征值,才可以使无穷级
数中断成为多项式,
这时，方程 (19)的解是球谐函数,
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所以，角动量平方算符的本征值是,本征
函数是式 (20)所属的球谐函数,
本征方程 (24)是式 (18)的简化表示。
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６、角动量 分量算符 的本征值方程
算符的本征值为,本征函数为 。
７、角量子数与磁量子数
(24)式中 表示角动量的大小,称为角量子数，而
则称为磁量子数。对于一个,,共
可取 个不同值，即对于 的一个本征值
，有 个不同的本征函数 。
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８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称
为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
本征值是 度简并的。
９、球谐函数的例子,
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